第4章第8讲代数式（4.1～4.2）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第4章 代数式　第8讲 代数式(4.1~4.2) 第4章 代数式 第8讲 代数式(4.1~4.2) 专题讲义 (一)根据题意列代数式 例题精析 例 1 根据题意,列出代数式: (1)小王爸爸把 a 元按一年期定期储蓄存入银行,年利率为 b,到期后可得本利和为＿＿＿元。 (2)某工厂原计划用 a 天生产 b 件产品,由于技术革新实际比原计划少用 x 天完成,则实际每天要比原计划多生产＿＿＿件。 (3)已知甲、乙两种糖果的单价分别为 x 元/千克,12 元/千克;为了使甲、乙两种糖果分别销售与把它们混合成什锦糖果后再销售的收入保持不变,则 20 千克甲糖果和 y 千克乙糖果混合而成的什锦糖果的单价应是＿＿＿元/千克。 ▍思路点拨 (1)本利和=本金+利息;(2)分别求出原计划每天生产件数与实际每天生产件数,相减即可得;(3)平均单价=销售总额(两种糖果单价×千克数之和)÷总质量。 ▍过程详解 解:(1)(a+ab) (2)() ▍总结升华 理清题意,用代数式表示相关的数量关系。 变式 1 根据题意,列出代数式: (1)某种商品原价每件 a 元,现打 6 折出售,这时的售价是＿＿＿元。 (2)设甲数为 x,乙数为 y,用代数式表示"甲数与乙数的和的三分之一"是＿＿＿。 (3)已知轮船在静水的速度是 a km/h,水流速度是 y km/h,轮船顺流航行的总路程为 s km,则轮船顺流航行的时间为＿＿＿h。 (二)用整体代入法求代数式值 例题精析 例 2 数学中,运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要。 例如:已知,则代数式 。 请你根据以上材料解答以下问题: (1)若 ,求 的值。 (2)当 x=1 时,代数式 的值是 5,求当 x=-1 时,代数式 的值。 (3)当 x=2025 时,代数式 的值为 m,求当 x=-2025 时,求代数式 的值是多少? ▍思路点拨 将 x=1 与 x=2025 分别代入代数式求得 p+q 与 的值,再将 x=-1 和 x=-2025 分别代入,对所得代数式 -p-q+1 及 进行变形,整体代入即可。 ▍过程详解 解。 (2)将 x=1 代入 得 p··1+1=p+q+1=5,所以 p+q=4。将 x=-1 代入 得 p··(-1)+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-4+1=-3。 (3)当 x=2025 时,代数式 的值为 m,即 ,当 x=-2025 时。 ▍总结升华 整体思想在代数式求值中经常出现,即把某个代数式作为一个整体代入求值。 变式 2 运用整体思想方法求解: (1)若代数式 的值为 10,求代数式 的值。 (2)当 x=2 时,代数式 的值为 9,当 x=-2 时,求代数式 的值。 (三)列代数式解决几何图形的面积或周长问题 例题精析 例 3 如图,一扇窗户,窗框为铝合金材料,下面是由两个大小相等的长方形窗框构成,上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成,窗户半圆部分安装彩色玻璃,两个长方形部分安装透明玻璃(本题中 π 取 3,长度单位为米)。 (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金多少米?(用含 x,y 的代数式表示) (2)一扇这样的窗户一共需要玻璃多少平方米?铝合金窗框宽度忽略不计。(用含 x,y 的代数式表示) (3)已知铝合金 200 元/米,彩色玻璃 90 元/平方米,透明玻璃 70 元/平方米。某公司需要购进 20 扇窗户,当 x=2,y=3 时,共需多少费用? ▍思路点拨 按照长方形与半圆的周长与面积可求出制作窗框的铝合金材料的总长度及窗户的面积(玻璃面积)即可。 ▍过程详解 解:(1)4x+2y+π·米。答:一扇这样的窗户一共需要铝合金()米。 ·平方米。答:一扇这样的窗户一共需要玻璃()平方米。 (3)当 x=2,y=3 时,20 扇这样的窗户共用铝合金为 20×()=340(米),共用彩色玻璃为 (平方米),共用透明玻璃为 20×2×3=120(平方米),总费用=340×200+30×90+120×70=68000+2700+8400=79100(元)。答:共需 79100 元。 ▍总结升华 用字母表示数,列代数式来表示相关实际问题,再次体现代数式具有一般性。先把图形的各边用字母表示出来,再表示图形面积和周长。 变式 3 如图所示是两种款式的长方形铝合金窗框,已知窗框的长都是 y 米,宽都是 x 米。某用户订购了图 1 窗框 4 个,图 2 窗框 5 个。 (1)制作这批窗框共需铝合金多少米?(用含 x,y 的代数式表示) (2)若 1 米铝合金的费用为 50 元,则当 x=2,y=1.5 时,求该用户订购这批窗框的总费用。 (四)列代数式解决分段计费问题 例题精析 例 4 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,我市采用价格调控的手段达到节水的目的,我市自来水收费的价目表如下表: 请根据如表的内容解答下列问题: (1)填空:若该户居民 2 月份用水 ,则应收水费＿＿＿元。 (2)若该户居民 3 月份用水 (其中 ),则应收水费多少元?(用含 a 的代数式表示,并化简) (3)若该户居民 4,5 两个月共用水 (5 月份用水量超过了 4 月份),设 4 月份用水 ,该户居民 4,5 两个月共交水费多少元?(用含 x 的代数式表示,并化简) ▍思路点拨 根据表格可以求出该用户 2 月份应缴的具体水费及 3 月份用水 (其中 )应缴纳的水费;再根据题意,分三种情况,可以分别求得该用户 4,5 月份共交的水费。 ▍过程详解 解:(1)由题意得,3×4=12(元),所以应收水费 12 元。故答案为 12。 (2)3×6+(a-6)×5=5a-12。应收水费(5a-12)元。 (3)①当 0<x≤5 时,总水费=3x+[3×6+4×5+(15-x-10)×9]=(83-6x)元;②当 5<x≤6 时,总水费=3x+[3×6+(15-x-6)×5]=(63-2x)元;③当 6<x<7.5 时,总水费=3×6+(x-6)×5+3×6+(15-x-6)×5=51(元)。 ▍总结升华 用字母表示数,列代数式来表示相关实际问题,再次体现代数式具有一般性。分段计费问题要理清各阶段的计费标准,再按照要求列代数式。 变式 4 小江注意到妈妈手机中的电费短信(如图),对其中的数据产生了浓厚的兴趣,谷 85 度是什么意思?电费是如何计算的?第一档与第二档又有什么关系? 【解读信息】 通过互联网查询后获得下表: 小江家采用峰谷电价计费,谷时用电量为 85 度,那么峰时用电量就是 227-85=142(度),由于小江家年用电量处在第一档,故 9 月份电费为 0.568×142+85×0.288≈105.14(元)。 【理解信息】 (1)若采用普通电价计费,小江家 9 月份的电费为＿＿＿元。(精确到 0.01) (2)假设某月谷时用电量与月用电量的比值为 m,若采用峰谷电价计费,求处在第一档的 1 度电的电费。(用含有 m 的代数式表示) 【重构信息】 (3)12 月份,小江家谷时用电量与月用电量的比值为 0.2。采用峰谷电价计费,电费为 154.55 元。已知小江家截止到 11 月底第一档用电量还剩 281 度。通过计算判断:截至 12 月底小江家的年用电量是否仍处于第一档? (五)列代数式解决方案选择问题 例题精析 例 5 某家具厂生产一种课桌和椅子,课桌每张定价 200 元,椅子每把定价 80 元,厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:方案一:每买一张课桌就赠送一把椅子;方案二:课桌和椅子都按定价的 80%付款。某校计划添置 100 张课桌和 x 把椅子。 (1)若 x>100,请用含 x 的代数式分别把两种方案的费用表示出来。 (2)若 x=300,如果两种方案可以同时使用,作为一种新的方案,请帮助学校设计一种最省钱的方案。 ▍思路点拨 先用代数式分别表示两种方案的费用,再计算出当 x=300 时两个方案费用,及方案一、二同时使用的费用,比较三种方案费用即可。 ▍过程详解 解:(1)当 x>100 时,方案一:100×200+80(x-100)=(80x+12000)元;方案二:(100×200+80x)×80%=(64x+16000)元。 (2)当 x=300 时,①方案一:100×200+80×200=36000(元);②方案二:(100×200+80×300)×80%=35200(元);③先按方案一购买 100 张桌子,同时赠送 100 把椅子,再按方案二购买 200 把椅子,100×200+80×200×80%=32800(元),36000>35200>32800,则先按方案一购买 100 张桌子,同时赠送 100 把椅子,再按方案二购买 200 把椅子最省钱。 ▍总结升华 用字母表示数,列代数式来表示相关实际问题,再次体现代数式具有一般性。用代数式表示每个方案的费用情况,再进一步比较,选择最优。 变式 5 某学校为适应新中考要求,决定添置一批体育器材,学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳,在查阅天猫网店后发现足球每个定价 100 元,跳绳每条定价 20 元。现有 A,B 两家网店均提供包邮服务,并提出了各自的优惠方案。 A 网店:买一个足球送一条跳绳; B 网店:足球和跳绳都按定价的 90%付款。 已知该学校要购买足球 30 个,跳绳 x 条(x>30)。 (1)若在 A 网店购买,需付款＿＿＿元,若在 B 网店购买,需付款＿＿＿元。(用含 x 的代数式表示) (2)当 x=100 时,通过计算说明在哪家网店购买较为合算? (3)当 x=100 时,请你设计一种更为省钱的购买方案,并计算需付款多少元? (六)列代数式解决图形类归纳猜想问题 例题精析 例 6 某餐厅中,一张桌子可坐 6 人,有以下两种摆放方式: (1)有 4 张桌子,用第一种摆放方式,可以坐＿＿＿人;用第二种摆放方式,可以坐＿＿＿人。 (2)当有 n 张桌子时,用第一种摆放方式,可以坐＿＿＿人;用第二种摆放方式,可以坐＿＿＿人。(用含有 n 的代数式表示) (3)一天中午,餐厅要接待 85 位顾客共同就餐,但餐厅中只有 20 张这样的长方形桌子可用,且每 4 张拼成一张大桌子,若你是这家餐厅的经理,你打算选择哪种方式来摆放餐桌,为什么? ▍思路点拨 由已知的图形找到规律,并用特殊值应用规律。 ▍过程详解 解:(1)4 张桌子,用第一种摆放方式,可以坐 4×4+2=18(人);用第二种摆放方式,可以坐 4×2+4=12(人)。故答案为 18;12。 (2)n 张桌子,用第一种摆放方式,可以坐(4n+2)人;用第二种摆放方式,可以坐(2n+4)人。故答案为(4n+2);(2n+4)。 (3)选择第一种方式。理由如下:因为第一种方式,4 张桌子拼在一起可坐 18 人。20 张桌子可拼成 5 张大桌子,共可坐 18×5=90(人);第二种方式,4 张桌子拼在一起可坐 12 人。20 张桌子可拼成 5 张大桌子,共可坐 12×5=60(人)。因为 90>85>60,所以应选择第一种方式来摆餐桌。 ▍总结升华 此题主要考查图形的规律变化,找到图形之间的变化规律并归纳公式是解决此题的关键。体现的是从特殊到一般再到特殊的数学思想方法。 变式 6 古希腊 Pythagoras 学派把自然数与小石子堆放的形状比拟,借此把自然数分类,图中的五角形数分别表示数 1,5,12,22,…,那么第 n 个图中的五角形数是＿＿＿。(n 为正整数) (七)举例说明代数式所表示的实际问题 例题精析 例 7 举一个用代数式 3a+2b 表示结果的实际问题的例子。 ▍思路点拨 根据 3a+2b 创设一个实际问题,答案不唯一。 ▍过程详解 解:已知笔记本的单价为 a 元,便利贴的单价为 b 元,买 3 本笔记本和 2 个便利贴一共需要(3a+2b)元。 ▍总结升华 符号语言转化为文字语言,再次体现代数式所表达的量具有一般意义。 变式 7 举一个用代数式 表示结果的实际问题的例子。 链接好题 若 ,则代数式 的值为＿＿＿。 参考答案与方法指导 变式训练 1. (1)0.6a 2. (1)由题意,得 ,则有 。所以 ,所以代数式 的值为-15。 (2)当 x=2 时,所以 8a+2b+4=9,所以 8a+2b=5,当 x=-2 时,所以当 x=-2 时,代数式 的值为-2。 3. (1)共需铝合金的长度为 4(3x+2y)+5(2x+2y)=(22x+18y)米。 (2)因为 1 米铝合金的费用为 50 元,x=2,y=1.5 时,所以总费用为 50×(22×2+18×1.5)=3550(元)。 4. (1)122.13 (2)用电量为 1 度,某月谷时用电量与月用电量的比值为 m,则 1 度电的电费为 0.568(1-m)+0.288m=(0.568-0.28m)元。 (3)假设小江家 12 月的用电量未超过第一档,那么该月最多支付电费:281×(0.568-0.28×0.2)=143.872(元),因为 143.872<154.55,所以小江家 12 月份的用电量必定超过第一档。 5. (1)在 A 网店购买,需付款 100×30+20(x-30)=(20x+2400)元;在 B 网店购买,需付款(100×30+20x)×90%=(18x+2700)元。故答案为(20x+2400);(18x+2700)。 (2)当 x=100 时,在 A 网店购买,需付款 20x+2400=4400(元),在 B 网店购买,需付款 18x+2700=18×100+2700=4500(元),因为 4400<4500,所以在 A 网店购买较为合算。 (3)当 x=100 时,共有三种购买方案,方案一:在 A 网店购买,由(2)可知需付款 4400 元;方案二:在 B 网店购买,由(2)可知需付款 4500 元;方案三:先在 A 网店购买 30 个足球,送 30 条跳绳,需付款 100×30=3000(元),在 B 网店购买 70 条跳绳,需付款 20×70×90%=1260(元),此时共付款 3000+1260=4260(元)。因为 4260<4400<4500,所以在 A 网店购买 30 个足球,送 30 条跳绳,在 B 网店购买 70 条跳绳,最省钱,共需付款 4260 元。 6. 【解析】由图象可知,第 1 个图有 1 个实心点,第 2 个图有 1+1×3+1=5(个)实心点,第 3 个图有 1+1×3+1+2×3+1=12(个)实心点,第 4 个图有 1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22(个)实心点……以此类推,第 n 个图有 (个)实心点。故答案为。 7. 一个正方形边长为 x,另一个正方形边长为 y,那么这两个正方形的面积和为 。(答案不唯一) 链接好题 1 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $