3.1相似多边形第2课时（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

3.1相似多边形第2课时 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.进一步巩固并掌握比例的基本性质； 2.能推导并掌握比例的等比性质；（重点） 3.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题。（难点） 教学重点 等比性质的推导与应用。 教学难点 运用比例的性质进行相关计算，通过比例变形解决实际问题（含分类讨论）。 教材分析 本课为九年级数学（依据教材章节）第三章《图形的相似》第一节《相似多边形》（第2课时）。核心知识包括：比例的基本性质、比例的等比性质、合比性质，以及相似多边形周长比等于对应边比的应用。 本课时在“成比例线段”和“相似多边形”的基础上展开。教材先以相似矩形的对应边成比例引入周长比的问题，引导学生发现“相似多边形的周长比等于对应边比”；再通过“设k法”探究连比等式，归纳出等比性质；最后拓展得到合比性质。整个内容遵循“特殊到一般、归纳到演绎”的逻辑，既巩固了比例基本性质，又为后续相似三角形的判定与性质奠定运算基础。教学重点是等比性质的推导与应用，难点是利用比例变形解决实际问题。 学情分析 学生在前两课时已经学习了线段的比、成比例线段、比例的基本性质和相似多边形的定义，能够进行简单的比例式与等积式互化；同时具备一元一次方程和多项式运算的基础，这为本课时的代数推导提供了支持。 本课时的学习难点在于：第一，“设k法”是学生首次系统接触的证明连比性质的方法，需要从具体例子中逐步抽象；第二，合比性质的变形（两边同加/减1）虽然操作简单，但学生容易忽略字母的取值范围；第三，在解决实际问题时，将“矩形相似”转化为比例方程，并处理含未知数的比例式，对学生的建模能力要求较高；第四，例2中的讨论易遗漏，需要强调分类讨论。总体而言，概念与性质归纳难度不大，难点在于灵活运用和实际建模。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习回顾，激活旧知】 教师提问，学生口答：两条线段的比就是它们长度的比： 或 。 若 ，则 叫作成比例线段。 比例的基本性质： ①若 ，则 ； ②若 （），则 。 ③各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。 唤醒比例基本性质与相似多边形概念，为本课继续探究比例的性质提供知识起点。 探究点1：相似多边形的周长比与对应边的关系 【问题引入】 如图，在矩形 与矩形 中，已知： （1）这两个矩形相似吗？ （2）你能求出 的值吗？ 【师生活动】 教师：出示两个矩形，提问“判断相似的依据是什么？” 学生：根据“各角分别相等、各边成比例”进行判断。 教师：追问“周长比是多少？与对应边比有什么关系？” 学生：独立计算、小组交流，尝试归纳一般结论。 【详细过程】 （1）因为两个图形都是矩形，各角均为 ，对应角相等；又已知对应边成比例，所以这两个矩形相似。 （2）由 ，得： 所以： 【归纳】 相似多边形的周长比等于对应边的比。 通过相似矩形周长比的探究，引导学生从特殊图形中发现一般规律，理解“相似多边形周长比等于对应边比”，培养归纳与抽象能力。 探究点2：比例的等比性质 【问题引入】 已知 六个数。如果： 那么：成立吗？为什么？ 【师生活动】 教师：板书连等式，提问“分子相加、分母相加后的比值是否不变？” 学生：猜想结论，并尝试设比值为 进行验证。 教师：引导学生完成推导，强调约分时的条件 。 学生：小组内互讲证明过程，归纳等比性质。 【详细过程】 设： 则： 所以：= =k 而 ，因此： 【归纳等比性质】 则： 【例题巩固】 例1 在 与 中，已知：，且 的周长为 ，求 的周长。 解：由等比性质，得： 所以： 即： 因为 ，所以： 关键思路：把三边对应比转化为周长比，是等比性质在几何计算中的直接应用。 例2 如果：，求 的值。 解： 均不为零，分两种情况讨论。 （1）当 时： ∴ （2）当 时，由等比性质： ∴ ∴ 或。 关键思路：能否直接使用等比性质，取决于分母 是否为0，因此必须分类讨论。 通过“设比法”严格推导等比性质，让学生经历“猜想—验证—归纳”的完整过程，突破本课重点；通过例2的分类讨论，培养思维的严谨性。 探究点3：比例的合比性质（拓展） 【问题引入】 已知 ，那么：和成立吗？为什么？ 【师生活动】 教师：引导学生在等式 两边同时加1。 学生：动手变形，得到和比形式。 教师：追问“同时减1会得到什么？” 学生：类比得出差比形式，共同归纳合比性质。 【详细过程】 因为： 两边同时加1： 即： 两边同时减1： 即： 【归纳合比性质】 ，则： 合比性质是比例基本性质的直接变形，作为拓展内容，帮助学生提高比例变形能力，为后续解决实际问题提供更灵活的工具。 课堂小结 板书设计 3.1相似多边形第2课时 一、比例的基本性质 若 = ，则 ad = bc； 若 ad = bc （a、b、c、d≠0），则 = 。 二、相似多边形的周长比 相似多边形的周长比等于对应边比（相似比）。 三、等比性质 若 = = … = m/n（b+d+…+n≠0）， 则 / = a/b。 四、合比性质 若 a/b = c/d，则/b = /d， /b = /d。 五、典例 例1：利用等比性质求三角形周长。 例2：连等式求m，注意分子和为0的分类讨论。 随堂练习 1.如果线段，，，满足，那么下列各式中不成立的是（ B ） A. B. C. D. 2. 若（，都不等于 0），则下列各式中不正确的是（ D ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值是（ D ） A. B. C. D. 4. 若，且，则的值为（ D ） A. B. C. D. 5.已知，且，则的值是（ C ） A. B. C. D. 6.已知，则的值是（ A ） A. B. C. D. 7.若，则______. 答案： 8.若，则______. 答案： 9.若，且，则______. 答案： 10.已知在和中，，则和的周长之比是______. 答案： 11.已知，，求的值。 解： 由等比性质，得 即 解得 12.已知，，是的三边，满足，且，请你探索的形状。 解： 设， 则 代入，得 解得 所以 ，即， 是直角三角形。 教学反思 本课时教学目标基本达成：学生能巩固比例基本性质，并通过等比性质与合比性质进行比例变形和周长计算，概念理解目标通过情境引入与例题辨析基本达成。等比性质推导中，“设k法”帮助学生理解了连比式变形的本质；但在运用合比性质时，部分学生忽略分母不为零及整体代换的条件，如例2中 x+y+z=0 的情形易遗漏。改进方向：应强化比例式成立条件的强调，增加分类讨论的变式练习；在相似矩形实际问题中，学生列比例式建模仍需加强引导，可增加小组合作探究时间，让学生充分交流设元和列式的思路，提升建模能力。总体上课堂节奏较合理，但难点处还需放慢、追问，及时暴露学生思维过程。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $