第一章 有理数（复习讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学有理数单元复习讲义通过表格梳理和知识框架构建了系统的知识体系，按“数的发展历程-有理数分类-数轴与几何直观-相反数与绝对值-大小比较”递进呈现，突出重点概念及应用，明确绝对值非负性等难点的内在联系。 讲义亮点在于“概念辨析+分层训练”设计，如用空间站温度实例讲解正负数表示相反意义的量，通过绝对值非负性模型培养推理意识。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学提升复习效率。

第一章 有理数 复习要点 1.理解数的发展历程，掌握用正数和负数表示具有相反意义的量，明确“0”的特殊性。 2.掌握有理数的两种分类方法，明确有限小数和无限循环小数均属于分数，也是有理数。 3.掌握数轴的三要素，理解任何一个有理数都可用数轴上的点表示，并能利用数轴直观比较数的大小。 4.掌握相反数的概念，理解互为相反数和为零的性质及在数轴上关于原点对称的几何性质。 5.掌握绝对值的概念及非负性，能熟练进行绝对值的化简运算，并能利用“若几个非负数的和为0，则它们均为0”的结论解决问题。 6.掌握有理数大小比较的法则，并能灵活运用数轴比较法和作差比较法。 复习重难点 重点：有理数的分类；数轴、相反数、绝对值的概念及其基本应用；利用数轴和法则比较有理数的大小。 难点：绝对值的非负性在代数综合题中的灵活应用；对相反数和绝对值几何意义的准确理解；准确区分有限小数、无限循环小数与分数的关系，以及厘清0在各概念中的特殊地位。 知识点 从自然数到有理数 1.数的发展历程 ①自然数：计数（如“修造了2000余年”）、测量（如“全长8852千米”）、标号/排序（如“邮政编码”、“公元前7世纪”）。 ②分数与小数：测量和分配等实际需要产生的（如蛋糕分配、身高换算）。分数可化为有限小数或无限循环小数，有限小数和无限循环小数也可化为分数。 ③引入负数的必然性：为了表示具有相反意义的量（如零上/零下温度、收入/支出、盈利/亏损），以及解决被减数小于减数的运算问题（如 836 - 900），数的范围需进一步扩展。 2.正数、负数与零 （1）用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数。 【例】以上几个例子分别记为：-4℃和+6℃，+30元和-30元，+30米和-100米。 （2）正数：像30、+6、、π这样的数叫做正数，正数都大于零； （3）负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：-30、-3.14、-0.002、-。表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略； （4）零的特殊性：0既不是正数，也不是负数。它是正数和负数的分界。 要点归纳： （1）数的发展源于实际需要（计数、测量等）以及解决被减数小于减数的运算问题。 （2）引入负数是为了表示具有相反意义的量（如收入与支出、零上与零下温度）。 （3）正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。 要点速测 1．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在，，，，，，这些数中，( )是整数，( )是自然数，( )是正数，( )是小数． 【答案】 ，，， ，， ，，， ， 【分析】根据整数、自然数、正数、小数的定义，对给出的数逐一分类即可 【详解】解：明确各类数的定义后逐一筛选，推导如下： ∵整数包含正整数、零、负整数， ∴，，，是整数， ∵自然数包含零和正整数， ∴，，是自然数， ∵正数是大于的数， ∴，，，是正数， ∵小数是带有小数点的十进制数， ∴，是小数． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）甲船的速度是22千米/小时，记作，那么乙船的速度是20千米/小时，记作（ ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先求出速度的记作标准，根据正负数表示相反意义的数解答． 【详解】解：∵甲船的速度是22千米/小时，记作， ∴速度的标记标准为20千米/小时， ∴乙船的速度是20千米/小时，记作0． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 【答案】20 【分析】本题考查正负数的实际意义，先确定计数的基准为及格标准23次，明确正负数表示的含义，再计算所求垫球次数即可． 【详解】解：由题意得，计数的基准为及格标准垫球23次，超过基准的次数记为正，低于基准的次数记为负，则记为的垫球次数是． 知识点 有理数的概念及分类 1.统称定义 整数：正整数、零、负整数统称整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 有理数：整数和分数统称有理数。 2.有理数的分类 （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注意】以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零。 自然数包含“0”和“正整数”；有限小数、无限循环小数均属于分数范畴。 要点归纳： （1）有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数均属于有理数范畴。 （2）有理数有两种分类方式：按性质分为整数和分数；按符号分为正有理数、零、负有理数。 （3）注意区分“非负数”（正数和零）、“非正数”（负数和零）以及“自然数”（包含0和正整数）等概念，0是唯一既不是正数也不是负数的有理数。 要点速测 4．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)分数集合：{，，，，…}；正整数集合：{10， 6，…}；负整数集合：{， ，… } (2)不是 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数定义，是解题的关键． （1）根据分数，正整数，负整数定义进行求解即可； （2）根据整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，进行求解即可． 【详解】（1）解：分数集合：{，，，，…}； 正整数集合：{10， 6，…}； 负整数集合：{，，… }． （2）解：分数集合、正整数集合、负整数集合都不包括0，故将（1）中三类数的集合合并在一起不是全体有理数集合． 5．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（ ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26七年级上·北京·阶段检测）在，6，，，，，，0中，______是非负有理数；______是整数． 【答案】 ，6，，，0 6，，0 【分析】本题主要考查非负有理数的定义和整数的知识，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义； 非负有理数是指0和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理数，整数包括正整数、负整数和0；根据非负有理数的定义即可求解； 【详解】解：根据非负有理数的定义可得：，6，，，0是非负有理数； 根据整数的定义可得：6，，0是整数， 故答案为：，6，，，0；6，，0； 知识点 数轴 1. 数轴的三要素 （1）数轴的定义：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。 （2）原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度。 2. 数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方。 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱。 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如π。 ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了：正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零。 要点归纳： （1）数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。 （2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（如π）。 （3）数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，数轴直观体现了数的大小关系，是数形结合和分类讨论的重要数学工具。 要点速测 7．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 【答案】 【详解】在0左侧，从0向左边数2个大格，左侧为负数，所以点表示的数是． 在0右侧，从0向右边数，位于第13小格的位置（3个大格＋1小格），右侧为正数，计算：，所以点表示的数是． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（ ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 【答案】D 【分析】本题考查数轴的基本知识，数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 数轴是一条直线,说法正确； B. 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边,说法正确； C. 在数轴上表示2和的点到原点的距离相等,说法正确； D.数轴的正方向可以根据实际需求定义，通常默认向右为正方向，但并非绝对，故该选项说法不正确； 故选D． 9．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，点，在数轴上表示的数分别为，，点与原点之间的距离为1，且点在原点左侧． (1) ， ； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，． 【答案】(1)2； (2) ，， 在数轴上表示各数如下： 根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得． 【分析】本题考查数轴、化简多重符号、有理数的大小比较． （1）根据数轴确定的值，再根据点与原点的距离以及点的位置确定的值． （2）先化简各数，再在数轴上表示出这些数，最后根据数轴上右边的数总比左边的数大来比较它们的大小． 【详解】（1）解：由数轴可得，， 因为点与原点之间的距离为，且点在原点左侧， 所以， 所以 ；． 故答案为：2；； （2） 略 知识点 相反数 1．相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 【例】+3与-3互为相反数；-3是+3的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“-3是相反数”是错误的。 2．相反数的性质 （1）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a与b互为相反数。 （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的。 要点归纳： （1）互为相反数是只有符号不同的两个数，0的相反数是0，相反数必须成对出现。 （2）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之亦成立。 （3）几何性质：在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即关于原点对称。 要点速测 10．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）时光流转，我们共同迎来年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行．现在，让我们从数学的视角开启这一年：的相反数是（ ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的相反数．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反绝对值相等的数. 【详解】解：的相反数为． 故选：B． 11．（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】本题考查了绝对值的化简，相反数，根据，所以，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，得出答案． 【分析】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）（1）_______；（2）_______；（3）_______． 【答案】 【分析】本题考查多重符号化简，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；． 知识点 绝对值 1．绝对值 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣。 2．绝对值运算 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 3．绝对值的性质 （1）非负性：任何数的绝对值都大于或等于0（∣a∣≥0）； （2）对称性：互为相反数的两个数，绝对值相等（如∣a∣=∣b∣，a=b或a=-b）。 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0。 例如，若∣a∣+∣b∣+∣c∣=0，则a=0，b=0，c=0。 要点归纳： （1）绝对值是指数轴上表示数a的点与原点的距离（记作|a|），具有非负性（|a|≥0）。 （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 （3）互为相反数的两个数绝对值相等；若几个非负数的和为0，则这若干个非负数都必为0。 要点速测 13．（25-26七年级上·江苏南京·期末）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【答案】D 【分析】本题需结合绝对值的代数定义与几何意义，相反数的定义，根据绝对值的代数定义和几何意义逐一判断即可． 【详解】解：A、表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为，而当时，；当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 14．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算：（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：． 15．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 知识点 有理数大小比较 1．有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。 2．有理数大小比较的法则 ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小。 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 （1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。两个负数比大小，绝对值大的反而小。 （2）数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 （3）作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b。 要点归纳： （1）法则比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 （2）数轴比较：在数轴上，右边的点表示的数总大于左边的点表示的数。 （3）作差比较：若a-b大于0，则a大于b；若a-b小于0，则a小于b；若a-b等于0，则a等于b。 要点速测 16．（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数与小数的四则运算及数的大小比较，依次计算各选项的运算结果，将结果与1比较大小即可得到答案． 【详解】解：选项A：，， A不符合要求， 选项B：，， B不符合要求， 选项C：， ，， C符合要求， 选项D：，， D不符合要求． 17．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）___________ 【答案】 【分析】先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到结果. 【详解】解：∵，， ， ∴ . 18．（25-26七年级上·河北保定·期末）某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（ ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 【答案】A 【分析】本题考查负数比较大小的知识点，根据“绝对值大的负数反而小”的规则比较四个地区最低气温的大小即可得出答案．熟练掌握负数比较大小的方法是解题关键，注意负数比较时不要混淆绝对值与数的大小关系． 【详解】解：∵ 四个地区的最低气温分别为、、、， 又∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，，， 且， ∴ ， ∴ 最低气温最高的地区是石家庄． 故选：A． 题型1 正负数与相反意义的量 ▌例1-1 （25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 【答案】 【分析】该题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，零上温度记为正数，零下温度记为负数 【详解】解：由题意，零上记作，则零下应记作负数，即， 故答案为：． ▌例1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国海拔最高点珠穆朗玛峰，记其海拔为米，那么海拔最低点艾丁湖，其海拔在海平面下米可记为（ ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，关键是熟练应用知识点解题；利用正负数表示具有相反意义的量，海平面以上记为正，则海平面以下记为负． 【详解】解：∵规定海平面以上的海拔高度记为正， ∴海平面以下的海拔高度记为负， ∵艾丁湖海拔在海平面下米， ∴其海拔可记为：米， 故选：A． ▌例1-3 （25-26七年级上·全国·课后作业）将一串有理数按如下图所示的规律排列，回答下列问题： (1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？ 【答案】(1)在A位置的数是正数 (2)在B和D位置的数是负数 (3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置 【分析】本题考查了数字变化规律，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键． （1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答； （2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答； （3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据余数的情况确定对应的位置即可． 【详解】（1）（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）（2）观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）（3）， ∴第2025个数是负数，对应的是B的位置． 解题要点 正负数与相反意义的量 1.找准“基准量”，将基准量视为0，如海拔以海平面为基准，温度以0℃为基准。 2.明确“相反意义的量”成对出现，规定其中一个为正，则另一个必为负（如“零上”为正，“零下”为负；“超出”为正，“不足”为负）。 3.注意文字语言的准确转化，如“零下150℃”直接记为-150，“超过3克”记为+3克等。 ▌迁移练1-1（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重克，下列（ ）的咖啡符合此标准． A．净重克 B．净重克 C．净重克 D．净重克 【答案】B 【分析】先根据克的质量标准算出合格质量的取值范围，再判断各选项是否符合． 【详解】解：合格质量最大值为（克）， 最小值为（克）， 即合格范围为克净重克． A选项，C选项，D选项，均不符合标准； B选项，符合标准． ▌迁移练1-2（2025·湖北·模拟预测）若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，结合题干的条件，进行逐个查找，又因为算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹，进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，观察表格的信息，得“”所表示的数是， 故答案为： 题型2 有理数的概念及分类 ▌例2-1 （25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在中，有（ ）个有理数． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数． 根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：是有理数， 是无限不循环小数，不是有理数．故选C． ▌例2-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（ ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【详解】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． ▌例2-3 （25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，0，，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 【答案】正数集：3，，，，； 整数集：，，，； 负分数集：，； 有理数集：，，，，，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，熟练掌握正数、整数、负分数，有理数的定义是解题的关键；根据有理数的分类填空，即可求解． 【详解】解：，， 正数集：{3，，，，}； 整数集：{，，，}； 负分数集：{，}； 有理数集：{，，，，，，，，} 解题要点 有理数的概念及分类 1.凡是能化为分数的数都是有理数，如有限小数和无限循环小数。无限不循环小数（如π）不是有理数。 2.明确“0”的特殊性：0是整数，既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。 3.在处理分类填空时，务必先把多重符号和绝对值化到最简，再根据化简后的结果进行分类（如先算-(-7)=7，-|-9|=-9）。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【分析】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． ▌迁移练2-2（25-26七年级上·江苏镇江·期中）下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的定义，相反数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义判断各说法的正误． 【详解】解：∵ 非负数包括正数和零，故①错误； ∵ 整数和分数统称为有理数，故②正确； ∵ 0既不是正数也不是负数，故③正确； ∵ 相反数等于本身的数只有0，故④正确． ∴ 错误的说法有1个，故选A． 题型3 数轴上的点与有理数的关系 ▌例3-1 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． ▌例3-2 （25-26七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：手掌遮挡住的点表示的数在与之间， ∵， ∴手掌遮挡住的点表示的数可能是． 解题要点 数轴上的点与有理数的关系 1.画数轴必须包含三要素：原点、正方向、单位长度，且单位长度要统一。 2.数轴上表示的数，右边的总比左边的大；左边点表示的数总比右边点表示的数小。 3.数轴上两个点之间的距离表示公式：若点表示数a和b，则两点间的距离为|a - b|。 ▌迁移练3-1（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（ ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点及题意求解即可． 【详解】解：A．点M在和之间，离0大约2点多，比3离0近，说法正确； B．从点M到之间有、、0、1、2这5个整数，说法正确； C．M在与之间，说法正确； D．M到0之间只有和两个负整数，不是3个，所以D不正确． ▌迁移练3-2（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 题型4 相反数及多重符号的化简 ▌例4-1 （（25-26七年级上·陕西西安·期中）年月开学季，曲江第二学校级七年级新生用“未来密码钥匙”开启了新世界的大门，以下表示的相反数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义解答即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 解题要点 相反数及多重符号的化简 1.互为相反数的两个数，只有符号不同，且它们的和必为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0（常用于整体代换求值）。 2.多重符号化简遵循“奇负偶正”法则：负号个数为奇数时，结果为负；负号个数为偶数时，结果为正。 3.注意区分“多重符号的化简”与“运算法则”，务必先化简多层符号，再结合相反数、绝对值的定义解题。 ▌迁移练4-1（（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（ ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． ▌迁移练4-2（24-25七年级上·重庆·期末）已知与的值互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查代数式求值，相反数的性质，根据相反数的性质可得，进而得出，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 题型5 绝对值的基本概念与运算 ▌例5-1 （24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）对于有理数a、b，若，，且，则_____|（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握异号两数相加取绝对值较大加数的符号是解题关键．根据有理数加法法则判断即可． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． ▌例5-2 （25-26七年级上·山东德州·期末）数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上两点距离公式，点与点的距离表示为，且该距离为． 【详解】解：∵ 点与点的距离为， ∴可以表示为． 故选：． 解题要点 绝对值的基本概念与运算 1.绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2.绝对值的非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 3.绝对值的几何意义是数轴上表示该数的点到原点的距离，利用数轴与距离公式解决与距离相关的实际问题是常见考法。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·全国·期中）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质，当内部表达式为非负数时，绝对值等于其本身；当内部表达式为负数时，绝对值等于其相反数，由于，可得，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则M，N两点间的距离可表示为：．如图，点A，B，C分别表示，2，5，点P为数轴上任意一点，若，则下列结论中正确的是（    ） A．d的最大值为6 B．d的最大值为3 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点间距离的表示方法，熟练掌握数轴上两点距离的表示方法是解题的关键，若点P表示的数为p，分别表示出的距离，再代入，得到，根据点P的位置分情况讨论p的取值范围，去掉绝对值符号后分析d的取值即可得到答案． 【详解】解：若点P表示的数为p， 点A，B，C分别表示，2，5， ∴，，， ∴， ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； ∴d随着p的增大而增大，当时，，当时，， ∴， ③当时，则， ∴； 综上所述：， 故选：B． 题型6 有理数的大小比较 ▌例6-1 （25-26七年级上·云南普洱·期末）下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较法则，先区分正负数，再比较负数的绝对值即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∴最小的有理数是． 解题要点 有理数的大小比较 1.比较法则：正数 > 0 > 负数；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 2.巧用数轴比较：在数轴上，右边的点表示的数总大于左边的点表示的数。 3.异号两数必是正数大于负数；同号两数要比较大小，必须先比较它们的绝对值。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 题型7 绝对值的非负性与“0+0=0”模型 ▌例7-1 （七年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则________． 【答案】 【分析】首先依据绝对值的非负数的性质求得、、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 而，，， ∴，，， 解得，，， ∴． ▌例7-2 （25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值意义，结合，先确定x、y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ，只能， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 解题要点 绝对值的非负性与“0+0=0”模型 1.绝对值具有非负性，常与非负的平方项（如(|a|≥0，a²≥0)）结合考。若几个非负数的和为0，则这几个非负数各自必为0。 2.在含有绝对值且附带大小限制条件（如x-y<0）的求值题中，必须先根据大小关系排除掉不符合条件的解，再进行分情况讨论求解。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴. ▌迁移练7-2（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】0 【详解】解：∵且， ∴， ∴ ． 题型8 有理数大小比较的实际应用 ▌例8-1 （2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（ ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 【详解】解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 解题要点 有理数大小比较的实际应用 1.解应用题时，先用正负数将生活中的实际数据转化为有理数。 2.比较此类数据的大小时，结合“正数大于负数”、“0大于负数”等法则来判断最高、最低、最强、最弱等。 3.若比较多个负数（如温度、信号强度dBm），注意负数绝对值越大，其数值反而越小。 ▌迁移练8-1（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）衡量手机信号强弱的标准称为．信号的单位是，范围是到，数越大表示信号越强．则下列信号最强的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答． 【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，且， ∴信号最强的是． 故选：D． 难点一 数轴、绝对值与代数运算的综合应用 数轴是数形结合的重要工具，而绝对值既代表代数化简，又代表几何距离。将两者结合，要求学生在去掉绝对值符号时必须先判断符号的正负，这是本章考查频率极高且容易出错的核心难点。 方法总结： ① 去绝对值符号的基本原则：先判断绝对值符号内部代数式的正负。若内部代数式大于等于0，则直接去掉符号保留原式；若小于0，则去掉符号后变为其相反数。 ② 遇到数轴上求两点间距离的问题时，利用距离公式MN=∣x1−x2∣，将“距离”转化为绝对值问题；再结合已知条件（如点所在范围），确定符号并进行化简。 ③ 当出现多个绝对值的和差化简时，可采用“零点分段法”，找出各个绝对值的零点并将其在数轴上排序，将数轴划分为若干区间，在不同区间内讨论并分别去掉绝对值符号。 易错提醒： ① 易忽略绝对值符号内部的代数式本身的正负（例如a<3时，∣3−a∣应化为3−a），从而盲目去符号导致结果完全相反。 ② 进行多区间分类讨论时，最易漏掉分界点（零点）的情况，或在书写不同区间时把对应的代数式符号搞混。 ③ 在结合数轴的实际应用题中，容易混淆“点的位置”和“点到点的距离”这两个概念，忽略了距离必须是非负数。 难点精练 1．25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 2．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 难点二 绝对值的非负性及“非负数和为0”模型的运用 绝对值的非负性（∣a∣≥0 ）以及由此衍生的“若干个非负数的和为0，则这几个数同时为0”的模型，是代数综合题的重要考点。由于它常与平方项结合出现，对学生综合运用代数思维的能力要求较高。 方法总结： ① 必须牢固掌握：任何有理数的绝对值都是非负数（∣a∣≥0∣），并且任何数的偶次方（如a2、(a−b)2）也是非负数。 ② 见到“∣A∣+∣B∣=0”或“∣A∣+B2=0”等结构时，直接利用“非负数和为0”模型，列出A=0和B=0，解出每一个未知数的值。 ③ 求多个未知数的代数式值时，先通过上述模型准确求出各个未知数，最后再进行整体代入计算。 易错提醒： ① 易遗漏偶次方（如平方项）也具有非负性，无法识别出考题其实是在考查“0+0=0”模型，导致无从下手。 ② 题目如果没有直接给出绝对值相加等于0的形式，有时会隐蔽在几何条件（如“距离为0”）或实际生活中，需要学生能准确将其转化为绝对值模型。 ③ 求出多个未知数后代入代数式求值时，因为涉及多个正负符号的混合运算，极易在加减环节出现错误。 难点精练 3．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）已知，则的值等于（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据绝对值、偶次方的非负性分别求出m、n，再代入计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，， 则， 故选：A． 4．（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 【答案】9 【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，根据数轴上两点间的距离公式可得c的值，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3， ∴， ∴． 难点三 正负数的实际应用与多重符号化简中的概念辨析 将生活实际问题转化为正负数的数学模型，以及准确化简多重符号（如−(−(+5))），要求学生对相反数、绝对值、0的特殊性有非常清晰的认知。思维环节较多，学生极易因符号繁多、正负意义混淆而出错。 方法总结： ① 在实际问题中识别相反意义量时，先设定一个“基准”（如海平面、0℃），规定其中一个方向为正，则另一个必为负。解题时务必把文字语言（如“零下”、“亏损”）准确转化为数学符号（“-”）。 ② 针对多重符号化简，遵循“奇负偶正”原则：在一个数前面，负号个数为奇数个，结果取负；负号个数为偶数个，结果取正。但要注意“绝对值”和“多重符号”不能混合运算。 ③ 在有理数的分类题目中，务必先将多重符号和绝对值化简到最简形式，再根据最简结果进行归类，避免因未化简就分类导致错误。 易错提醒： ① 容易混淆“相反数”和“负数”的概念，例如认为−a一定表示负数，而忽略了a本身如果为负数，则−a是正数。 ② 在处理绝对值与相反数结合的题目时（如“一个数的绝对值等于它的相反数”），容易漏掉数0的情况，导致分类讨论不完整。 ③ 在进行分数和十进制小数的相互转化并分类时，容易把有限小数、无限循环小数当作非有理数而排除，从而选错分类的集合。 难点精练 5．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 【答案】 【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可． 【详解】 解：由“”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为、、， 又∵个位数上斜放了一筹，表示负数， ∴“”表示的数是． 6．（25-26七年级上·四川达州·期中）在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数的个数，从而确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：（分数）、（负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（分数）、（分数）、（无理数，不是分数，也不是整数）， 综上，非负整数有 ，共 4 个， 分数有 ，共 3 个， 即， 则 ． 故答案为：1． 基础达标 1．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为______，这座高山山下和山顶的温度相差______． 【答案】 【分析】零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，温差等于较高温度减去较低温度． 【详解】解：∵零上温度记为正，零下温度记为负， ∴零下记为， ∵用山下温度减去山顶温度：， ∴高山山下和山顶的温度相差． 2．（26-27七年级上·广东广州·开学考试）把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，． 非负有理数集合{____________________________________…}； 负整数集合{________________________________________…}； 负分数集合{________________________________________…}． 【答案】，，，；，； 【分析】先将各数进行化简整理，再按定义进行分类处理，其中非负有理数是指所有大于等于0的有理数，即正有理数和零的统称；负整数是指小于0的整数；负分数是指小于0的分数，包括负有限小数和负无限循环小数． 【详解】解：，，， 非负有理数集合{，，，， …}；     负整数集合{，，…}；     负分数集合{，…}． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在数轴上的位置得出，则，再判断即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 4．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若m的相反数是4，则的结果是（     ） A．5 B． C．13 D． 【答案】A 【详解】解：∵的相反数是4， ∴， ∴． 5．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的规则，先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值大小后即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 6．（24-25七年级上·广东茂名·期末）比较大小：________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先分别化简两个式子，再比较化简结果的大小， 【详解】解： ∵ ， ， ∴． 7．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则_______． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值，进行计算即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴原式； 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 10．（25-26七年级上·江西上饶·期末）把下列各数填入它所属的集合内，并将上面各数用“”号连接起来： 0，，，，，， (1)整数集合{            …}；非正有理数集合{            …}； (2)__________；(将上面各数用“”号连接起来)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查有理数的分类及实数的大小比较，关键是先化简各数，明确相关概念和大小比较规则． （1）先化简含绝对值、符号的数，再根据整数(正整数、0、负整数的统称)的定义筛选整数；根据非正有理数(和负有理数的集合，有理数包含整数和分数)的定义，排除无理数后筛选符合条件的数； （2）先将各数转化为直观的数值形式，再依据“负数绝对值大的反而小，0大于负数，正数大于0，正数按数值从小到大排列”的规则，将所有数从小到大连接． 【详解】（1）解：先化简各数：，，； 整数集合为； 非正有理数集合为； （2）解：将各数转化为便于比较的形式：，，，； 根据实数大小比较规则：负数的绝对值越大，数值越小；正数大于0，0大于负数，正数按数值从小到大排列， 可得． 能力进阶 11．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 12．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题与抽屉原理，分析整数的奇偶性并运用抽屉原理是解题的关键． 通过，b，的奇偶性进行分类讨论：①若，b，全为奇数或全为偶数；②若，b，既有奇数又有偶数，则必有两个数同为奇数或同为偶数；以此证明无论，b，的奇偶如何组合，代数式，，中至少有一个是整数，即可判断． 【详解】解：∵，b，是整数， ∴分两种情况讨论： ①若，b，全为奇数或全为偶数，则，，均为偶数， ∴，，均为整数. ②若，b，既有奇数又有偶数，根据抽屉原理，必有两个数同为奇数或同为偶数， 设这两数为和，则为偶数， ∴为整数，即三个代数式中至少有一个为整数； 综上，，，中至少有一个是整数． 故选：C． 13．（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 14．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 15．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 16．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）观察一列数：，，，，，，，…，将这列数排成如图所示形式．记对应的数为第行第列的数，如，那么对应的数为____________；对应的数为________ ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数字和图形中数字的排列，可以发现数字的变化特点，从而可以得到和对应的数．解题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数字． 【详解】解：由图可知， 第一行个数， 第二行个数， 第三行个数， …， 则五行有个数， ∴前五行一共有：（个）， 则第六行第一个数为第个数； 则第八行有个数， ∴前八行一共有：（个）， 则第九行第个数是这列数的第个数， 由图形中的数字可知，奇数个数为负数，偶数个数为正数， ∴对应的数为；对应的数为． 故答案为：；． 17．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）已知，c是最小的自然数，d是最大负整数，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值． 根据非负数的性质，由给定等式求出a和b的值，再根据自然数和负整数的定义求出c和d的值，最后代入代数式计算． 【详解】由，根据非负数的性质，得且， 解得，， 是最小的自然数， 即； 是最大负整数， 即． 代入代数式， 得． 故答案为：． 18．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 【答案】5或2 【分析】利用数轴得出两点之间的距离，然后分两种情况进行讨论，即当原点位于点和点之间时和当原点位于点右侧时，最后根据线段的数量关系求出点的坐标． 【详解】解：由数轴得， ①当原点位于点和点之间时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； ②当原点位于点右侧时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； 综上，点所表示的数是5或2． 19．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 20．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 复习要点 1.理解数的发展历程，掌握用正数和负数表示具有相反意义的量，明确“0”的特殊性。 2.掌握有理数的两种分类方法，明确有限小数和无限循环小数均属于分数，也是有理数。 3.掌握数轴的三要素，理解任何一个有理数都可用数轴上的点表示，并能利用数轴直观比较数的大小。 4.掌握相反数的概念，理解互为相反数和为零的性质及在数轴上关于原点对称的几何性质。 5.掌握绝对值的概念及非负性，能熟练进行绝对值的化简运算，并能利用“若几个非负数的和为0，则它们均为0”的结论解决问题。 6.掌握有理数大小比较的法则，并能灵活运用数轴比较法和作差比较法。 复习重难点 重点：有理数的分类；数轴、相反数、绝对值的概念及其基本应用；利用数轴和法则比较有理数的大小。 难点：绝对值的非负性在代数综合题中的灵活应用；对相反数和绝对值几何意义的准确理解；准确区分有限小数、无限循环小数与分数的关系，以及厘清0在各概念中的特殊地位。 知识点 从自然数到有理数 1.数的发展历程 ①自然数：计数（如“修造了2000余年”）、测量（如“全长8852千米”）、标号/排序（如“邮政编码”、“公元前7世纪”）。 ②分数与小数：测量和分配等实际需要产生的（如蛋糕分配、身高换算）。分数可化为 或 ，有限小数和无限循环小数也可化为分数。 ③引入负数的必然性：为了表示具有 的量（如零上/零下温度、收入/支出、盈利/亏损），以及解决被减数小于减数的运算问题（如 836 - 900），数的范围需进一步扩展。 2.正数、负数与零 （1）用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上 表示负数。 【例】以上几个例子分别记为：-4℃和+6℃，+30元和-30元，+30米和-100米。 （2）正数：像30、+6、、π这样的数叫做正数，正数都大于零； （3）负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：-30、-3.14、-0.002、-。表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定 省略； （4）零的特殊性：0既不是 ，也不是 。它是正数和负数的分界。 要点归纳： （1）数的发展源于实际需要（计数、测量等）以及解决被减数小于减数的运算问题。 （2）引入负数是为了表示具有相反意义的量（如收入与支出、零上与零下温度）。 （3）正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。 要点速测 1．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在，，，，，，这些数中，( )是整数，( )是自然数，( )是正数，( )是小数． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）甲船的速度是22千米/小时，记作，那么乙船的速度是20千米/小时，记作（ ） A． B． C． D．0 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 知识点 有理数的概念及分类 1.统称定义 整数：正整数、零、负整数统称整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 有理数： 和 统称有理数。 2.有理数的分类 （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注意】以下几个概念的区分： 非负数： ；非正数： ； 非负整数： ；非正整数： ； 非负有理数： ；非正有理数： 。 自然数包含 和 ； 、 均属于分数范畴。 要点归纳： （1）有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数均属于有理数范畴。 （2）有理数有两种分类方式：按性质分为整数和分数；按符号分为正有理数、零、负有理数。 （3）注意区分“非负数”（正数和零）、“非正数”（负数和零）以及“自然数”（包含0和正整数）等概念， 是唯一既不是正数也不是负数的有理数。 要点速测 4．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 5．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（ ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 6．（25-26七年级上·北京·阶段检测）在，6，，，，，，0中，______是非负有理数；______是整数． 知识点 数轴 1. 数轴的三要素 （1）数轴的定义：数轴是一条规定了 、 和 的直线。 （2）原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示 的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为 方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度。 2. 数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方。 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱。 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个 来表示； 但数轴上的点 代表有理数，比如π。 ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 ； ③数轴直观地说明了：正数大于零，负数小于零，正数大于负数。 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零。 要点归纳： （1）数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。 （2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（如π）。 （3）数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，数轴直观体现了数的大小关系，是数形结合和分类讨论的重要数学工具。 要点速测 7．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（ ） A．数轴是一条直线 B．若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右边 C．在数轴上表示2和的点到原点的距离相等 D．数轴上一定取向右的方向为正方向 9．（25-26七年级上·陕西安康·期中）如图，点，在数轴上表示的数分别为，，点与原点之间的距离为1，且点在原点左侧． (1) ， ； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，． 知识点 相反数 1．相反数 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数 。特别地，0的相反数是 。 【例】+3与-3互为相反数；-3是+3的相反数； 【注】相反数必须 出现，单独一个数不能说是相反数.“-3是相反数”是错误的。 2．相反数的性质 （1）代数性质：若a与b互为相反数，则 ；反之，若a+b=0，则a与b互为 。 （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的 相等，即这两点是关于原点 的。 要点归纳： （1）互为相反数是只有 不同的两个数，0的相反数是0，相反数必须成对出现。 （2）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之亦成立。 （3）几何性质：在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等，即关于原点对称。 要点速测 10．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）时光流转，我们共同迎来年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行．现在，让我们从数学的视角开启这一年：的相反数是（ ） A．2026 B． C． D． 11．（25-26七年级上·福建泉州·期中）计算：___________． 12．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）（1）_______；（2）_______；（3）_______． 知识点 绝对值 1．绝对值 数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作∣a∣。 2．绝对值运算 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 。 3．绝对值的性质 （1）非负性：任何数的绝对值都 0（∣a∣≥0）； （2）对称性：互为相反数的两个数，绝对值 （如∣a∣=∣b∣，a=b或a=-b）。 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0。 例如，若∣a∣+∣b∣+∣c∣=0，则a=0，b=0，c=0。 要点归纳： （1）绝对值是指数轴上表示数a的点与原点的距离（记作|a|），具有非负性（|a|≥0）。 （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 （3）互为相反数的两个数绝对值相等；若几个非负数的和为0，则这若干个非负数都必为0。 要点速测 13．（25-26七年级上·江苏南京·期末）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 14．（25-26七年级上·陕西商洛·期中）计算：（ ） A． B． C． D．2 15．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 知识点 有理数大小比较 1．有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用 ，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小。 2．有理数大小比较的法则 ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值 。 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 （1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。两个负数比大小，绝对值大的反而小。 （2）数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数。 （3）作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b。 要点归纳： （1）法则比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 （2）数轴比较：在数轴上，右边的点表示的数总大于左边的点表示的数。 （3）作差比较：若a-b大于0，则a大于b；若a-b小于0，则a小于b；若a-b等于0，则a等于b。 要点速测 16．（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（ ） A． B． C． D． 17．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）___________ 18．（25-26七年级上·河北保定·期末）某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（ ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 题型1 正负数与相反意义的量 ▌例1-1 （25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． ▌例1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国海拔最高点珠穆朗玛峰，记其海拔为米，那么海拔最低点艾丁湖，其海拔在海平面下米可记为（ ）米． A． B． C． D． ▌例1-3 （25-26七年级上·全国·课后作业）将一串有理数按如下图所示的规律排列，回答下列问题： (1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？ 解题要点 正负数与相反意义的量 1.找准“基准量”，将基准量视为0，如海拔以海平面为基准，温度以0℃为基准。 2.明确“相反意义的量”成对出现，规定其中一个为正，则另一个必为负（如“零上”为正，“零下”为负；“超出”为正，“不足”为负）。 3.注意文字语言的准确转化，如“零下150℃”直接记为-150，“超过3克”记为+3克等。 ▌迁移练1-1（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重克，下列（ ）的咖啡符合此标准． A．净重克 B．净重克 C．净重克 D．净重克 ▌迁移练1-2（2025·湖北·模拟预测）若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（ ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·北京·期末）算筹是我国古代广泛应用的一种运算工具，摆放方式分“纵式”摆放和“横式”摆放，图案与数字的对应关系如下表，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式……，这样从右到左，纵横相间，以此类推．算筹也可以表示负数，表示方法为：在个位上再斜向摆放一根算筹． 如：数字823所对应的图案为“”，则“”所表示的数是______． 题型2 有理数的概念及分类 ▌例2-1 （25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）在中，有（ ）个有理数． A．4 B．5 C．6 D．7 ▌例2-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（ ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” ▌例2-3 （25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，0，，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 解题要点 有理数的概念及分类 1.凡是能化为分数的数都是有理数，如有限小数和无限循环小数。无限不循环小数（如π）不是有理数。 2.明确“0”的特殊性：0是整数，既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。 3.在处理分类填空时，务必先把多重符号和绝对值化到最简，再根据化简后的结果进行分类（如先算-(-7)=7，-|-9|=-9）。 ▌迁移练2-1（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ ▌迁移练2-2（25-26七年级上·江苏镇江·期中）下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 数轴上的点与有理数的关系 ▌例3-1 （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（ ） A． B． C． D． ▌例3-2 （25-26七年级上·河北石家庄·期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A．0.5 B． C． D． 解题要点 数轴上的点与有理数的关系 1.画数轴必须包含三要素：原点、正方向、单位长度，且单位长度要统一。 2.数轴上表示的数，右边的总比左边的大；左边点表示的数总比右边点表示的数小。 3.数轴上两个点之间的距离表示公式：若点表示数a和b，则两点间的距离为|a - b|。 ▌迁移练3-1（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（ ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 ▌迁移练3-2（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 题型4 相反数及多重符号的化简 ▌例4-1 （（25-26七年级上·陕西西安·期中）年月开学季，曲江第二学校级七年级新生用“未来密码钥匙”开启了新世界的大门，以下表示的相反数的是（　　） A． B． C． D． 解题要点 相反数及多重符号的化简 1.互为相反数的两个数，只有符号不同，且它们的和必为0，即若a、b互为相反数，则a+b=0（常用于整体代换求值）。 2.多重符号化简遵循“奇负偶正”法则：负号个数为奇数时，结果为负；负号个数为偶数时，结果为正。 3.注意区分“多重符号的化简”与“运算法则”，先化简多层符号，再结合相反数、绝对值的定义解题。 ▌迁移练4-1（（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（ ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 ▌迁移练4-2（24-25七年级上·重庆·期末）已知与的值互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 题型5 绝对值的基本概念与运算 ▌例5-1 （24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）对于有理数a、b，若，，且，则_____|（填“”或“”） ▌例5-2 （25-26七年级上·山东德州·期末）数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（ ）． A． B． C． D． 解题要点 绝对值的基本概念与运算 1.绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2.绝对值的非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 3.绝对值的几何意义是数轴上表示该数的点到原点的距离，利用数轴与距离公式解决与距离相关的实际问题是常见考法。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·全国·期中）若，则________． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·北京·期末）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则M，N两点间的距离可表示为：．如图，点A，B，C分别表示，2，5，点P为数轴上任意一点，若，则下列结论中正确的是（ ） A．d的最大值为6 B．d的最大值为3 C．d的最小值为 D．d的最小值为 题型6 有理数的大小比较 ▌例6-1 （25-26七年级上·云南普洱·期末）下列各数：3，，，，0.23，，，其中最小的有理数是（ ） A． B． C． D． 解题要点 有理数的大小比较 1.比较法则：正数 > 0 > 负数；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 2.巧用数轴比较：在数轴上，右边的点表示的数总大于左边的点表示的数。 3.异号两数必是正数大于负数；同号两数要比较大小，必须先比较它们的绝对值。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 题型7 绝对值的非负性与“0+0=0”模型 ▌例7-1 （七年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则________． ▌例7-2 （25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 解题要点 绝对值的非负性与“0+0=0”模型 1.绝对值具有非负性，常与非负的平方项（如(|a|≥0，a²≥0)）结合考。若几个非负数的和为0，则这几个非负数各自必为0。 2.在含有绝对值且附带大小限制条件（如x-y<0）的求值题中，必须先根据大小关系排除掉不符合条件的解，再进行分情况讨论求解。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（ ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 题型8 有理数大小比较的实际应用 ▌例8-1 （2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（ ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 解题要点 有理数大小比较的实际应用 1.解应用题时，先用正负数将生活中的实际数据转化为有理数。 2.比较此类数据的大小时，结合“正数大于负数”、“0大于负数”等法则来判断最高、最低、最强、最弱等。 3.若比较多个负数（如温度、信号强度dBm），注意负数绝对值越大，其数值反而越小。 ▌迁移练8-1（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）衡量手机信号强弱的标准称为．信号的单位是，范围是到，数越大表示信号越强．则下列信号最强的是（） A． B． C． D． 难点一 数轴、绝对值与代数运算的综合应用 数轴是数形结合的重要工具，而绝对值既代表代数化简，又代表几何距离。将两者结合，要求学生在去掉绝对值符号时必须先判断符号的正负，这是本章考查频率极高且容易出错的核心难点。 方法总结： ① 去绝对值符号的基本原则：先判断绝对值符号内部代数式的正负。若内部代数式大于等于0，则直接去掉符号保留原式；若小于0，则去掉符号后变为其相反数。 ② 遇到数轴上求两点间距离的问题时，利用距离公式MN=∣x1−x2∣，将“距离”转化为绝对值问题；再结合已知条件（如点所在范围），确定符号并进行化简。 ③ 当出现多个绝对值的和差化简时，可采用“零点分段法”，找出各个绝对值的零点并将其在数轴上排序，将数轴划分为若干区间，在不同区间内讨论并分别去掉绝对值符号。 易错提醒： ① 易忽略绝对值符号内部的代数式本身的正负（例如a<3时，∣3−a∣应化为3−a），从而盲目去符号导致结果完全相反。 ② 进行多区间分类讨论时，最易漏掉分界点（零点）的情况，或在书写不同区间时把对应的代数式符号搞混。 ③ 在结合数轴的实际应用题中，容易混淆“点的位置”和“点到点的距离”这两个概念，忽略了距离必须是非负数。 难点精练 1．25-26七年级上·四川宜宾·期中）有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A．1 B． C． D． 2．（2022七年级上·湖南张家界·竞赛）已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 难点二 绝对值的非负性及“非负数和为0”模型的运用 绝对值的非负性（∣a∣≥0 ）以及由此衍生的“若干个非负数的和为0，则这几个数同时为0”的模型，是代数综合题的重要考点。由于它常与平方项结合出现，对学生综合运用代数思维的能力要求较高。 方法总结： ① 必须牢固掌握：任何有理数的绝对值都是非负数（∣a∣≥0∣），并且任何数的偶次方（如a2、(a−b)2）也是非负数。 ② 见到“∣A∣+∣B∣=0”或“∣A∣+B2=0”等结构时，直接利用“非负数和为0”模型，列出A=0和B=0，解出每一个未知数的值。 ③ 求多个未知数的代数式值时，先通过上述模型准确求出各个未知数，最后再进行整体代入计算。 易错提醒： ① 易遗漏偶次方（如平方项）也具有非负性，无法识别出考题其实是在考查“0+0=0”模型，导致无从下手。 ② 题目如果没有直接给出绝对值相加等于0的形式，有时会隐蔽在几何条件（如“距离为0”）或实际生活中，需要学生能准确将其转化为绝对值模型。 ③ 求出多个未知数后代入代数式求值时，因为涉及多个正负符号的混合运算，极易在加减环节出现错误。 难点精练 3．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）已知，则的值等于（ ） A．4 B． C．2 D． 4．（24-25七年级上·新疆巴州·期中）已知有理数a，b满足，且数轴正半轴上表示数c的点C到原点的距离是3，求的值． 难点三 正负数的实际应用与多重符号化简中的概念辨析 将生活实际问题转化为正负数的数学模型，以及准确化简多重符号（如−(−(+5))），要求学生对相反数、绝对值、0的特殊性有非常清晰的认知。思维环节较多，学生极易因符号繁多、正负意义混淆而出错。 方法总结： ① 在实际问题中识别相反意义量时，先设定一个“基准”（如海平面、0℃），规定其中一个方向为正，则另一个必为负。解题时务必把文字语言（如“零下”、“亏损”）准确转化为数学符号（“-”）。 ② 针对多重符号化简，遵循“奇负偶正”原则：在一个数前面，负号个数为奇数个，结果取负；负号个数为偶数个，结果取正。但要注意“绝对值”和“多重符号”不能混合运算。 ③ 在有理数的分类题目中，务必先将多重符号和绝对值化简到最简形式，再根据最简结果进行归类，避免因未化简就分类导致错误。 易错提醒： ① 容易混淆“相反数”和“负数”的概念，例如认为−a一定表示负数，而忽略了a本身如果为负数，则−a是正数。 ② 在处理绝对值与相反数结合的题目时（如“一个数的绝对值等于它的相反数”），容易漏掉数0的情况，导致分类讨论不完整。 ③ 在进行分数和十进制小数的相互转化并分类时，容易把有限小数、无限循环小数当作非有理数而排除，从而选错分类的集合。 难点精练 5．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 6．（25-26七年级上·四川达州·期中）在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 基础达标 1．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）某高山山下的温度为，记为，山顶的温度为零下，记为______，这座高山山下和山顶的温度相差______． 2．（26-27七年级上·广东广州·开学考试）把下列各数分别填在相应的集合中： ，0，，，，，，． 非负有理数集合{____________________________________…}； 负整数集合{________________________________________…}； 负分数集合{________________________________________…}． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）若m的相反数是4，则的结果是（ ） A．5 B． C．13 D． 5．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 6．（24-25七年级上·广东茂名·期末）比较大小：________．（填“”、“”或“”） 7．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则_______． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 10．（25-26七年级上·江西上饶·期末）把下列各数填入它所属的集合内，并将上面各数用“”号连接起来： 0，，，，，， (1)整数集合{            …}；非正有理数集合{            …}； (2)__________；(将上面各数用“”号连接起来)． 能力进阶 11．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 12．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 13．（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（ ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 15．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）观察一列数：，，，，，，，…，将这列数排成如图所示形式．记对应的数为第行第列的数，如，那么对应的数为____________；对应的数为________ ． 17．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）已知，c是最小的自然数，d是最大负整数，则代数式的值是________． 18．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 19．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 20．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $