第3章第6讲平方根和立方根（3.1、3.3）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第3章 实数　第6讲 平方根和立方根(3.1、3.3) 第3章 实数 第6讲 平方根和立方根(3.1、3.3) 专题讲义 (一)平方根与立方根概念 例题精析 例 1 (1)若 ，则 x=＿＿＿；若 ，则 x=＿＿＿；若 ，则 x=＿＿＿。 (2)若 ，则 x=＿＿＿；若 ，则 x=＿＿＿；若 ，则 x=＿＿＿。 ▍思路点拨 (1)根据平方根的定义可得； (2)根据立方根的定义可得。 ▍过程详解 解： (1)因为 ，所以 x 是 4 的平方根，即 x=±2；因为 ，所以 x 是 5 的平方根，即 ；因为 ，所以 x 是 a 的平方根，即 。故答案为±2；；。 (2)因为 ，所以 x 是-8 的立方根，即 x=-2；因为 ，所以 x 是 4 的立方根，即 ；因为 ，所以 x 是 a 的立方根，即 。故答案为-2；；。 ▍总结升华 (1)一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 (2)一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 变式 1 (1)若 ，则 x=＿＿＿；若 ，则 x=＿＿＿。 (2)若 ，则 x=＿＿＿；若 ，则 x=＿＿＿。 例 2 计算： =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿。 ▍思路点拨 表示 64 的算术平方根，故其结果为正数； 表示 169 的平方根，故其结果是一对相反数； 表示的负平方根，故其结果为负数； 表示 的算术平方根，故其结果为正数； 表示-8 的立方根，故其结果为负数； 表示 的立方根，故其结果为正数。 ▍过程详解 解： (1)8 (2)±13 (4)15 (5)-2 ▍总结升华 区分，，，表示的意义。表示 a 的平方根，表示 a 的算术平方根，表示 a 的负平方根，表示 a 的立方根。 变式 2 计算： =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿； =＿＿＿。 例 3 已知正数 a 的两个不同的平方根分别是 2x-3 和 1-x，。求 a+2b 的算术平方根。 ▍思路点拨 根据平方根的性质可得(2x-3)+(1-x)=0，求出 x 的值，可得 a 的值，由，求出 b 的值，最后将 a,b 的值代入 a+2b 计算即可。 ▍过程详解 解：因为两个平方根分别是 2x-3 和 1-x，可得(2x-3)+(1-x)=0，解得 x=2，所以 。因为，所以 ，所以 b=4，所以 a+2b=9，所以 a+2b 的算术平方根为 3。 ▍总结升华 理解并运用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质。 变式 3 已知一个正数的平方根分别是 2a-7 和 a-8，3a-b-1 的立方根为 2。 (1)求 6a+b 的算术平方根。 (2)已知，，求 a+3b-2c+d 的平方根。 (二)算术平方根中被开方数的非负性 例题精析 例 4 若 ，求的值。 ▍思路点拨 根据算术平方根的被开方数具有非负性即可求出 x,y 的值，再代入计算即可。 ▍过程详解 解：因为 ，所以 2x≥1 且 2x≤1，所以 2x=1，即 ，所以 y=3。所以。 ▍总结升华 算术平方根具有非负性，由于根号中的两个式子是互为相反数的关系，因此它们只能都为 0。 变式 4 若 a,b 满足 ，求 的值。 (三)平方根与立方根的应用 例题精析 例 5 求满足下列各式 x 的值。 ； 。 ▍思路点拨 (1)利用平方根的定义解方程即可； (2)利用立方根的定义，先求出 2x-1=-5，再解方程求解即可。 ▍过程详解 解： (1)因为，所以 ，所以 x-1=10 或 x-1=-10，解得 x=11 或 x=-9。 (2)由，得 ，解得 x=-2。 ▍总结升华 根据平方根和立方根的概念求解方程，注意正数的平方根有两个，因此方程的解也为两个。 变式 5 ； 。 例 6 请根据下列对话内容，回答问题。 甲：我有一个正方体魔方，它的体积是 。 乙：我有一个长方体纸盒，它的体积是 。纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等。 (1)求该魔方的棱长。 (2)求该长方体纸盒的长。 ▍思路点拨 (1)已知体积，用立方根求棱长； (2)先表示体积，再求长方体的长。 ▍过程详解 解： (1)设该魔方的棱长为 xcm。根据题意，得 ，解得 x=6。答：该魔方的棱长为 6cm。 (2)设该长方体纸盒的长为 ycm。根据题意，得 ，，y=10 或 y=-10(舍去)。答：该长方体纸盒的长为 10cm。 ▍总结升华 根据平方根和立方根的概念求解应用题，注意实际问题中负值的舍去。 变式 6 若将一个棱长为 10cm 的立方体体积减少 V()，而保持立方体的形状不变，则棱长应减少多少厘米？若 ，则棱长应减少多少厘米？ (四)被开方数与开方数间的小数点移动规律题 例题精析 例 7 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，，，⋯；，，，⋯，由此可见，被开方数的小数点每向右移动＿＿＿位，其算术平方根的小数点向＿＿＿移动＿＿＿位。 (2)已知，，则＿＿＿；＿＿＿。 ，，，⋯，小数点的变化规律是＿＿＿。 (4)已知，，则 y=＿＿＿。 ▍思路点拨 观察已知等式，得到算术平方根及立方根的被开方数与结果小数点移动的一般规律，再利用得出的规律计算即可得到结果。 ▍过程详解 解： ，，，⋯；，，，⋯，由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位。故答案为两；右；一。 (2)已知，，则，。故答案为 12.25；0.3873。 (3)被开立方数的小数点向右(左)移三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位 (4)因为，，所以，所以，所以 y=-0.01。故答案为-0.01。 ▍总结升华 本题考查算术平方根及立方根的被开方数与结果小数点移动的一般规律，体现了从特殊到一般再到特殊的数学思想方法。 变式 7 根据下表回答下列问题： (1)316.84 的平方根是＿＿＿。 =＿＿＿。 =＿＿＿。 (4)若介于 17.6 与 17.7 之间，则满足条件的整数 n 有＿＿＿个。 (5)观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论。 链接好题 (1)观察发现： 表中 x=＿＿＿，y=＿＿＿。 (2)归纳总结：被开方数的小数点每向右移动两位，相应的算术平方根的小数点就向＿＿＿移动＿＿＿位。 (3)规律运用： ①已知，求的值； ②已知，，求 m 的值。 参考答案与方法指导 变式训练 1. (1)因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故答案为±0.5；。 (2)因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故答案为-4；。 2. (1)14 (3)-7 (4)0 3. (1)因为一个正数的平方根分别是 2a-7 和 a-8，3a-b-1 的立方根为 2，所以 2a-7+a-8=0，3a-b-1=8，解得 a=5，b=6，所以 6a+b=36，，即 6a+b 的算术平方根为 6。 (2)因为，所以 c=-4。因为，所以 d=-6，所以 a+3b-2c+d=5+18+8-6=25，所以，即 a+3b-2c+d 的平方根为±5。 4. 因为 ，所以 b≥2 且 b≤2，所以 b=2，所以 ，所以 。 5. (1)因为，所以，所以 x+2=4 或 x+2=-4，解得 x=2 或 x=-6。 (2)因为，所以 ，解得 x=-7。 6. 因为立方体的棱长为 10cm，所以立方体的体积为 ，所以减少 后剩余的立方体的体积等于，所以此时的棱长为，所以棱长应减少()cm。所以当 时，，所以若 ，则棱长应减少 5cm。 7. (1)±17.8 (2)17.3 (3)171 (4)因为，，又因为介于 17.6 与 17.7 之间，所以 n 的可能值为 310,311,312,313，所以满足条件的整数 n 有 4 个。故答案为 4。 (5)当 x>0 时，随着 x 的增大， 也随着增大。(答案不唯一) 链接好题 (1)0.1　10 (2)右　一 (3)①已知，则。 ②已知，，则 m=50。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $