精品解析：河南省信阳高级中学(贤岭校区)2026-2027学年高一上学期9月阶段检测（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高一上期09月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 5. 已知命题：，，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 6. 已知，，都是正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 设不大于的最大整数为，如.已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，且，则________. 13. 关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 14. 已知、为正实数，且满足，则的最大值是_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17. 若，. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 18. 已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）证明：． （2）若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高一上期09月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 故. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断即可. 【详解】命题“，”的否定是，. 3. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据勾股定理得，根据中间最小的正方形的面积为1得，从而求得，即可得解. 【详解】中，设，则由题意， 则中间小正方形的边长为，因为， 所以，所以，所以， 即正方形的面积为49. 5. 已知命题：，，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题和命题的真假，从而得到，的真假，再根据选项求解 【详解】当时，显然不成立，所以是假命题，是真命题． 当时，显然成立，所以命题是真命题，是假命题． 故选：B 6. 已知，，都是正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先通分，再利用基本不等式即可. 【详解】由题意得，， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理得，，，进而比较大小即可. 【详解】由， ， ， 而， 则，即. 故选：D. 8. 已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，将与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，则，， 所以，， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立． 又恒成立，所以． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，因为，，则， 所以，B对； 对于C选项，若，，不妨取，，，， 则，，此时，C错； 对于D选项，若，，不妨取，，，， 则，，此时，D错. 10. 设不大于的最大整数为，如.已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意求集合，即可判断AC；根据集合的交集和并集运算判断BD. 【详解】因为，故A正确； 又因为，即， 可得，，故B错误，D正确； 又因为，所以，故C错误； 故选:AD. 11. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，以及题干所给条件，逐一判断各选项正误，判断结果即可. 【详解】对A，，当且仅当时取等号，A正确； 对B，结合A，有，时取等号，B错； 对C，，当且仅当即时取等号，C正确； 对D，因为，，，所以，， 所以，当，取得最小值为，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 13. 关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】把原方程的解转化为方程在上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围. 【详解】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有4个不同的实数根， 故方程在上有两个不同的正数解， 故，解得. 14. 已知、为正实数，且满足，则的最大值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 将变形为，利用基本不等式得，构造不等式，通过一元二次不等式的解法求解. 【详解】将变形为， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 设，则， 即， 所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可. （2）根据得到是的子集，分和两种情况计算，取并集即可. 【小问1详解】 当时，，又或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以是的子集. 当时，，解得. 当时，，解得，所以， 综上，. 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 17. 若，. （1）求的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式整理得，当且仅当时取等号，再根据已知的范围即可得答案； （2）由于，故只需解并结合已知条件求解即可. 【详解】解：（1）因为，， 所以，当且仅当时取等号， 整理得：，解得：或， 又因为，，所以， 所以. （2）因为， ， 当且仅当时取等号， 所以， 解可得，或（舍）， 故. 又因为， 所以. 18. 已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）证明：． （2）若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． （2）①； ②存在，且最大值为. 【解析】 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）①设，，则，，，在中，利用勾股定理可得出，再由三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，由求出函数的定义域，即可得出答案； ②利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，再验证成立，即可得出结论. 【小问1详解】 设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． 【小问2详解】 ①由题意可知矩形的周长为． 设，，则，，． 因为为直角三角形，所以，即， 解得， 从而， 所以， 由得可得， 因此，； ②因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，满足， 故当时，的面积取得最大值，最大值为. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $