第4章第10讲整式的加减（4.4～4.5）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第4章 代数式　第10讲 整式的加减(4.4~4.5) 第4章 代数式 第10讲 整式的加减(4.4~4.5) 专题讲义 (一)同类项的概念 例题精析 例 1 判断下列各组中的两个项是不是同类项： 和； 和； 与x； (4)-3与0。 ▍思路点拨 判断同类项是否满足条件： ①都是单项式； ②字母相同； ③相同字母的指数也相同。 ▍过程详解 解： (1)(4)是同类项； (2)(3)不是同类项。 ▍总结升华 根据同类项的定义，在多项式中说明每一项都是单项式，这是前提条件。判断是否是同类项先判断字母是否相同，再判断相同字母的指数是否相同，并注意同类项与项的系数和字母的顺序无关，常数项都是同类项。 变式 1 判断下列各组单项式是不是同类项： (1)-2和5； 和； 和； 和。 (二)整式的加减 例题精析 例 2 先去括号，再合并同类项： ； (2)2(2a-b)-[4b-(-2a+b)]； ； 。 ▍思路点拨 直接去括号，合并同类项即可，注意去括号的法则：括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号后，原括号里的各项符号都不改变；括号前是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号后，原括号里的各项符号都要改变。 ▍过程详解 解： 。 (2)2(2a-b)-[4b-(-2a+b)]=4a-2b-4b-2a+b=2a-5b。 。 。 ▍总结升华 整式的加减本质就是合并同类项和去括号。 变式 2 ； (2)2()-()； (3)()-()； 。 例 3 已知，，且B+C=A。 (1)求多项式C。 (2)求的值。 ▍思路点拨 (1)根据B+C=A，得出C=A-B，然后将A和B表示的式子代入，去括号化简即可； (2)直接将A和B表示的式子代入，然后去括号化简即可。 ▍过程详解 解： (1)因为B+C=A，所以。 。 ▍总结升华 多项式参与运算时，注意整体看待添上括号。 变式 3 小丽做一道数学题：“已知两个多项式A，B，B为，求A+B”。小丽把A+B看成A-B，计算结果是。 (1)计算A的表达式。 (2)求A+B正确的结果，并计算当x=1时，A+B的值。 例 4 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=(a+3)x-6y+5，所以a+3=0，则a=-3。 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值。 (2)已知，，且3A+6B的值与x无关，求y的值。 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系。 ▍思路点拨 (1)由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式进行整理，令x的系数为0，即可求出m； (2)根据整式混合运算法则化简3A+6B可得(15y-6)x-9，根据其值与x无关得出15y-6=0，解之即可； (3)设AB=x，由图可知，，，即可得的代数式，由题意知的值与x无关，可得a-2b=0，即a=2b。 ▍过程详解 解： ，因为关于x的多项式的值与x的取值无关，所以2m-3=0，解得。 (2)因为，，所以，因为3A+6B的值与x无关，所以15y-6=0，解得。 (3)设AB=x，由图可知，，，则，因为当AB的长变化时，的值始终保持不变，所以的值与x的值无关，所以a-2b=0，所以a=2b。 ▍总结升华 整式的加减化简后，不含某一项即该项系数为0。 变式 4 小杰准备完成题目“计算：()-2()。”发现系数“□”印刷不清楚。 (1)他把“□”猜成-5，请你计算()-2()。 (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的计算结果是一个数字，不含字母x。”请你通过计算说明原题中“□”是几。 (三)整体思想在整式加减中的运用 例题精析 例 5 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是＿＿＿。 (2)已知，求的值。 拓广探索： (3)已知a-2b=6，2b-c=-8，c-d=9，求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值。 ▍思路点拨 先去括号合并同类项，再分别把，a-2b，2b-c，c-d整体代入计算。 ▍过程详解 解： 。故答案为。 (2)因为，所以。 (3)因为a-2b=6，2b-c=-8，c-d=9，所以(a-c)+(2b-d)-(2b-c)=a-c+2b-d-2b+c=(a-2b)+(2b-c)+(c-d)=6+(-8)+9=7。 ▍总结升华 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，给化简计算带来了更多的便利。 变式 5 阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)。 (1)尝试应用：把看成一个整体，合并的结果是＿＿＿。 (2)尝试应用：已知，求的值。 (3)拓广探索：已知xy+x=-6，y-xy=-2。求代数式2[]-3[]-xy的值。 (四)实际问题中的整式化简与求值 例题精析 例 6 李明准备购买一套商品房，他去售楼处了解情况，得知该户型商品房的单价是5000元，面积如图所示(单位：m，卫生间的宽设为xm)，售楼处为他提供了以下两种优惠方案：方案一：整套房的单价为5000元，其中厨房只算一半面积；方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售。 (1)用含x的代数式表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额。 (2)当x=2时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少元？ ▍思路点拨 根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解；再将所得规律列代数式代入值即可。 ▍过程详解 解： (1)该户型商品房的面积为。方案一购买一套该户型商品房的总金额为()×5000=(220000+10000x)元；方案二购买一套该户型商品房的总金额为(48+2x)×5000×95%=(228000+9500x)元。 (2)当x=2时，方案一总金额为220000+10000x=240000(元)，方案二总金额为228000+9500x=247000(元)，247000>240000，247000-240000=7000(元)，所以方案一更优惠，比方案二优惠7000元。 ▍总结升华 在实际问题中，先理清题意，再列出整式进行化简求值。 变式 6 如图已知长方体的宽为a，长为b，高为c，用小彩带包装三个长方体礼盒，采用三种不同的包装方法。 (1)分别求出各种方法所用彩带的长度。 (2)第三种包装方法所用的小彩带比第二种长多少？ (五)图形问题中的整式化简与求值 例题精析 例 7 如图，在矩形ABCD中放入正方形AEFG，正方形MNRH，正方形CPQN，点E在AB上，点M，N在BC上，若AE=4，MN=3，CN=2，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 ▍思路点拨 设AB=DC=a，AD=BC=b，用含a，b的代数式先分别表示出BE，BM，DG，PD，再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可。 ▍过程详解 解：矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC。正方形AEFG中，AE=EF=FG=AG=4。正方形MNRH中，MN=NR=RH=HM=3。正方形CPQN中，CP=PQ=QN=CN=2。设AB=DC=a，AD=BC=b，则BE=AB-AE=a-4，BM=BC-MN-CN=b-3-2=b-5，DG=AD-AG=b-4，PD=CD-CP=a-2。所以图中右上角阴影部分的周长为2(DG+DP)=2(b-4+a-2)=2a+2b-12。左下角阴影部分的周长为2(BM+BE)=2(b-5+a-4)=2a+2b-18，所以图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为(2a+2b-12)-(2a+2b-18)=6。故选B。 ▍总结升华 求图形周长时，通常要在图中标计出各边长，再进行整式的化简求值。 变式 7 数学实践活动课上，陈老师准备了一张边长为a和两张边长为b(a>b)的正方形纸片，如图1、图2所示，将它们无重叠地摆放在矩形ABCD内，矩形未被覆盖的部分用阴影表示，设左下阴影矩形的周长为，右上阴影矩形的周长为。陈老师说，如果，求a或b的值。下面是四位同学得出的结果，其中正确的是（　　） A. 甲：a=6，b=4 B. 乙：a=6，b的值不确定 C. 丙：a的值不确定，b=3 D. 丁：a，b的值都不确定 (六)整式中的新定义问题 例题精析 例 8 阅读下面方框内的材料，解答相应的问题： 问题： (1)给出下列式子： ①a+b+c； ②； ③。其中是对称式的是＿＿＿(填序号即可)。 (2)①写出一个系数为-2，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式。 (3)已知，，求5A-3B，并直接判断所得结果是不是对称式。 ▍思路点拨 (1)根据对称式定义，结合a+b+c，，，逐项分析判断，即可求解； (2)①②根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式，即可得到答案； (3)根据整式的运算法则，去括号，合并同类项，化简得到，结合对称式定义，进行验证，即可得到答案。 ▍过程详解 解： (1)根据对称式的定义： ①a+b+c=b+c+a=a+c+b，故①是对称式； ②，故②不是对称式； ③，故③是对称式。故答案为①③。 (2)①根据题意可写出对称式为； ②根据对称式定义和题目上的条件，写出对称式为(答案不唯一)。 ；根据对称式的定义，可知不是对称式。 ▍总结升华 根据新定义的要求进行演算，同时强化整式运算的技巧。 变式 8 如果一个两位数的个位数字是n，十位数字是m，那么我们可以把这个两位数简记为，即。如果一个三位数的个位数字是c，十位数字是b，百位数字是a，那么我们可以把这个三位数简记为，即。 (1)若一个两位数满足，请求出m，n的数量关系并写出这个两位数。 (2)若规定：对任意一个三位数进行M运算，得到整数。如：。若一个三位数满足M()=132，求这个三位数。 (3)已知一个三位数和一个两位数，若满足，直接写出所有符合条件的三位数：＿＿＿。 链接好题 如图，五块小长方形镶嵌在一个大长方形中，其中①③完全相同， ②④完全相同。已知长方形①的宽AE为2，AB:BC=2:3，则阴影部分的面积为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 参考答案与方法指导 变式训练 1. (1)(2)是同类项； (3)(4)不是同类项。 2. (1)原式。 (2)原式。 (3)原式。 (4)原式。 3. (1)根据题意得。 ，当x=1时，。 4. 。 (2)设原题中“□”是a，则，因为标准答案的结果是常数，所以a+6=0，解得a=-6，所以原题中“□”是-6。 5. 。故答案为。 (2)因为，所以。 (3)因为xy+x=-6，y-xy=-2，即xy-y=2，xy+x+y-xy=x+y=-6-2=-8，2[]-3[]-xy=2[]-3[]-xy=-4+2(x+y)+(y-xy)=-4+2×(-8)+(-2)=-22。 6. (1)第一种方法：2(2b+2c)+2(2a+2c)=4a+4b+8c；第二种方法：(2a+2c)+(2b+2c)+(2a+2b)=4a+4b+4c；第三种方法：(2a+2c)+(2b+2c)+2(2a+2b)=6a+6b+4c。 (2)第三种包装方法所用的小彩带比第二种长：(6a+6b+4c)-(4a+4b+4c)=6a+6b+4c-4a-4b-4c=2a+2b。 7. C 【解析】设左下阴影矩形的宽为x，则AB=CD=a+x，所以右上阴影矩形的宽为a+x-2b，所以左下阴影矩形的周长，右上阴影矩形的周长为，所以，解得b=3，此时a的值不确定。故选C。 8. (1)根据题意得mn=10m+n，mn=7m+5n，所以10m+n=7m+5n，所以。因为m为1到9的整数，n为0到9的整数，所以m=4，n=3或m=8，n=6，所以这个两位数是43或86。 (2)根据题意得，所以，因为x，y为0到9的整数，所以当x=0时，y=7；当x=1时，y=6；当x=2时，y=3，所以这个三位数是507或516或523。 (3)因为abc=100a+10b+c，ac=10a+c，且abc=6ac+5c，所以100a+10b+c=6(10a+c)+5c，所以4a+b=c，因为a为1到9的整数，b，c为0到9的整数，所以符合条件的三位数有：104，115，126，137，148，159，208，219。故答案为104，115，126，137，148，159，208，219。 链接好题 B 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $