河北省保定市部分学校2026-2027学年高一上学期9月质量检测数学试题

2026～2027学年度高一年级9月质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B 9．AD 10．ACD 11．BCD 12．31 13． 14． 15．解：（1）因为集合， 2分 所以， 4分 ． 6分 （2）因为全集，，， 所以，， 9分 所以， 11分 ． 13分 16．解：（1）由题意知， 1分 若，当时，则，解得； 3分 当时，则或解得或． 7分 综上，实数的取值范围是． 8分 （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 10分 所以且等号不能同时成立， 12分 解得，即实数的取值范围是． 15分 17．解：（1）依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为，维修旧墙费用为， 4分 因此， 所以修建此矩形场地的总费用． 6分 （2）由（1）知，当时，， 12分 当且仅当，即时，， 14分 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元． 15分 18．（1）解：（ⅰ）因为，所以， 1分 令，，则，，且， 所以， 4分 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1． 6分 （ⅱ）， 10分 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 12分 （2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 13分 同理可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 16分 当且仅当时等号成立． 17分 19．（1）解：根据性质“跨度4”的定义可得且， 2分 解得， 所以集合中元素的最小值为12． 3分 （2）证明：（ⅰ）根据性质“跨度36”的定义可得． 因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证． 5分 （ⅱ）根据性质“跨度36”的定义可得，， 因为，均为正整数，所以不等式两边同除，得， 7分 所以，，，…，， 累加得，得证． 9分 （3）解：由（2）可知所以，解得， 11分 同（2）证明可得，所以， 13分 又由定义可知，所以， 所以在，，，…，上恒成立， 14分 当时，取，则，解得，矛盾； 15分 当时，则，所以， 16分 所以集合中元素个数的最大值为11． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度高一年级9月质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关系正确的是 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．若实数，满足，则 A． B． C． D． 5．已知集合，，则满足的实数的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 6．学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团．统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是 A．6 B．5 C．4 D．3 7．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数．例如，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是 A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知命题：，，命题：，，则 A．是真命题 B．是假命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 10．已知集合，，且，则的值可以为 A． B． C．0 D． 11．已知，，，则下列说法正确的是 A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，则的真子集个数为________． 13．已知，，，则的取值范围是________． 14．已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 16．（本小题满分15分） 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（本小题满分15分） 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）．已知旧墙的维修费用为28元，新墙的造价为100元，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）． （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用． 18．（本小题满分17分） （1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 19．（本小题满分17分） 已知正整数集的一个非空子集，其中且，．若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度”，其中． （1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值； （2）若集合具有性质“跨度36”，求证： （ⅰ）； （ⅱ）． （3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $