精品解析：四川省达州市渠县中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

四川省达州市渠县中学2024－2025学年九年级上学期期中数学测试题 一、选择题（共10小题，总分40分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，6cm B. 4cm，5cm，6cm，10cm C. 1cm，2cm，5cm，6cm D. 3cm，4cm，5cm，6cm 4. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 5. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是（ ） A. 1+x+x2＝n B. （1+x）2＝n C. x2＝n D. x（x+1）＝n 7. 如图，D是的边上一点，下列条件：①，②，③，④，其中一定使的有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 8. 如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AD是△ABC的中线，E是AC边上一点，且CE：AE＝1：2，BE交AD于点F，则AF：FD为（　　） A. 5：1 B. 4：1 C. 3：1 D. 2：1 10. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①一定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，其中正确的结论个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共5小题，总分20分 ） 11. 如果，那么的值为_________． 12. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米； 13. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 14. 如图，，以点O为圆心，为半径作弧，交于点C；分别以点O，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线交于点D；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点Q，作射线，点P为射线上任意一点，连接．当__________时，四边形是菱形． 15. 已知在中，，，．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．如图，四边形是的内接正方形；四边形是的内接正方形；继续中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长_______．（n为正整数） 三、解答题（共10小题，总分90分） 16. （1）计算； （2）解方程． 17. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 18. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心” 宣传推广工作，截至2023年底，注册人数已达216.39万人，某社区工作人员为调 查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80－100分）、B：比较了解（60－80分）、C：基本了解（40－60分）、D：不太了解（0－40分） 四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据如图提供的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，A等级对应的扇形的圆心角度数为________，补全条形统计图； （2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； （3）为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宜讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 19. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值． 20. 某工厂生产一批小家电，2022年的出厂价是144元，2023年，2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年出厂价调整为100元． （1）如果这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（百分数小数点后保留两位小数） （2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1200元，单价应降低多少元？当降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点F，延长到点E，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 22. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作交于点F，连接、． （1）用t表示_______，________，________． （2）是否存在某一时刻使四边形成为菱形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； 23. 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米． 请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 24. 【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为的中点，点D在线段上（），连接，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，． （1）求的值； （2）如图，当点恰好落在y轴上时，交y轴于点E，求证：； （3）当点D的坐标为，且时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县中学2024－2025学年九年级上学期期中数学测试题 一、选择题（共10小题，总分40分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； B、该方程属于二元二次方程，不符合题意； C、当a=0时，该方程不是一元二次方程，不符合题意； D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，6cm B. 4cm，5cm，6cm，10cm C. 1cm，2cm，5cm，6cm D. 3cm，4cm，5cm，6cm 【答案】A 【解析】 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、，四条线段成比例，符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段不成比例，不符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 4. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】根据题意知=20%， 解得a=20， 经检验：a=20是原分式方程的解， 故选B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 5. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 6. 某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，则下列方程符合题意的是（ ） A. 1+x+x2＝n B. （1+x）2＝n C. x2＝n D. x（x+1）＝n 【答案】C 【解析】 【分析】第一轮分裂成x个细胞，第二轮分裂成个细胞，结合题意可得答案． 【详解】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到第二轮分裂后的等量关系是解决本题的关键，属于一元二次方程的应用的基础题，比较简单． 7. 如图，D是的边上一点，下列条件：①，②，③，④，其中一定使的有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】又图可知和有公共角，再根据相似三角形的判定定理，依次判断各个条件即可． 【详解】解：①∵，， ∴， 故①符合题意； ②∵， ∴， 又∵， ∴， 故②符合题意； ③当且时，， 故③不符合题意； ④∵，， ∴， 故④符合题意； 综上：能使的有①②④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：有两个内角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似． 8. 如图中，，延长至点A，使，连结，此时．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，由得到，代入数值，先求出，进一步即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A 【点睛】此题考查了相似三角形性质，准确计算是解题的关键． 9. 如图，AD是△ABC的中线，E是AC边上一点，且CE：AE＝1：2，BE交AD于点F，则AF：FD为（　　） A. 5：1 B. 4：1 C. 3：1 D. 2：1 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DG∥AC交BE于G，根据中线的定义可得BD＝,根据平行线分线段成比例定理可得,从而得出DG＝,再根据平行线分线段成比例定理,列出比例式即可求出AF：FD. 【详解】解：过D作DG∥AC交BE于G， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝ ∵DG∥AC ∴ ∴DG＝ ∵CE：AE＝1：2， ∴AE＝2EC， ∵DG∥AC ∴AF：FD＝AE：DG＝2EC：EC＝4：1． 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及作辅助线的方法是解决此题的关键. 10. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①一定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，在以上5个结论中，其中正确的结论个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，根据相似三角形的性质可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得故③正确；当点与点重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为的中点， ∴， 由翻折可知：，， ， ， ，故②正确； ， ， ， ∴是直角三角形，故①正确； ， ， ， 又， ， ， 又∵， ∴，即，故⑤正确， 如图1中，当与重合时， 设，则， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，故③正确， 如图2中， 当点与点重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①②③⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（共5小题，总分20分 ） 11. 如果，那么的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 12. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，某校艺术节“达人秀”活动舞台的长为16米，主持人站在点C处自然得体（点C是线段靠近点B的黄金分割点），此时主持人与点A的距离是________米； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，， （米）， 即此时主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 13. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】2032 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式及求代数式的值，掌握这些知识点是解题的关键． 由根与系数的关系可得，再将变形，即可求得结果的值． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：2032． 14. 如图，，以点O为圆心，为半径作弧，交于点C；分别以点O，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线交于点D；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点Q，作射线，点P为射线上任意一点，连接．当__________时，四边形是菱形． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由作图可知，，是线段的垂直平分线，证明是等边三角形，则，证明，可得，即在的角平分线上，由是菱形，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，，是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上， ∵是菱形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，余弦等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，余弦是解题的关键． 15. 已知在中，，，．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．如图，四边形是的内接正方形；四边形是的内接正方形；继续中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长_______．（n为正整数） 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，再由正方形的性质可以得出，再根据相似三角形的性质就可以把正方形的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值． 【详解】解：如图1， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图（2）四边形是正方形， ，， ∴， ∴， ∴， ， 如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形的边长为：， 第4的个正方形的边长为：， ..... 第n个内接正方形的边长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质及规律的探索，解题的关键是得出规律． 三、解答题（共10小题，总分90分） 16. （1）计算； （2）解方程． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，算术平方根和幂运算，再合并即可得解； （2）先去括号整理为一元二次方程的标准形式，再利用公式即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查实数的混合运算、负指数幂，零指数幂和解一元二次方程的知识，熟练掌握绝对值，算术平方根，幂运算和解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】（1）作图见解答过程 （2） （3）作图见解答过程 【解析】 【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：与的位似比等于； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 18. 某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心” 宣传推广工作，截至2023年底，注册人数已达216.39万人，某社区工作人员为调 查本社区居民对于“国家反诈中心”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A：非常了解（80－100分）、B：比较了解（60－80分）、C：基本了解（40－60分）、D：不太了解（0－40分） 四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据如图提供的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，A等级对应的扇形的圆心角度数为________，补全条形统计图； （2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心”非常了解的人数； （3）为更好地开展“国家反诈中心”宣传推广工作，社区准备招募2名宜讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如图所示． （2）对于“国家反诈中心”非常了解的人数约2400人 （3）选取的2人不是同一组居民的概率为 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比求出问卷调查的人数，再用条形统计图中A的人数除以问卷调查的人数再乘以即可得A等级对应的人数所占百分比；求出B等级的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用8000乘以样本中A等级对应的人数所占百分比，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及选取的2人不是同一组居民的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：问卷调查的人数为（人）， ∴扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为， ∴A等级对应的扇形的圆心角度数为． 故答案为：． B等级的人数为（人）． 【小问2详解】 解：（人）． 答：对于“国家反诈中心”非常了解的人数约2400人． 【小问3详解】 解：将3个一组居民分别记为A，B，C，1个二组居民记为D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选取的2人不是同一组居民的结果有6种， ∴选取的2人不是同一组居民的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 19. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值． 【答案】, 【解析】 【详解】试题分析：设另一根为x1,由根与系数的关系得,两根和为4,求得x1,,再根据两根积求得常数项c. 试题解析：设另一根为x1,由根与系数的关系得: 考点：根与系数的关系. 20. 某工厂生产一批小家电，2022年的出厂价是144元，2023年，2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年出厂价调整为100元． （1）如果这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（百分数小数点后保留两位小数） （2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1200元，单价应降低多少元？当降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）这两年平均下降率约为 （2）单价应降15元；当单价降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为1250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程和函数关系式． （1）设这两年平均下降率为，由2022年的出厂价是144元，2024年出厂价调整为100元可列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设单价降价元，则每天的销售量是台，根据总利润每台利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出结果．设单价降价元，每天可以获得的利润为，根据题意列出函数解析式，根据最值求法解答即可． 【小问1详解】 解：设这两年平均下降率为， 根据题意得：， 解得：（舍），， 答：这两年平均下降率约为； 【小问2详解】 解：设单价降价元， 则每天的销售量是（台）， 若每天盈利1200元，根据题意得：， 整理得：， 解得：． ∵为了减少库存， ∴， 答：单价应降20元． 设每天可以获得的利润为， 则， ∵， ∴当时，有最大值，为， ∴当单价降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为1250元． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点F，延长到点E，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识； （1）根据菱形的性质得到且，再证，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ． 22. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（）．过点D作交于点F，连接、． （1）用t表示_______，________，________． （2）是否存在某一时刻使四边形成为菱形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； 【答案】（1），，， （2）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）求解，表示，再利用三角函数求解，，进一步可得； （2）求解，证明，结合，可得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，可得，再解方程可得结论． 【小问1详解】 解：∵点D从点C出发沿方向以每秒个单位长的速度向点B匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：四边形能为菱形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴点移动的时间为：，点移动的时间为：， ∴运动的总时间为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，锐角三角函数的应用．熟练掌握含度角的直角三角形中，度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 23. 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度，测量步骤如下： ①如图，在地面上的点处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计)，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛到地面的距离米； ②将平面镜从点沿的延长线移动米到点处，小华移动到点处时，小华的眼睛又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米． 请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【答案】树的高度为米． 【解析】 【分析】根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 树的高度为米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 24. 【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①在正方形中，， ，， ， ， ． ， ，即点是的中点． ②．理由： 如图2，连接交于点， 由折叠可知垂直平分，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即． （2）的最小值为． 【解析】 【分析】(1) ①根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证． ②根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可． (2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）如图3，在上截取，连接、， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为的中点，点D在线段上（），连接，将绕点C逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，． （1）求的值； （2）如图，当点恰好落在y轴上时，交y轴于点E，求证：； （3）当点D的坐标为，且时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：如图1， 由旋转的性质可得， 又， ∴， ∴， ∴， 又∵， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式求出A、B两点坐标，再利用勾股定理求出长即可； （2）先证，得出，推出，又，即可求证； （3）分在y轴左边和y轴右边两种情况分别求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点， ∴，， 即，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵C为的中点， ∴，， 设， ①当在y轴左侧时，如图2，此时， 过点作轴于点M，过点C作，交的延长线于点N， ， ∴， ∴， ∴， ，① ，， ， 由勾股定理，得， 即，② 联立①②，解得或， ， ； ②当在y轴右侧时，如图3，此时， 过点作轴于点M，过点C作于点N， 同理可得：， ∴， ，① ，， ， 由勾股定理，得， 即，② 联立①②，解得或， ， ∴； 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $