2.4 有理数的除法 同步讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“有理数的除法”核心知识点，系统梳理倒数（乘积为1的两数，正负性及0无倒数）和有理数除法法则（除以非0数等于乘其倒数，同号得正异号得负），通过解题知识、典例及变式构建学习支架，承接有理数乘法，为后续混合运算奠定基础。 资料亮点在于结合数轴情境培养几何直观（数学眼光），融入《九章算术》“经分术”渗透数学文化（数学思维），设计盐占盐水比例等实际问题提升应用意识（数学语言）。分层典例与过关验收题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化运算能力与推理意识。

第二章 2.4 有理数的除法 内 容 导 航 题型1 倒数 题型2 有理数的除法 考 点 演 练 题型1 倒数 解｜题｜知｜识 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【典例1】的倒数是（　　） A． B．﹣5 C． D．5 【答案】B 【解答】解：∵（）×（﹣5）＝1， ∴的倒数是﹣5， 故选：B． 【变式1】下列各对数中，互为倒数的是（　　） A．0和0 B．﹣3和 C．﹣4和 D．5和﹣5 【答案】C． 【解答】解：A．0没有倒数，∴0和0不互为倒数，故不符合题意； B．∵﹣31，∴﹣3和不互为倒数，故不符合题意； C．∵﹣4×（）＝1，∴﹣4和互为倒数，故符合题意； D．∵5×（﹣5）≠1，∴5和﹣5不互为倒数，故不符合题意． 故选：C． 【变式2】|﹣0.2|的倒数是（　　） A．0.2 B．﹣5 C．5 D． 【答案】C 【解答】解：∵|﹣0.2|＝0.2， ∴0.2的倒数为5． 故选：C． 【变式3】2024年是甲辰龙年，预示着国家兴旺昌盛，则2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【答案】C 【解答】解：2024的倒数是， 故选：C． 题型2 有理数的除法 解｜题｜知｜识 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【典例1】如图数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（　　） A． B．a+b＞0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|﹣b|＞0 【答案】A 【解答】解：根据数轴可知：b＜﹣1，0＜a＜1， 即a＞0，b＜0， ∴，a+b＜0，a﹣b＞0，|a|﹣|﹣b|＝a﹣（﹣b）＝a+b＜0， 故选：A． 【变式1】在1千克水中加入20克盐，这时盐占盐水的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵1千克＝1000克， ∴盐水总质量＝1000+20＝1020（克）． 盐的质量是20克， ∴盐占盐水的比值：． 故选：C． 【变式2】分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（　　）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，“经分术”的计算规则是，先对两个分数通分，再将通分后的分子相除得到结果， 选项D先把整数2化为分母为3的分数，完成两个分数的通分，再计算通分后的分子相除6÷2，完全符合“经分术”的计算道理，符合题意． 故选：D． 【变式3】甲、乙、丙三家文具店出售同样的复印纸，甲店3角能买4张，乙店4角能买5张，丙店5角能买6张，这种纸在（　　）店售价最低． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：甲店每张纸的价格：3÷4＝0.75（角）， 乙店每张纸的价格：4÷5＝0.8（角）， 丙店每张纸的价格：5÷6≈0.83（角）， 因为0.75角＜0.8角＜0.83角， 所以甲店单价最低，因此售价最低的店为甲店． 故选：A． 过 关 验 收 1．下列说法中，正确的是（　　） A．2与﹣2互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2 【答案】C 【解答】解：A、2与﹣2互为相反数，故此选项不符合题意； B、2与互为倒数，故此选项不符合题意； C、0的相反数是0，故此选项符合题意； D、2的绝对值是2，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的个数是（　　） ①﹣2024的相反数是2024； ②﹣2024的绝对值是2024； ③的倒数是2024． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解答】解：①﹣2024的相反数是2024，正确，故①符合题意； ②﹣2024的绝对值是2024，正确，故②符合题意； ③的倒数是2024，故③符合题意． ∴正确的个数是3个． 故选：A． 3．如果|a|+|b|＝0，那么对a和b的关系描述最准确的是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．a＝b＝0 D．以上说法都不对 【答案】C 【解答】解：∵|a|+|b|＝0， ∴a＝b＝0， 故选：C． 4．已知A和B互为倒数，那么　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵A和B互为倒数， ∴A×B＝1， ∴， 故答案为：． 5．已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且b＞c，若|c|＝2，则a＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵|c|＝2， ∴c＝±2， ∵b与c互为相反数，且b＞c， ∴c＜0， ∴c＝﹣2， ∴b＝2， ∵a与b互为倒数， ∴a， 故答案为：． 6．倒数等于它本身的数是 　±1　 ． 【答案】±1． 【解答】解：倒数等于它本身的数是±1； 故答案为：±1． 7．（1）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，x的绝对值等于2，求式子：的值． （2）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： ①判断正负，用“＞”或“＜”填空： c﹣b　＜　 0，a+b　＜　 0，a﹣c　＞　 0． ②化简：|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|． 【答案】（1）1或﹣3； （2）①＜，＜，＞；②﹣2a． 【解答】解：（1）∵a和b互为相反数， ∴a+b＝0， 又∵c和d互为倒数， ∴cd＝1， ∵x的绝对值等于2， ∴|x|＝2， ∴x＝±2， 当x＝2时，原式＝2﹣（0+1）2﹣1＝1， 当x＝﹣2时，原式＝﹣2﹣（0+1）+0＝﹣3， ∴的值为1或﹣3； （2）①有理数a、b、c在数轴上的位置得，c＜a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0； ②∵c﹣b＜0，a+b＜0，a﹣c＞0， ∴|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c| ＝b﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣c） ＝﹣c﹣a﹣a+c ＝﹣2a． 8．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2． （2）当m＝2时，m+cd2+1+0＝3； 当m＝﹣2时，m+cd2+1+0＝﹣1． 9．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　1　 ，　2　 ； （2）你认为当输入数等于　0　 时（写出一个即可），其输出结果为0； （3）你认为这个“数值转换机”不可能输出　负　 数； （4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　5n+2　 （用含自然数n的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若输入的数字为4时，4＞2，得到4+（﹣5）＝﹣1， ﹣1＜2，得到相反数为1，倒数为1，输出结果为1； 若输入数字为7时，7＞2，得到7+（﹣5）＝2， 得到相反数为﹣2，绝对值为2，输出结果为2； （2）根据题意得：输入数字为0（5、10、15…5的倍数均可），结果为0； （3）这个“数值转换机”不可能输出负数； （4）归纳总结得：小明输入的正整数是5n+2． 故答案为：1，2；0；负；5n+2． 10．已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　） A．b﹣a＞0 B．a+b＞0 C． D．ab＞0 【答案】A 【解答】解：由图可知，b＞0，a＜0，且|b|＜|a|， A、b﹣1＞0，故本选项符合题意； B、a+b＜0，故本选项不合题意； C、，故本选项不合题意； D、ab＜0，故本选项不合题意． 故选：A． 11．若|x|＝2，|y|＝3，且，则x+y＝　±1　 ． 【答案】±1． 【解答】解：∵|y|＝3，|x|＝2， ∴y＝±3，x＝±2， ∵， ∴x，y异号， 当x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1， 当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1， 故答案为：±1． 12．下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数，其中错误的有 　①②③　 （请填序号）． 【答案】①②③ 【解答】解：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故该项不正确； ②若a、b互为倒数，则ab＝1，故该项不正确； ③|a|＝a，则a≥0，故该项不正确； ④若a+b＝0，则a、b互为相反数，故该项正确． 故错误的为①②③． 故答案为：①②③． 13．六（3）班女生人数是男生的，女生人数是总人数的 　　 ．如果六（3）班的总人数在40～50之间，那么六（3）班一共有 　45　 人． 【答案】，45． 【解答】解：∵六（3）班女生人数是男生的， ∴女生人数是总人数的4÷（4+5）， ∵六（3）班的总人数在40～50之间， ∴能被9整除的数是45， ∴六（3）班一共有45人． 故答案为：，45． 14．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　﹣1　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为m与n互为相反数， 所以m+n＝0， 所以t＝0﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）①∵t＝﹣3， ∴m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5， ∴n＝t+4＝﹣3+4＝1， ∴m+n＝﹣5+1＝﹣4； ②当原点在点M的左侧时，m，n，t均为正整数， ∵t＝m+2，n＝m+6， ∴m+t+n ＝m+（m+2）+（m+6） ＝3m+8 ＝3（m+2）+2， ∵m+2为整数， ∴3（m+2）+2 除以3余数是2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 2.4 有理数的除法 内 容 导 航 题型1 倒数 题型2 有理数的除法 考 点 演 练 题型1 倒数 解｜题｜知｜识 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【典例1】的倒数是（　　） A． B．﹣5 C． D．5 【变式1】下列各对数中，互为倒数的是（　　） A．0和0 B．﹣3和 C．﹣4和 D．5和﹣5 【变式2】|﹣0.2|的倒数是（　　） A．0.2 B．﹣5 C．5 D． 【变式3】2024年是甲辰龙年，预示着国家兴旺昌盛，则2024的倒数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 题型2 有理数的除法 解｜题｜知｜识 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【典例1】如图数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（　　） A． B．a+b＞0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|﹣b|＞0 【变式1】在1千克水中加入20克盐，这时盐占盐水的（　　） A． B． C． D． 【变式2】分数除法在我国古代的《九章算术》中叫做“经分术”，采用先将两个分数通分，然后用分子相除的方法得到结果．小军在探究的结果时想出了4种不同的方法，其中（　　）的方法与《九章算术》中的“经分术”道理一样． A． B． C． D． 【变式3】甲、乙、丙三家文具店出售同样的复印纸，甲店3角能买4张，乙店4角能买5张，丙店5角能买6张，这种纸在（　　）店售价最低． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 过 关 验 收 1．下列说法中，正确的是（　　） A．2与﹣2互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是﹣2 2．下列说法正确的个数是（　　） ①﹣2024的相反数是2024； ②﹣2024的绝对值是2024； ③的倒数是2024． A．3 B．2 C．1 D．0 3．如果|a|+|b|＝0，那么对a和b的关系描述最准确的是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．a＝b＝0 D．以上说法都不对 4．已知A和B互为倒数，那么　 ． 5．已知a与b互为倒数，b与c互为相反数，且b＞c，若|c|＝2，则a＝　 ． 6．倒数等于它本身的数是 　 　 ． 7．（1）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，x的绝对值等于2，求式子：的值． （2）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： ①判断正负，用“＞”或“＜”填空： c﹣b　 　 0，a+b　 　 0，a﹣c　 　 0． ②化简：|c﹣b|+|a+b|﹣|a﹣c|． 8．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd的值． 9．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为　 　 ，　 　 ； （2）你认为当输入数等于　 　 时（写出一个即可），其输出结果为0； （3）你认为这个“数值转换机”不可能输出　 　 数； （4）有一次，小明操作的时候，输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是　 　 （用含自然数n的代数式表示）． 10．已知有理数a，b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　） A．b﹣a＞0 B．a+b＞0 C． D．ab＞0 11．若|x|＝2，|y|＝3，且，则x+y＝　 　 ． 12．下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数，其中错误的有 　 　 （请填序号）． 13．六（3）班女生人数是男生的，女生人数是总人数的 　 ．如果六（3）班的总人数在40～50之间，那么六（3）班一共有 　 　 人． 14．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　 　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2. 学科网（北京）股份有限公司 $