3.1.2 函数的表示法 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法（教学设计） 课题 函数的表示法 单元 第三章函数的概念与性质（函数的表示法） 学科 高中数学（人教版） 年级 高一 学习目标 、掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，了解各自的优缺点； 、会画简单函数的图象，理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值并画其图象； 、能根据实际问题选择恰当的方法表示函数，体会数形结合思想，发展直观想象与数学建模素养。 教材分析 本节课在函数概念的基础上，学习函数的三种表示法。教材回顾初中已学的解析法、列表法、图象法：解析法就是用解析式表示两个变量间的对应关系；列表法就是列出表格表示；图象法就是用图象表示。 例以笔记本单价元、买个需元为例，分别用解析法、列表法（表格）、图象法（个孤立点）表示同一函数，说明函数图象既可以是连续曲线，也可以是直线、折线、离散点。 例画的图象，由绝对值定义得分段函数，引出分段函数概念——在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数。教材指出生活中出租车计费、个人所得税等都是分段函数。 例给定，定义，要求分别用图象法和解析法表示，通过求交点得分段解析式。 例以三名同学六次数学测试成绩表为例，说明选择恰当表示法（图象法）分析学习情况的优势。 本节是数形结合思想的重要载体，分段函数是高考与实际问题中的常见模型。 学情分析 学生在初中已经会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象，会用表格记录数据，具备三种表示法的初步经验。 本节学生面临的主要障碍： 、对“函数图象可以是离散点、折线”不习惯，误认为图象必须是连续曲线； 、分段函数的概念不清，误以为一个分段函数是几个函数；求分段函数值时容易代错区间； 、画分段函数图象时，端点的实心、空心容易标错； 、不会根据实际问题选择恰当的表示法。 教学策略：以例对比三种表示法，以例、例训练分段函数的画图与求值，强调“分段函数是一个函数”。 教学重点 函数三种表示法；分段函数的概念、求值与图象。 教学难点 分段函数的图象画法（端点处理）；最大值、最小值（、）型函数的分段表示。 教学准备 多媒体课件（）、图象。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【复习引入】 教师：上节课我们用集合语言定义了函数。函数有哪些表示方法呢？初中已经接触过三种： 解析法：用解析式表示对应关系（如）； 列表法：用表格表示（如恩格尔系数表）； 图象法：用图象表示（如曲线）。 【例（教材）】笔记本单价元，买个需元，用三种方法表示。 解：解析法； 列表法：对应； 图象法：坐标系中个孤立点。 教师强调：函数图象可以是连续曲线，也可以是直线、折线、离散的点。判断一个图形是不是函数图象的依据是“任作垂直于轴的直线，与图象至多一个交点”（竖线检验）。 、回顾三种表示法； 、跟随例分别写出； 、理解图象可以是离散点。 由同一问题的三种表示对比，明确三种方法的特点。 新知 探究 【活动一：分段函数——】 【例（教材）】画出函数的图象。 解：由绝对值的定义， 。 所以的图象是第一、二象限的两条射线（形），顶点在原点。（配图见下） 教师给出分段函数定义： 在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，称为分段函数。 教师强调：分段函数是一个函数，不是几个函数；其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 生活中的例子：出租车计费、个人所得税、水电阶梯价格等。 、由绝对值定义写出分段式； 、画图象； 、记录分段函数概念，理解“一个函数”。 由绝对值函数引入分段函数，明确分段函数是一个函数。 【活动二：型函数的分段表示】 【例（教材）】给定。 在同一直角坐标系中画的图象； ，分别用图象法和解析法表示。 解：画直线和抛物线。 求交点：或。 由图象取上方部分，得分段解析式： 。 教师总结步骤：画两函数图象；求交点；取上方（）或下方（）；写分段式。 、画图象； 、求交点； 、写分段式。 通过型函数训练“画图—求交—分段”的方法，深化分段函数认识。 典例 精讲 【例（教材）】表是高一班三名同学六次数学测试成绩及班级平均分。 教师引导：从表格看每位同学每次成绩不直观；把每次成绩与测试序号的关系画成图象（个离散点），就能直观看出变化趋势。 从图象看：王伟成绩始终高于班级平均，比较稳定优秀；张城成绩不稳定，在班级平均上下波动；赵磊成绩在逐渐提升。 教师总结：表示函数时要根据需要选择方法，有时为了研究方便可以同时使用几种方法。 【方法提炼】 、解析法：优点是简明、便于计算和研究性质；缺点是不直观。 、列表法：优点是直接查表即得函数值；缺点是数据有限。 、图象法：优点是直观形象；缺点是精确值需估算。 、分析三名同学图象； 、总结三种表示法优缺点。 通过成绩分析说明选择表示法的重要性，归纳三种方法特点。 课堂 练习 【教材练习】 、把直截面半径的圆柱形木头锯成矩形截面木料，一边长，面积，把表示为的函数。 、画函数的图象。 、给定。 画图象；，用图象法和解析法表示。 【答案】 、矩形对角线为圆的直径，另一边为，故； 、，图象为顶点的形折线； 、解方程得交点，由图象取下方部分： 。 、独立完成练习； 、第题注意顶点在； 、第题注意取下方。 当堂检测分段函数画图与分段表示。 课堂 小结 一、三种表示法 解析法（简明）、列表法（直接）、图象法（直观）。 二、分段函数 不同区间有不同解析式，是一个函数；注意端点的实心空心。 三、最大值、最小值型函数：画图—求交—取上下—写分段式。 教师强调：函数图象可以是点、线段、折线、曲线；竖线检验法判断是否为函数图象。 、回顾三种方法与分段函数； 、自评：能否画分段函数图象。 结构化小结，强化数形结合。 作业 布置 、教材习题复习巩固第、题； 、画的图象并求； 【第题参考答案】，图象为顶点的形；。 、预习函数的基本性质：观察图象随增大如何变化。 记录作业，课后完成；预习单调性。 巩固分段函数，衔接单调性。 板书 设计 函数的表示法 一、三种：解析法、列表法、图象法 二、分段函数：一个函数，分段表示 三、 四、最大值、最小值（、）：画图—求交—分段 学科网（北京）股份有限公司 $