精品解析：河北辛集中学2026-2027学年高一年级上学期第一次阶段考试数学试题

河北辛集中学2026-2027学年第一学期第一次阶段考试 高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是(　　) A. B. C. D. 3. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 64 B. 8 C. D. 7. 若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知，若，则的最大值为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的既不充分又不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为4 C. 最大值为 D. 最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分．） 12. 命题“，”的否定是________． 13. 如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 14. 集合有5个元素，设的所有非空子集，每一个中所有元素乘积为，则=__________. 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合或，全集. （1）求，； （2）求， 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 17. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 若集合. （1）若，写出的子集； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2026-2027学年第一学期第一次阶段考试 高一数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算求解. 【详解】因为集合，， . 故选：B. 2. 不等式的解集是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得不等式的解集. 【详解】∵， ∴原不等式的解集为. 3. 下面关于集合的表示正确的个数是（ ） ①；②； ③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的概念，逐项验证即可求解. 【详解】根据元素的无序性可知①正确，表示点集，表示数集，故②错误， 表示大于等于的整数，也表示大于等于2的整数，故③正确， ，所以，故④错误 4. 设集合，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法将目标式表示为已知的与的线性组合，结合不等式的同向可加性求解取值范围. 【详解】设，其中为实数， 所以，故，解得， 所以， 因为，所以， 又，则， 所以，即. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 64 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且，两边同除以得到.利用“1”的代换方法，将与相乘展开，运用基本不等式求最小值，最后需要验证等号成立即可. 【详解】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. ​ 因此​，当且仅当​，即时取等号， 所以的最小值为​. 7. 若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 8. 已知，若，则的最大值为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得， 又，故 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B. “”是“”的既不充分又不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项． 【详解】是无理数，是有理数，A错； 时，，但； 反之，时，，但； 则“”是“”的既不充分又不必要条件，B正确； 命题的否定是：，C正确； “”的必要不充分条件是“”，则， 两个等号不同时取得．解得．D正确． 故选：BCD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；取可判断B选项；利用作差法可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以. 因为，利用同向不等式相加，则有，故A正确； 对于B：因为时显然不成立，故B错误； 对于C：因为，，则，即，故C正确； 对于D：取，，，，满足，，， 但是，所以不成立，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A. 最大值为 B. 最小值为4 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本等式逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等，故A正确； 对于B，由，则， ， 当且仅当，即时取等，所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等， 又是正数，则等号不成立，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分．） 12. 命题“，”的否定是________． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 13. 如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设利用旧墙的长度为米，由面积求得矩形的另一边长，根据题意求得修建此矩形场地的总费用，利用基本不等式即可求解. 【详解】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 14. 集合有5个元素，设的所有非空子集，每一个中所有元素乘积为，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据子集中是否含有分类讨论进行求解即可. 【详解】集合的所有非空子集分成以下几种情况： 1、含元素的子集一共有，显然这些子集中所有元素的乘积为； 2、不含元素，含有元素，且含有其他元素的子集共有个； 3、不含元素，不含有元素，且含有其他元素的子集共有个； 其中2、3中除外元素是一一对应的，则乘积互为相反数，故的和为； 4、只含有元素的子集，只有一个，此时， 综上所述：， 故答案为： 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合或，全集. （1）求，； （2）求， 【答案】（1），或； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念计算即可； （2）利用补集与并集的概念计算即可. 【小问1详解】 因为或， 所以， 或； 【小问2详解】 由题意可知，又， 所以. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答. （2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答. 【小问1详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 17. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 18. 若集合. （1）若，写出的子集； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）其子集为： （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，求出，根据子集的概念可写出的所有子集. （2）根据条件确定集合的包含关系，再分类讨论可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，. ∵ ∴. ∴其子集为：，共8个（）. 【小问2详解】 ∵，∴. 分为两种情况： 当时，符合题意，此时，解得：； 当时，则或或： 若或，则，解得：，此时，符合题意； 若，则有，解得：无解. 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （2）①，②36 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $