3.1.2 函数的表示法(第二课时) 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数表示法（第二课时），核心为分段函数的表示与应用。通过复习函数三种表示法特点及实例填空，搭建新旧知识支架，衔接前课时内容，引导学生从回顾过渡到实际问题分析。 特色在于以实际情境（如个税计算、出租车计费）为载体，培养“用数学眼光观察”“用数学思维思考”“用数学语言表达”的核心素养。通过问题驱动与小组讨论，学生掌握分段函数解析式与图象转化，提升数学建模能力，教师可借助实例高效教学，助力学生理解数学与生活的联系。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.1.2 函数的表示法(第二课时) 设计时间 授课时间 课标要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教材分析 函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中各种变化关系及其规律的基本模型和工具.函数贯穿于整个高中数学课程，是学习方程、不等式、数列、导数等内容的基础和工具；函数在自然科学如物理学、化学、生物学、天文学都有着广泛的应用；函数是高等数学中最基本的研究对象；函数是数学建模的重要基础. 一般来说，数学对象的表示方法是在定义数学概念时同步给出的.但是对于函数概念而言，函数的表示方法——图象法、列表法、解析法等有各自的特点，而且有些函数只能采取某种表示方法，因此需要专门讨论函数的表示法.这样有助于学生把握不同表示法的特点，懂得根据具体问题选择恰当的表示法.同时加深对函数概念中“对应法则 ”的理解.不同表示法之间的相互转化能够体现解析法精确、图象法直观和列表法直接的特点，渗透数形结合的思想方法，培养直观想象的素养，为后续研究函数的基本性质做铺垫. 分段函数是现实中常用的函数类模型，很多现实问题难以用一个解析式表述，却能够分段用不同的解析式来表示，比如个人所得税纳税额、出租车收费等，所以需要专门研究分段函数，提高学生用数学知识解决身边问题的能力，体现数学知识在实际应用中的价值. 综上所述，本单元内容按照“实际情境→‘变量说’判断→‘对应关系说’描述→归纳共同特征→函数的定义→函数的表示→联系与应用”的基本路径来展开研究.在这个过程中让学生体会数学概念的建构方式，提高抽象思维能力，渗透数形结合思想，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象等素养. 学情分析 1.教科书要求学生不仅能够从具体情境中抽象函数模型，还能根据函数模型（解析式）还原具体情境.让学生从模型还原情境的主要目的：一是加深对函数概念的理解，二是加深认识学习函数的重要性，三是体现函数模型的概括性.由于学生缺乏解决这类问题的经历，相应的生活经验和物理知识储备也不足，所以有较大的困难.教学中要多准备一些学生能够理解的现实情境、物理情境，启发学生思考、模仿. 2.面对具体问题时，如何根据不同的需要选择恰当的函数表示方法？在教学中，可以呈现一个实际问题，让学生尝试用多种方法进行表示，同时让学生进行不同表示法的相互转化，促进学生把握不同表示法的特点、联系和差异，最终学会根据具体条件选择恰当的表示法. 3.理解分段函数概念中的三要素也是学生学习本单元内容的一个难点．一个分段函数有多个对应关系到底是一个函数还是多个函数，是初学者容易疑惑的.教学中可以通过具体实例，如个人所得税问题、水费收费问题、公司利润问题等，通过解析法、图象法、列表法等多种方式帮助学生理解分段函数的本质，回归函数的定义进行分析.分段函数刻画了一个完整的变量关系和规律，所以分段函数是一个函数、只是在定义域的不同子集上有不同的对应关系. 单元教学目标 1.在初中用变量间的依赖关系刻画函数概念的基础上，能用集合语言和对应关系描述函数的能说出定义域、对应关系、值域的含义和作用，能用区间表示变量的范围，能求简单函数的定义域，两个函数是否相等. 2.能举例说明抽象符号f的含义，能根据具体问题的特点选择恰当的方法表示函数的对应通过实例说明函数图象的作用，体会转化与化归、数形结合等数学思想方法. 3.能通过实例说明分段函数的特点，能用分段函数表示实际问题中的具体函数． 单元教学重点 难点 1.教学重点：函数的概念，根据具体问题选择恰当的函数表示法，分段函数. 2.教学难点：从具体情境中归纳出函数的三要素，抽象函数概念；对应关系f:：A→B的理解；选择恰当的表示法描述实际问题中的函数关系；分段函数. 单元课时分配 本单元分4课时： 第1课时，函数的概念（第一课时）； 第2课时，函数的概念（第二课时）：函数的定义域和函数值； 第3课时，函数的表示法（第一课时）； 第4课时，函数的表示法（第二课时）：分段函数的简单应用. 第二课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，在实际问题中，能选用恰当的方法表示函数，并能用于解释实际含义． 拓展性目标：★★ 通过任务二，能用分段函数表示某些具体函数，并刻画简单实际问题中的变化规律 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，回顾本单元的学习过程，提高学生用数学知识解决身边问题的能力，体现数学知识在实际应用中的价值. 课时学习重难点 教学重点：在实际问题中，能选用恰当的方法表示函数，并能解释实际含义． 教学难点：能用分段函数刻画简单实际问题中的变化规律． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 一、复习回顾： 问题： 前面我们学习了函数三种表示法，分析了各种表示法的特点，学习了分段函数．请你完成下面的填空，并举一个分段函数的实际例子. （1）用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种方法叫 ，优点为 . （2）列出表格来表示两个变量之间的对应关系，这种方法 叫 ，优点为 . （3）用图象表示两个变量之间的对应关系，这种方法叫 ，优点为 . 答：（1）解析法，简明、全面； （2） 列表法，直接，不需计算； （3） 图象法，直观、形象。 二、目标一：在实际问题中，能选用恰当的方法表示函数，并能用于解释实际含义． 任务一：在实际问题中，能选用恰当的方法表示函数 问题1 (1）请你思考教科书3.1.1中的问题1、2、4是否都能用图象法表示函数，你能画出它们的图象吗？ （2） 给出一个函数的图象如下图，你能用一个实际问题来释吗？ 答： （1）问题1、2、4都能用图象法表示函数,图象如下： 问题1 问题2 问题4 （2）可以表示自变量取非负数的所有一次函数的模型、正方形的周长与边长所表示的函数、行驶的里程数与费用所表示的函数、水池内水的体积与注水时间等问题. 评估一：学生能用于解释实际含义． 例7. 表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表． 表3.1-4 姓名 测试序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 王伟 98 87 91 92 88 95 张域 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 （1）请你思考从表格中能得到什么信息？ （2）请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析． 答： （1）从表3.1-4中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况． 图3.1-6 （2）如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象(均为6个离散的点)表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助. 从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大，赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高. 注意：教师需强调下面几点：首先，根据实际问题的需要选择恰当的方法表示函数是非常有必要的.比如此题，通过画出函数图3.1-6图象，观察图象，抓住关键信息，从而得出判断.其次，在利用函数图象法分析问题时可以根据图象的“走势”刻画出相对应的理由，抓住关键词“走势稳定”“上下波动”“幅度大（小）”“图象呈上升（下降）趋势”等图象的特点，用规范的数学语言描述问题，刻画实际问题运动发展的规律.最后，强调图中的虚线不是函数图象的组成部分，用虚线连接同一个函数的散点图的目的是让同学们观察图象具有整体性，更加方便. 三、目标二：能用分段函数表示某些具体函数． 任务二：学生能用分段函数表示例8的函数 例8. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个人税额＝应纳税所得额x税率-速算扣除数. 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额＝综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除. 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见表3.1-5． 表3.1-5 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 [0,36000] 3 0 2 (36000,144000] 10 2520 3 (144000,300000] 20 16920 4 (300000,420000] 25 31920 5 (420000,660000] 30 52920 6 (660000,960000] 35 85920 7 (960000,+∞) 45 181920 （1）设全年应纳税所得额为 ，应缴纳个税税额为 ，求=，并画出图象； （2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 分析:根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额: 第一步，根据②计算出应纳税所得额 ; 第二步，由 的值并根据表3.1-5 得出相应的税率与速算扣除数; 第三步，根据①计算出个税税额的值. 由于不同应纳税所得额 对应不同的税率与速算扣除数，所以是 的分段函数. 解：（1）根据表3.1-5，可得函数 =的解析式为 = 函数图象如图3.1-7所示. （2）根据②，小王全年应纳税所得额为 =189600-60000-189600(8%+2%+1%+9%)-52800-4560 =0.8×189600-117360 =34320. 将t的值代入③，得 =0.03×34320=1029.6. 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元. 评估二： （小组讨论）问题2：（1）小王全年综合所得收入额增加10万元，其他条件不变，应缴纳多少综合所得个税？ （2）如果收入额增加20万元，其他条件不变，应缴纳的综合所得个税是收入额增加10万元的2倍吗？ 答： （1）小王全年应纳税所得额为 =289600-60000-289600(8%+2%+1%+9%)-52800-4560=0.8×289600-117360=114320∈(36000,144000]， =0.03×36000+0.1×78320=8912元.也可以用“速算扣除数”的方法：y=0.1×114320-2520=8912元，通过比较可知用“速算扣除数”的方法计算综合所得个税更快，建议用此种方法. （2）小王全年应纳税所得额为 =389600-60000-389600(8%+2%+1%+9%)-52800-4560=0.8×389600-117360=194320,直接用“速算扣除数”的方法计算综合所得个税=0.2×194320-16920=12224元，得出结果12224并不是8912的两倍． 五、目标三：回顾本单元的学习过程，提高学生用数学知识解决身边问题的能力，体现数学知识在实际应用中的价值. 任务三：回顾本单元的学习过程，回答问题3. 问题3：回顾本单元的学习过程： （1）请你思考分段函数的解析法和图象法在相互转化时需要注意哪些问题？ （2）你能类比例8举一个分段函数的实际应用问题的例子吗？ 答： （1）①看定义域分段区间：解析式分几段，图像就要分成对应的几部分，每一段图像只画对应自变量范围的部分。 ②端点虚实：区间的端点，包含等号用实心点，不包含等号用空心点，不能画错。 ③每段对应解析式：画图像时，每一段只能用本区间对应的函数式子，不能混用别的段的表达式。 ④完整性：由图像写解析式时，要读出每一段自变量取值范围，不漏掉分段；由解析式画图，要把每一段图像都画全。 ⑤分段函数是一个函数，不是多个函数。 （2）举例：出租车计费问题 某地出租车收费：3公里以内收费8元；超过3公里的部分 ，每公里收费1.5元。设行驶路程为公里，车费为元。 其他可选例子：水电费阶梯收费、快递分段收费、手机套餐话费等。 学生先思考后回答，并在信息技术平台上展示，教师了解学生的答题情况并加以点评. 由学生思考后画图，并用信息技术展示，教师与学生一起交流总结，强调画函数图象时的注意点. 请学生自主思考，上台展示，教师点评. 学生自主思考，再同桌讨论，教师点评．针对实际应用问题概念多、条件复杂的情况，教师需引导学生抓住关键词进行分析理解. 针对问题（1)，给学生足够的时间自主思考并写出规范的答案，教师展示答案中的典型情况，并引导学生分析归纳根据本题特点恰当地选择函数的表达法即解析法，从而通过表格找到定义域和对应关系，而且确定该函数是一个分段函数. 学生自主思考，并通过分组讨论交流，教师展示学生的答题情况并引导. 针对（1）请学生独立思考并请代表发言，再请其他同学补充，教师引导学生一起得出结论．针对（2）请学生回答，教师引导并补充． 复习三种表示法的概念和特点，抓住关键词从而提高理解记忆的水平. 通过实际问题解释函数图象的意义，同时培养学生学会看图找条件的能力. 通过例8加深学生对根据具体实际问题选择恰当函数表示法的理解和应用，同时让学生通过函数模型表达具体实际问题，培养学生用数学的思维方式，观察、分析、解决实际问题，提升数学建模素养，同时通过最新修订的个税问题体会生活中的数学问题，渗透公民应有义务“纳税”，再者进一步学习分段函数的表示特点，让学生体会分段函数在实际生活中的普遍存在性. 通过回顾本节课的内容加深对恰当选择函数三种表示法的理解和应用；体会分段函数表示法的特点和分段函数在实际问题中的应用. 课堂小结 1.分段函数的解析法和图象法在相互转化 2.分段函数表示某些具体函数 2.分段函数刻画简单实际问题中的变化规律 学生作业 1.基础性作业：教科书第71~72页练习第1、2题； 答案： １.(１)D图(２)Ａ图(３)Ｂ图吻合得最好.与C图相符的一件事可能为: 我以一定的速度出发,后来发现时间还很充裕,于是,放慢了速度. ２.设票价为y元,里程为x元,由题意可知,自变量x的取值范围是(0,20]. ∴ 函数解析式为 ｙ＝.根据这个解析式，可画出函数图象，如图所示. 2.提升性作业：教科书第73页习题3.1第9、10题； 答案： 9. 依题意得 ,由题意可知,函数的值域 为[０,ｈ],∴ 函数的定义域为[０,]. 10. ｙ是ｘ的函数.定义域是{１,２,３,４,５,６},值域是{２,３,４,５}. 3. 拓展性作业:教科书第73~74页习题3.1第15题. 答案：15.(１)如图,∵ ∠APB＝90°,∴AB＝km ∴ 由A到B所用的时间为h 又BC＝(12-x)km，∴由B到C所用的时间为ｈ. ∴ 从小岛到城镇共用的时间为ｔ＝（+）ｈ， 由题意知0≤ｘ≤12. ∴ 函数关系式为ｔ(ｘ) ＝ +，0≤ｘ≤12。 (2)由(１)及题意，可得ｔ(４)≈３ｈ. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $