-第2章第4讲有理数的乘除（2.3～2.4）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

第2章 有理数的运算　第4讲 有理数的乘除(2.3~2.4) 第2章 有理数的运算 第4讲 有理数的乘除(2.3~2.4) 专题讲义 (一)有理数乘除法中的符号问题 例题精析 例 1 已知 a,b,c 是有理数。 (1)当 ab>0,a+b<0 时，先判断 a,b 的正、负符号，再求 的值。 (2)当 abc≠0 时，写出 的值。 ▍思路点拨 (1)由 ab>0 及 a+b<0 先判断 a,b 的正、负性，然后根据绝对值的意义化简计算即可； (2)当 abc≠0 时，关于 a,b,c 符号，分四种情况：三正，两正一负，一正两负与三负，根据绝对值的意义化简计算即可。 ▍过程详解 解： (1)因为 ab>0,a+b<0，所以 a<0,b<0，所以 。 (2)当 a,b,c 同正时，；当 a,b,c 两正一负时，；当 a,b,c 一正两负时，；当 a,b,c 同负时，。综上所述， 或 ±1。 ▍总结升华 去绝对值符号就是要判断数的正负号，然后根据绝对值的意义化简计算，符号不能确定时要分类讨论。 变式 1 已知数 a,b,c 的大小关系如图，下列说法： ①ab+ac>0； ②-a-b+c<0； ③； ④若 x 为数轴上任意一点，则 |x-b|+|x-a| 的最小值为 a-b。其中正确结论是＿＿＿。 (二)有理数乘除法简便运算 例题精析 例 2 计算： (1)()÷(-5)； ； 。 ▍思路点拨 先将带分数拆分成与其相近的整数加减分数形式，再根据分配律可以简便计算；利用分配律的逆运算也可以达到简便计算的目的。 ▍过程详解 解： 。 。 。 ▍总结升华 有理数的乘除法与小学相比，关键是符号意识，其次是利用乘法运算律进行简便运算。 变式 2 简便计算： ； (2)()×(-24)； 。 (三)有理数乘除法在实际生活中的运用 例题精析 例 3 根据实际规律我们知道：海拔高度每提高 100m，气温将下降 0.6℃。甲、乙两名登山运动员在攀登同一座高峰，途中甲发信息说他所在地的气温为 -7℃，海拔为 1500m，同一时刻乙发回信息说他所在地气温为 -13℃。（设地面海拔为 0m） (1)此刻地面的气温为多少摄氏度？乙所在地的高度为多少米？ (2)登山时，两名队员在行进中全程均使用了氧气，每人每 100m 消耗氧气 0.5L。他们共使用了多少升氧气？ ▍思路点拨 (1)根据甲所处海拔 1500m 求出下降的温度，再加上甲此时的温度即可求得地面温度；求出乙下降的温度，再除以 0.6，即可得出乙所处高度； (2)两名队员行进的路程和，再乘百米耗氧量即可。 ▍过程详解 解： (1)因为 1500÷100×0.6-7=15×0.6-7=9-7=2(℃)，所以此刻地面的气温为 2℃；因为 (2+13)÷0.6×100=15÷0.6×100=25×100=2500(m)，所以乙所在地的高度为 2500m。 (2)两名队员共使用了氧气 (1500+2500)÷100×0.5=20(L)。 ▍总结升华 有理数乘除法在实际生活中的运用问题，就是要根据题意列出算式，再根据法则进行乘除法运算。 变式 3 有 16 筐白菜，以每筐 30 千克为标准，超过或不足的分别用正、负来表示，记录如下： (1)16 筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？ (2)与标准质量比较，16 筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价 2 元，则出售这 16 筐白菜可卖多少元？ (四)有理数运算中新定义类型 例题精析 例 4 对于有理数 a,b，定义新运算“⊗”，规则如下：a⊗b=ab-a-b+4，如 3⊗7=3×7-3-7+4=15。 (1)求 3⊗(-5) 的值。 (2)请你判断交换律在“⊗”运算中是否成立？并给出证明。 ▍思路点拨 (1)根据新定义 a⊗b=ab-a-b+4 代入计算即可； (2)验证 a⊗b=b⊗a 成立即可。 ▍过程详解 解： (1)3⊗(-5)=3×(-5)-3-(-5)+4=-9。 (2)交换律在“⊗”运算中成立。证明：因为 a⊗b=ab-a-b+4，b⊗a=ba-b-a+4，所以 a⊗b=b⊗a 成立。 ▍总结升华 新定义运算抓住题中定义的运算规则，进行演算验证即可。 变式 4 已知 a,b 为有理数，现规定一种新运算⊕，满足 a⊕b=a×b-a。 (1)(-2)⊕4=＿＿＿。 (2)求 (1⊕4)⊕() 的值。 (3)新运算 a⊕b=a×b-a 是否满足交换律，若满足请说明理由；若不满足，请举出一个反例。 (五)将一个整数“拆”成不同整数的积 例题精析 例 5 (1)若 a,b,c,d,e,f 为互不相等的 6 个整数，满足 abcdef=-36，你能求 a+b+c+d+e+f 的值吗？ (2)如果有 4 个不同的正整数 a,b,c,d 满足 (2025-a)(2025-b)(2025-c)(2025-d)=8，你还能求出 a+b+c+d 的值吗？ ▍思路点拨 先将 -36 与 8 分别进行因数分解，把 -36 和 8 拆成几个不同整数的积，即可求解。 ▍过程详解 解： (1)因为 a,b,c,d,e,f 是互不相等的 6 个整数，所以 -36=(-1)×1×(-2)×2×(-3)×3，所以 a+b+c+d+e+f=0。 (2)因为 a,b,c,d 是 4 个不同的正整数，所以 (2025-a),(2025-b),(2025-c),(2025-d) 也是各不相同的整数，不妨设 (2025-a)<(2025-b)<(2025-c)<(2025-d)，因为 8=(-4)×(-1)×1×2 或 8=(-2)×(-1)×1×4，(2025-a)+(2025-b)+(2025-c)+(2025-d)=8100-(a+b+c+d)，所以 a+b+c+d=8100-[(2025-a)+(2025-b)+(2025-c)+(2025-d)]，所以①当 (2025-a)+(2025-b)+(2025-c)+(2025-d)=-4-1+1+2=-2 时，a+b+c+d=8100-(-2)=8102； ②当 (2025-a)+(2025-b)+(2025-c)+(2025-d)=-2-1+1+4=2 时，a+b+c+d=8100-2=8098，所以 a+b+c+d=8102 或 8098。 ▍总结升华 将一个整数“拆”成不同整数的积，与小学相比，关键在于有负数，符号不同拆分的情况就会不同。 变式 5 若四个互不相同的正整数 a,b,c,d 满足 (5-a)(5-b)(5-c)(5-d)=4，则 a+b+c+d 的值为＿＿＿。 (六)分配律结合“倒数法”简便运算 例题精析 例 6 阅读下列材料： 计算：()÷()。 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再求出原式的值。 解：因为 ，所以原式。 请你根据材料提供的方法，完成计算：()÷()。 ▍思路点拨 观察“倒数法”的范例，把除式和被除式互换，就可以转化为利用分配律的类型来计算。 ▍过程详解 解：因为 ，所以 。 ▍总结升华 欲求 A，观察发现 可用分配律运算，因此可先求 。 变式 6 数学老师布置了一道思考题“计算：()÷()”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题： 原式的倒数为 ()÷()=()×(-12)=-4+10=6，所以 。 (1)请你通过计算验证小明的解法的正确性。 (2)由(1)可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于＿＿＿。 (3)请你运用小明的解法计算：()÷()。 链接好题 下列运算中能运用分配律带来简便的是（　　） A. 60÷() B. ()÷60 参考答案与方法指导 变式训练 1. ①④ 【解析】由题意 b<0<a<c，且 |c|>|b|>|a|，则①ab+ac>0，故原结论正确； ②-a-b+c>0，故原结论错误； ③，故原结论错误； ④当 b≤ x≤ a 时，|x-b|+|x-a| 的最小值为 a-b，故原结论正确。 2. 。 。 。 3. (1)2.5-(-3)=2.5+3=5.5(千克)。所以最重的一筐比最轻的一筐要重 5.5 千克。 (2)(-3)×1+(-2)×4+(-1)×2+0×3+1×2+2.5×4=-3-8-2+0+2+10=-1(千克)。答：与标准质量比较，16 筐白菜总计不足 1 千克。 (3)(30×16-1)×2=958(元)。答：出售这 16 筐白菜可卖 958 元。 4. (1)(-2)⊕4=(-2)×4-(-2)=-6。故答案为 -6。 (2)因为 1⊕4=1×4-1=3，所以 (1⊕4)⊕()=3⊕。 (3)不满足交换律。如：(-2)⊕4=(-2)×4-(-2)=-6，4⊕(-2)=4×(-2)-4=-12，以上两式不相等，故不满足交换律。 5. 20 6. 。所以小明的解法正确。 (2)它本身 (3)原式的倒数为 ()÷()=()×(-24)=-8+4-9=-13，所以 。 链接好题 C 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $