精品解析：河南驻马店市西平县高级中学2026-2027学年高一上学期9月阶段检测数学试题

2026年秋期高一年级质量检测数学试题 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 得. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是：，. 3. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】可知，则. 4. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 5. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【解析】 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 6. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 7. 已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用表示及目标代数式，再利用确定范围，利用不等式性质可得答案. 【详解】由题可得，从而，. 由题可得，从而，则. 8. 下列说法中正确的个数是（ ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合对勾函数性质判断①；结合基本不等式判断②③④. 【详解】①化简得：，令， 函数在时单调递增，因此最小值为， 等号取不到（等号成立条件不满足），①错误. ②展开得：，由基本不等式， 因此原式，等号成立条件为，因此最小值为9，②正确. ③已知，则，令，则， 由基本不等式，得，③正确. ④，要证，等价于证明：， 整理得，当且仅当时等号成立，④正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 10. 已知实数、满足，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为实数、满足，， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，由不等式的性质可得，故，故， 即，D对. 故选：ACD. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值. 【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去， 所以. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值. 13. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 14. 已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则的元素之和等于______. 【答案】2024 【解析】 【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可． 【详解】解：设集合， 由一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有（−1）个可得： 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 含有元素的集合有个， 若集合的所有非空子集的元素之和是16192， 则集合的所有元素和为， 则； 故答案为：2024． 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，集合． （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交，并，补运算求解； （2）根据集合间的关系求参数. 【小问1详解】 当时，，， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 若，则，所以， 若，则，或， 解得或， 综上所述：实数a的取值范围为 16. 已知命题为真命题.设实数的取值集合为， （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 【小问2详解】 已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得， 即实数的取值范围是. 17. （1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 【答案】（1）因为，，所以，。 所以， 故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 【解析】 【分析】（1）根据作差法证明即可； （2）由于，故，再结合（1）的结论易证. 【详解】（1）略 （2）略 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【解析】 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19. 已知集合， （1）求证：任何奇数都是中的元素； （2）判断偶数是否为的元素？请说明理由； （3）求证：属于的两个元素之积仍属于； （4）试求中第个正整数． 【答案】（1）任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． （2），且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. （3）不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. （4） 【解析】 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高一年级质量检测数学试题 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 6. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知三个非负实数､､满足和，则的最小值和最大值分别是（ ）． A. B. C. D. 8. 下列说法中正确的个数是（ ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 10. 已知实数、满足，，则下列说法正确的有（   ） A. B. C. D. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，且，则实数的值为___________. 13. 若，且，则的最小值为___________． 14. 已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则的元素之和等于______. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，集合． （1）若，求和； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知命题为真命题.设实数的取值集合为， （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 17. （1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19. 已知集合， （1）求证：任何奇数都是中的元素； （2）判断偶数是否为的元素？请说明理由； （3）求证：属于的两个元素之积仍属于； （4）试求中第个正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $