黑龙江省绥化市第七中学2026-2027学年高二上学期9月阶段测试数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绥化市第七中学2026-2027学年度第一学期9月份阶段测试 高二数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，则  (    ) A. B. C. D. 2.设的方向向量为，的方向向量为，若，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为(    ) A. B. C. 与相交不垂直 D. 4.若向量，，且与的夹角的余弦值为，则等于(    ) A. B. C. D. 或 5. 如图所示，在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 6.已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为(    ) A. B. C. D. 7.已知，，，若平面的一个法向量为，则等于(    ) A. B. C. D. 8.若直线，的方向向量分别为，，则与的位置关系是(    ) A. B. C. ，相交不垂直 D. 不能确定 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，则与共线的单位向量(    ) A. B. C. D. 10.设，是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 11.给出下列命题，其中是真命题的是(    ) A. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与垂直 B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C. 若平面，的一个法向量分别为，，则 D. 若平面经过三点，，，向量是平面的一个法向量，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则          ． 13.若直线的方向向量为，直线上有两点，，则两直线的位置关系是          ． 14.正四面体的棱长为，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且求证：，，三点共线． 16.本小题分 如图，在直三棱柱中，，． 求异面直线与所成角的大小； 求点到平面的距离． 17.本小题分 如图，在三棱锥中，，，为的中点． 求证：平面； 若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． 求证：平面； 求证：平面． 19.本小题分 如图，在三棱台中，与相交于点，平面，，，，，，且平面． 求的值； 求直线与平面所成角的正弦值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】，则 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线方向向量的知识与空间向量的数量积运算，属于基础题． 由得从而解得． 【解答】解：， 解得， 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面平行的向量表示，属于基础题． 由于，又点不在内，即可得出． 【解答】 解：， 所以， 又点不在内， ． 故选D． 4.【答案】  【解析】因为，且与的夹角的余弦值为， 所以，且， 解得或舍去． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等体积法求点面之间的距离，属于中档题． 根据题意，可得，进行求解即可． 【解答】 解：由题意，在长方体中，，，点是棱的中点， 所以， 可得，， 可得：， 设点到平面的距离为， 由， 得， 解得， 则点到平面的距离为， 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间点到平面的距离公式的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中等题． 求出平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解即可． 【解答】 解：四棱锥中，，，， 设平面的法向量为， 则， 可得， 不妨令，则，， 可得， 则，设点到底面的高为， 所以，， 所以点到底面的距离为． 故选：． 7.【答案】  【解析】由，，，得，， 因为平面的一个法向量为，所以，，即解得，，所以故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，是基础题． 求出直线、的方向向量的数量积为，由此得到与的位置关系． 【解答】 解：直线、的方向向量分别为，， ， 与的位置关系是． 故选A． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量共线问题和单位向量的概念，属于基础题． 根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，，即可求出． 【解答】 解：与共线的单位向量为，则，因而，得到． 故，而，所以或． 故选：． 10.【答案】  【解析】【解】显然正确，，错误． 对于，若，，，则由面面平行的性质定理，知，故正确．故选 ． 11.【答案】  【解析】解：，则，所以直线与垂直，故A是真命题 ，则，所以或，故B是假命题 ，所以不成立，故C是假命题 ，，因为向量是平面的法向量， 所以，即，得，故D是真命题． 故选AD． 12.【答案】  【解析】 13.【答案】垂直  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积，涉及线线线垂直，属基础题． 求出，根据，可判断两直线的位置关系． 【解答】 解：因为，， 所以两直线的位置关系是垂直． 14.【答案】  【解析】结合正四面体的结构特征求出相关线段长，确定轨迹，建立空间直角坐标系，从而表示出，的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案．  由题意知正四面体的棱长为，  如图，设在底面上的射影为，则为正三角形的中心，连接，，设为的中点，连接，则在上，，  且 ，，  则，又，连接，  则，故点的轨迹为平面内以为圆心，为半径的圆．  以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，  故，，  设直线与直线的所成角为，，  则． 15.【答案】【证明】如图，连接，，， 因为 ， ， 所以，所以， 又，所以，，三点共线．  【解析】略 16.【答案】解：在直三棱柱中，，所以，，两两互相垂直，  以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，  则，，，，，，所以，，  设异面直线与所成角为，，  所以 ，  所以，  即异面直线与所成角的大小为． (2) 由知，，，，设平面的法向量为，  则解得，令，则，所以，  所以点到平面的距离为． 17答案 18.【答案】证明  平面平面，平面平面，，  平面，平面  以为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．  则，，，，，． 为的中点，，  则， ， ，，  故，，共面．  又平面，平面． ，，，，又，  又，  ，平面，平面．  19.【答案】连接，如图， 因为平面，平面，平面平面，  所以  因为，所以，  所以，  因此， ，  所以． 由可知，，  所以  依题意，，  所以，  又平面  因此，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．  则，，，，  所以，，   设平面的一个法向量为，  由  取，则，，  所以  设与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的正弦值为．   第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $