专题 2.3 有理数的乘法 基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法核心知识点，系统梳理两数相乘法则（同号得正异号得负并算绝对值）、多个有理数相乘符号判定（负因数个数偶正奇负含0则0）、倒数概念（乘积为1且0无倒数）及乘法运算律（交换律结合律分配律），构建从基础法则到综合应用的递进学习支架。 资料特色在于知识梳理通过“要点提示”强化抽象能力，题型分夯实基础（直接计算、倒数求解、符号辨析）与综合提升（简便运算、实际应用），以例题变式训练运算能力与推理意识。实际应用题如公交站点位置、气温垂直变化计算培养模型意识，同步检测分层练习助力课中教学效率提升，课后学生可自主回顾强化，弥补知识盲点。

专题 2.3 有理数的乘法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点1】有理数乘法法则 2 【知识点2】多个有理数相乘法则 2 【知识点3】倒数的概念 2 【知识点4】有理数乘法运算律 2 【知识点5】高频易错总结 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接运用有理数乘法法则计算 3 【题型2】求数的倒数 5 【题型3】多个有理数相乘（符号辨析） 7 四.题型精析（综合提升） 9 【题型4】乘法运算律简便运算 9 【题型5】有理数乘法实际应用题 10 五.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 经历有理数乘法法则的推导过程，理解有理数乘法的实际意义； 2. 熟练掌握有理数乘法法则，能准确判断多个有理数相乘的符号，规范完成乘法运算； 3. 理解倒数的定义，掌握求非零有理数倒数的方法，明确0的特殊性； 4. 掌握有理数乘法三大运算律，能灵活运用运算律简化乘法运算； 5. 能够运用有理数乘法知识解决生活中的实际应用问题。 （二）重难点 重点：有理数乘法运算法则；多个有理数相乘的符号判定；乘法运算律的灵活运用。 难点：多个负因数相乘的符号确定；乘法分配律的精准运用；复杂乘法简便运算。 二.知识梳理与解读 【知识点1】有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。 【要点提示】 有理数乘法固定两步解题法：①先判断符号；②再计算绝对值的乘积。 【知识点2】多个有理数相乘法则 1. 几个不为0的有理数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数； 2. 若干个有理数相乘，只要其中有一个因数为0，最终积一定为0。 【知识点3】倒数的概念 若两个非零有理数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 【要点提示】 1. 1的倒数是1，-1的倒数是-1； 2. 0没有倒数，是考试高频考点； 3. 求小数、带分数倒数，需先化为最简假分数再计算。 【知识点4】有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：，交换因数位置，积不变； 2. 乘法结合律：，可自由结合因数优先计算； 3. 乘法分配律：，一个数乘两数和，等于分别相乘再相加。 【要点提示】 运用乘法分配律时，括号外的因数必须乘括号内每一项，杜绝漏乘；负数参与运算时，重点注意符号变化。 【知识点5】高频易错总结 1. 多个因数相乘，数错负因数个数，导致最终符号判断错误； 2. 概念混淆，误认为0有倒数； 3. 乘法分配律运用不规范，出现漏乘、符号出错问题； 4. 带分数、小数乘法未先化简，直接计算导致结果错误。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接运用有理数乘法法则计算 解题技巧：先定符号（同正异负），再算绝对值乘积；遇0直接得0，简化运算。 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式1】（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 【变式2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．要使三个数的乘积最小，结果应为负数.而三数相乘结果为负数有两种情况：一负两正或三负．根据题中数据，负数只有两个，故只能是“一负两正”的情况．要使“一负两正”的积最小，应取绝对值最大的负数与两个正数相乘． 解：最小的积为：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型2】求数的倒数 解题技巧：乘积为1的两数互为倒数；小数化分数、带分数化假分数后再求倒数，0无倒数。 【例题2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 【答案】在数轴上表示：， 解：4的相反数：； 的倒数：； 绝对值等于的数：， 在数轴上表示：略 用 “” 将所有数连接起来为． 【变式1】（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数进行判断即可． 解：， ∵ ∴的倒数是． 故选：B． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是_____． 【答案】 【分析】本题考查倒数，带分数化为假分数，再根据积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 解：的倒数是； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查倒数，明确倒数的概念是解决问题的关键． （1）利用倒数的概念求解即可． （2）利用倒数的概念求解即可． （3）利用倒数的概念求解即可． （1）解：的倒数是2； （2）解：的倒数是； （3）解：的倒数是． 【题型3】多个有理数相乘（符号辨析） 解题技巧：先统计负因数个数，偶正奇负；算式含0则结果为0，无需计算。 【例题3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）120；（2）；（3）0 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． （1）按有理数的乘法法则计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再把小数化成分数，最后按有理数的乘法法则计算； （3）按有理数的乘法法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 【变式3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据运算法则计算即可； （2）由“乘任何数都得”计算即可． （1）解： ； （2）解：． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】乘法运算律简便运算 解题技巧：利用交换律、结合律凑整、凑±1；利用分配律展开化简，规避复杂计算。 【例题4】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． （1）解： （2）解： 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 解：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 利用乘法分配律进行简便运算. 解：原式 故答案为：． 【变式3】（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = （1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； （2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】（1）；；；（2）； （1）解：原式； （2）解：原式． 【题型5】有理数乘法实际应用题 【例题5】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． （1）计算说明最终车辆停在哪一站； （2）相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 【答案】（1）最终停在老虎滩站；（2）公交车全程行驶的总路程为 【分析】（1）将题干中的数据相加后判断即可； （2）将题干中的数据的绝对值相加，然后乘以即可． （1）解：， 答：最终停在老虎滩站； （2）解：行驶的总站数为 ∴总路程为． 【变式1】（25-26七年级下·山西长治·期末）地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算山顶与山脚的海拔差，再根据气温垂直递减规律计算山顶相对山脚的气温下降量，最后根据山顶气温求出山脚气温即可． 解：∵山脚海拔为，山顶海拔为 ∴山顶与山脚的海拔差为 根据题意，海拔每升高气温下降 ∴山顶相对山脚的气温下降量为 ∵山顶海拔高于山脚，气温比山脚低，且山顶气温为 ∴山脚气温为 ． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，求6张白纸粘合后的总长度为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先理解题意，观察图中信息，且结合粘合部分的宽为，进行列式计算，即可作答． 解：∵将长为、宽为的长方形白纸，粘合部分的宽为， 故如图所示： ∴6张白纸粘合后的总长度． 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：千克）如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 （1）求这袋土豆的平均质量是多少？ （2）若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 【答案】（1）千克；（2）元 【分析】（1）先计算袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数得到平均质量； （2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可． （1）解： （千克）， 20袋土豆的实际总质量为（千克）， 平均质量为（千克）． （2）解：总费用为（元）， 答：买这袋土豆共需元． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川德阳·一模）计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：． 2．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴，，，故A，B，C错误， ，故D正确． 3．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 4．（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多个有理数相乘的符号法则，熟练掌握多个有理数相乘的符号法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的符号法则“多个数非零有理数相乘时，负数的个数为奇数时积为负数，负数的个数为偶数时积为正数；有零相乘时，结果为0”即可求解． 解：选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：中负数的个数为偶数，故选项B不符合题意； 选项C：中负数的个数为偶数，故选项C不符合题意； 选项D：中负数的个数为奇数，故选项D符合题意． 故答案为：D． 5．（25-26七年级上·陕西安康·期末）高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为5千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法与加法运算及实际问题中的数量关系分析，根据高度每增加1千米气温下降的规律，计算5千米高度气温下降量，再结合地面气温求解． 解：∵高度增加5千米， ∴气温下降， 又∵地面气温为， ∴高空气温为， 故选：B． 6．（26-27七年级·全国·小升初衔接）的绝对值的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵，的倒数为， ∴的绝对值的倒数为． 7．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 8．（2025·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 9．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数乘法运算，绝对值等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解题的关键．根据已知可得，从而得到，即可得解． 解： ， ，即， 对应在数轴上只有A选项符合． 故选：A． 10．（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）在计算时，一名同学的计算方法是“”，这样的计算结果与正确结果不一致．请你结合图分析，这名同学出错是因为没有计算图中（   ）的面积． A．② B．②和③ C．①和③ D．②和④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算，数形结合的思想，把乘法算式转变成了长方形的面积，找出每部分图形的长和宽，从而求解．观察图可知，这个同学的方法是把计算转化成了长、宽的长方形的面积，又把这个长方形面积转化成4个长方形的面积，找出和是哪两部分的面积，就可以找到没有计算的部分． 解：观察图形，这个同学的方法是把计算转化成了长、宽的长方形的面积，又把这个长方形面积转化成4个长方形的面积， 指的是第①块的面积，指的是第④块的面积， 所以这名同学出错是因为没有计算图中的第②和③块的面积． 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则，两个负数相乘结果为正数，再计算绝对值相乘. 解： 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则即可求解． 解： 故答案为：． 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数，1，，中任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，则_______． 【答案】 【分析】此题考查的是有理数的乘法，代数式求值，解题的关键是熟练掌握两数相乘，同号得正，异号得负，最大的积，当两数同号时积为正．当两数异号时积为负，即可求出最大积和最小积，最后代入求出代数式的值即可． 解：由题意可知，当时，积最大，即， 当时，积最小，即， ∴ 故答案为：． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多个有理数相乘的乘法法则，掌握法则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数转化为假分数，再确定积的符号，运用乘法交换律和结合律进行简便运算即可求解． 解： 故答案为： 15．（2026·河北唐山·一模）若，则“”表示的数为________． 【答案】 解：∵， ∴与互为倒数， ∴． 16．（24-25七年级上·全国·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算法则，关键是交换因数的位置，利用乘法结合律进行解答． 利用有理数乘法运算法则进行计算． 解：＝＝1， 故答案为：1． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目作变形，使运算量减小，达到简化运算的目的．请你在横线上补充完整计算过程：原式__________．横线上依次填写：________、________（填最终计算结果）． 【答案】 1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 利用乘法分配律求解即可. 解：原式 故答案为：①；  ②1. （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将分数化为小数，再逆用乘法的分配律即可； （2）将小数统一化为分数，再将同分母结合即可． （1）解： ； （2） ； 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算、乘法运算律及裂项相消法，熟记裂项相消法、有理数相关运算法则及运算律是解决问题的关键． （1）先由乘法分配律展开，再计算有理数乘法，最后由有理数加法运算计算即可得到答案； （2）先利用裂项相消的方法化简，再逆用乘法分配律，最后根据有理数乘法运算计算即可得到答案． （1）解： ； （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江西吉安·期末）交警大队一辆警车从警局出发沿着一条南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，约定向北为正方向，当天执勤行驶记录如下（单位：千米），下午结束工作后回到警局．问： （1）警车离出发点最远在警局的什么位置？ （2）若该警车每千米耗油升，那么该天共耗油多少升？ 【答案】（1）警车离出发点最远在警局的北面21千米处；（2）该天消耗了升油 【分析】（1）把每次行驶记录相加，可判断最远的位置； （2）根据行车路程可算出耗油量． （1）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 第五次：， 第六次：， 第七次：， ∵ ∴警车离出发点最远在警局的北面21千米处； （2）解：（升）， 答：该天消耗了升油； 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟悉掌握简便运算的方法是解题的关键． （1）转化为，再利用乘法分配率运算求解即可； （2）利用乘法分配率运算求解即可． 解：（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； 24．（本小题满分12分）（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． （1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 有理数的乘法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点1】有理数乘法法则 2 【知识点2】多个有理数相乘法则 2 【知识点3】倒数的概念 2 【知识点4】有理数乘法运算律 2 【知识点5】高频易错总结 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接运用有理数乘法法则计算 3 【题型2】求数的倒数 4 【题型3】多个有理数相乘（符号辨析） 4 四.题型精析（综合提升） 4 【题型4】乘法运算律简便运算 5 【题型5】有理数乘法实际应用题 5 五.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 经历有理数乘法法则的推导过程，理解有理数乘法的实际意义； 2. 熟练掌握有理数乘法法则，能准确判断多个有理数相乘的符号，规范完成乘法运算； 3. 理解倒数的定义，掌握求非零有理数倒数的方法，明确0的特殊性； 4. 掌握有理数乘法三大运算律，能灵活运用运算律简化乘法运算； 5. 能够运用有理数乘法知识解决生活中的实际应用问题。 （二）重难点 重点：有理数乘法运算法则；多个有理数相乘的符号判定；乘法运算律的灵活运用。 难点：多个负因数相乘的符号确定；乘法分配律的精准运用；复杂乘法简便运算。 二.知识梳理与解读 【知识点1】有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。 【要点提示】 有理数乘法固定两步解题法：①先判断符号；②再计算绝对值的乘积。 【知识点2】多个有理数相乘法则 1. 几个不为0的有理数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数； 2. 若干个有理数相乘，只要其中有一个因数为0，最终积一定为0。 【知识点3】倒数的概念 若两个非零有理数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 【要点提示】 1. 1的倒数是1，-1的倒数是-1； 2. 0没有倒数，是考试高频考点； 3. 求小数、带分数倒数，需先化为最简假分数再计算。 【知识点4】有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：，交换因数位置，积不变； 2. 乘法结合律：，可自由结合因数优先计算； 3. 乘法分配律：，一个数乘两数和，等于分别相乘再相加。 【要点提示】 运用乘法分配律时，括号外的因数必须乘括号内每一项，杜绝漏乘；负数参与运算时，重点注意符号变化。 【知识点5】高频易错总结 1. 多个因数相乘，数错负因数个数，导致最终符号判断错误； 2. 概念混淆，误认为0有倒数； 3. 乘法分配律运用不规范，出现漏乘、符号出错问题； 4. 带分数、小数乘法未先化简，直接计算导致结果错误。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接运用有理数乘法法则计算 解题技巧：先定符号（同正异负），再算绝对值乘积；遇0直接得0，简化运算。 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】求数的倒数 解题技巧：乘积为1的两数互为倒数；小数化分数、带分数化假分数后再求倒数，0无倒数。 【例题2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在数轴上表示和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，再用 “” 将所有数连接起来． 【变式1】（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 【变式2】（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是_____． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： （1）． （2）． （3）． 【题型3】多个有理数相乘（符号辨析） 解题技巧：先统计负因数个数，偶正奇负；算式含0则结果为0，无需计算。 【例题3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】乘法运算律简便运算 解题技巧：利用交换律、结合律凑整、凑±1；利用分配律展开化简，规避复杂计算。 【例题4】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【变式3】（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = （1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； （2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【题型5】有理数乘法实际应用题 【例题5】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． （1）计算说明最终车辆停在哪一站； （2）相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 【变式1】（25-26七年级下·山西长治·期末）地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，求6张白纸粘合后的总长度为______ ． 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：千克）如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 （1）求这袋土豆的平均质量是多少？ （2）若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川德阳·一模）计算 （     ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 4．（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·陕西安康·期末）高度每增加1千米，气温就下降．如果现在地面气温是，那么离地面高度为5千米的高空的气温是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级·全国·小升初衔接）的绝对值的倒数是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 8．（2025·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 9．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·辽宁鞍山·开学考试）在计算时，一名同学的计算方法是“”，这样的计算结果与正确结果不一致．请你结合图分析，这名同学出错是因为没有计算图中（   ）的面积． A．② B．②和③ C．①和③ D．②和④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算：______． 12．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）计算：______． 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数，1，，中任取三个数相乘，其中最大的积是，最小的积是，则_______． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 15．（2026·河北唐山·一模）若，则“”表示的数为________． 16．（24-25七年级上·全国·期中）计算：______． 17．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，，则______． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）化繁为简是数学常用的思想方法．用简便方法计算时，常用运算律对题目作变形，使运算量减小，达到简化运算的目的．请你在横线上补充完整计算过程：原式__________．横线上依次填写：________、________（填最终计算结果）． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·期末）计算： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江西吉安·期末）交警大队一辆警车从警局出发沿着一条南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，约定向北为正方向，当天执勤行驶记录如下（单位：千米），下午结束工作后回到警局．问： （1）警车离出发点最远在警局的什么位置？ （2）若该警车每千米耗油升，那么该天共耗油多少升？ 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江·阶段检测）阅读下面解题过程． 例：； 例：； 请你参考上面的例题，用运算律进行简便计算： （1）； （2）． 24．（本小题满分12分）（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $