河北省2026-2027学年高二上学期数学月考自编模拟01

2026-2027学年度高二数学9月月考卷 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 2．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° 10.给出以下命题，其中正确的命题是（     ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为； B．若平面与平面的法向量分别是与，则； C．已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D．若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 11．在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点，点，则点到直线的距离为________. 13．一束光线从原点O(0，0)发出，经过直线l：8x+6y=25反射后通过点P(-4，3)，则光线从O点到达P点所经过的路程为　　　　　　　　. 14．已知单位向量两两的夹角均为，且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作.若，，则在该坐标系下，若三角形的重心为，则的坐标为__________，直线与平面所成角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 16.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 17．如图，在三棱柱中，，，，是棱的中点． (1)证明：AD； (2)若，求直线与平面所成线面角的大小； (3)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 18．如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19．如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，其中，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)M为上的动点，以为直径作球，设，若球被平面截得的截面圆的面积为S，求S的最小值. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二数学9月月考数学参考答案 1．A 【解析】向量 ，则. 2．D 【解析】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3．B 【解析】由y+=(x-1)，得y=x-9，∴l在y轴上的截距为-9. 4．B 【解析】因为，所以，解得，，所以. 5．C 【解析】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 6．D 【解析】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 7．A 【解析】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 8．A 【解析】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 9．AB 【解析】　根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°. 10.BC 【解析】对于A：异面直线夹角的范围为，故夹角的余弦值不可能为负数，故A错误； 对于B：因为，则，故B正确； 对于C：根据空间向量共面定理的推论，因为，且、、三点不共线，所以、、、四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以、、共面，不能成为基底，故D错误. 11．AD 【解析】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的一个法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的一个法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 12． 【解析】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 13．　8 【解析】　如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得解得 所以点A的坐标为(4，3). 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 所以光线从O到P的路程即为AP的长度， 由A(4，3)，P(-4，3)知，|AP|=4-(-4)=8， 即光线从O点到达P点所经过的路程为8. 14． 【解析】第一问：由题意可知，，并且，则三角形为等边三角形， 因此， 由于，，， 故而，即； 第二问：（方法一：几何法） 由题意知，直线两两夹角为60°，并且，作图如图， 设D为中点，则，即四面体为正四面体， 作，则点G为等边三角形的重心，故， 故直线与平面所成角为，所以.    （方法二：空间基底法） 由于， 设平面的法向量为， 由， 取，得，解得， 由于.设直线与平面所成角为， 所以， ， ， 则，所以. 故答案为：；. 15．解：（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的一个法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 16．解　(1)由题意知a≠-1，令x=0得y=a-2，令y=0得x=， ∴a-2=，解得a=0或a=2. 当a=0时，直线l的方程为x+y+2=0； 当a=2时，直线l的方程为3x+y=0. 综上所述，直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2， ∵l不经过第二象限， ∴解得a≤-1. 综上可知，实数a的取值范围是(-∞，-1]. 17．(1)证明：取中点，连接，，，， 因为是棱的中点，易得四边形为平行四边形， 则平面即为平面， 因为，为的中点， 所以， 因为，，，所以， 所以，又为的中点，所以， 因为，，平面， 所以平面，又AD平面，所以AD． （2）由（1）知平面，则点在平面内的投影为，则即为所求线面角， 因为在中，，，所以， 所以， 所以直线与平面所成线面角为． （3）由（1）知平面，因为平面，且平面， 故平面平面，平面平面， 过点作于点，则平面，过点作于点，则平面， 因为，，，则， 所以，所以， 方法一（空间向量法）：设，则， 在中， 所以，， 又，所以点与点重合， 以为原点，分别以，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有 令，则，，所以． 设平面的法向量为， 则有 令，则，，所以， 则有， 所以平面与平面的夹角为． 方法二（几何法）：过点作，连接， 因为平面，所以，则平面， 所以，则即为所求二面角， 在中，，，则， 在中，，，则， 由可得， 所以，则， 所以，即平面与平面的夹角为． 18．解（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则，即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以，解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即，解得. 19．(1)证明：由是圆的直径，则， 又平面，平面，则， 又，，平面，所以平面. （2）过点作于点，连接， 由（1）平面，平面，则， 因，，平面，故平面， 又平面，则，即二面角的平面角， 因，在中，，由面积相等可得， 在中，，则； （3）因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，，，则， 则，则， 在中，， 则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则 ， 则， 因，故当时，. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $