精品解析：黑龙江哈尔滨市第十七中学校2026-2027学年九年级上学期9月数学试题

2026-2027学年度九年级（上）第一阶段学科评价数学学科 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列实数中，比1大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒．数据7900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ）． A. B. C. D. 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，） A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm 10. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 12. 的值等于______． 13. 已知方程的两个根是和，则_________． 14. 把多项式分解因式的结果是_______． 15. 不等式组的解集是__________． 16. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 17. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的“”的个数是______个． 18. 在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 19. 在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 20. 已知，正方形，连接对角线，点、分别在边、上，连接、交于、两点，，有如下结论：①；②；③；④若，最小时，；上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点F，使得，直接写出线段的长． 23. 为了增强中学生的反诈意识和防范能力，某中学组织了全员反诈知识培训测评．随机抽取了部分学生的测评成绩，分成4组进行统计整理，绘制出不完整的频数统计表和扇形统计图． 组别 分数 频数 第1组 第2组 14 第3组 18 第4组 10 请根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）的值是______，的值是______； （3）该中学计划将测评成绩不低于90分的学生评为“反诈知识小卫士”，若全校共有2000名学生，估计评为“反诈知识小卫士”的学生有多少名． 24. 矩形的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，． （1）如图1，连接，，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若，，当点恰好为边的（为正整数，）等分点时，直接写出线段的长． 25. 某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； （2）若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 26. 如图1，在平行四边形中，点是上一点，，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点作于，点在线段上，过点作，，垂足分别为、（点在线段上，点在线段上），求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，是中点，，连接，若，，求线段的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点．直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点是线段上一点，过点作交线段于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，过点作直线交轴于点，直线的解析式为，过点作轴交直线于点，连接，作，，连接，取的中点，连接、，与交于点，连接，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级（上）第一阶段学科评价数学学科 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列实数中，比1大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，只需将各选项的数与1比较，即可得出结果 【详解】解：∵负数小于正数，0小于正数， ∴，， 又∵，， ∴只有比1大 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，正确掌握相关乘法公式是解题关键． 3. 2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒．数据7900用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据科学记数法的定义，对进行改写，要满足，可得， ∵变为，小数点向左移动了位， ∴， 因此用科学记数法表示为 4. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意. 5. 方程的解是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴去分母得， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 故选：B 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 7. 如图、在中，，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧、两弧交于，两点，作直线与边交于点，连接，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直平分线的性质把的长替换成的长求解即可． 【详解】解：由题意得垂直平分， ， ，， 的周长为． 8. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得再建立方程即可． 【详解】解： ，， ， 解得：经检验符合题意 故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键． 9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，） A. 9.90cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度． 【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高， ∴， ∵BC＝44cm， ∴cm． ∵等腰三角形ABC，AB＝AC，， ∴． ∵AD为BC边上的高，， ∴在中， ， ∵，cm， ∴cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，证明四边形是矩形，根据勾股定理求出的长，分类讨论当点在线段上和当点在线段上时，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，； 当点在线段上时，即时，； 当点在线段上时，即时， ； 综上所述，， ∴选项B符合题意． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由函数可得自变量的取值范围是， ∴， 故答案为：． 12. 的值等于______． 【答案】 0 【解析】 【分析】代入特殊锐角的三角函数值，按照实数运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 13. 已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 14. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 15. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故此不等式组的解集为：． 故答案为：． 16. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 17. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第17个图案中的“”的个数是______个． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察前4个图案中六边形的个数，发现后一个图案比前一个图案多3个六边形，从而归纳出第个图案中六边形个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； 第4个图案中六边形的个数为； …… ∴第个图案中六边形的个数为； 当时，六边形的个数为． 18. 在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直的性质，可得，结合点在菱形边上的不同位置，分两种情况分类计算即可． 【详解】解： 四边形是菱形，对角线、相交于点， 菱形对角线互相垂直，即， ， 分两种情况讨论： ① 当点在边上时，在内部， ； ② 当点在边上时，在外部， ． 综上，的度数为或． 19. 在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵，  ∴，  ∵，  ∴， 在中，，， ∴ ∴． 20. 已知，正方形，连接对角线，点、分别在边、上，连接、交于、两点，，有如下结论：①；②；③；④若，最小时，；上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用正方形性质及三角形内角和定理，结合已知角度关系推导 的度数即可判断①； 利用相似三角形的判定定理，证明 即可判断②； 通过旋转变换构造全等三角形，证明线段与， 的数量关系即可判断③； 利用轴对称性质确定最小时点 的位置，结合勾股定理计算的长度即可判断④． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵是正方形的对角线， ∴， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转可得，， ∴，，， ∴， 由①可知，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵四边形是正方形， ∴， ∴如图，作点关于的对称点，连接，交于点， 由对称可得，，， ∴，，当三点共线时，最小，如上图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 由③可知，， ∵， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴当最小时，，故④错误； 综上所述，正确结论的序号是①②③． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解：   ∴ 解得，． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点F，使得，直接写出线段的长． 【答案】（1） 的中线如图所示： （2） 点如图所示： 【解析】 【分析】（1）取点H，I，连接，交于点E，连接，即为所求作． （2）取点D，连接交于点F，线段即为所求作。由，得，得，即得． 【小问1详解】 解：取点H，I，连接，交于点E，连接，即为所求作． 理由：连接，，，， 根据勾股定理得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中线． 【小问2详解】 解：取点D，连接交于点F，线段即为所求作． 理由：取点G， ∵，，， ∴， ∴∠， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 为了增强中学生的反诈意识和防范能力，某中学组织了全员反诈知识培训测评．随机抽取了部分学生的测评成绩，分成4组进行统计整理，绘制出不完整的频数统计表和扇形统计图． 组别 分数 频数 第1组 第2组 14 第3组 18 第4组 10 请根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）的值是______，的值是______； （3）该中学计划将测评成绩不低于90分的学生评为“反诈知识小卫士”，若全校共有2000名学生，估计评为“反诈知识小卫士”的学生有多少名． 【答案】（1）50名 （2）8，36 （3）400 【解析】 【分析】（1）根据第2组频数为14，对应扇形占比，求出总人数， （2）利用总人数减去其余人数求出m，再根据总人数和第三组的人数求出n； （3）根据用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：总人数 名， 答：一共抽取了名学生． 【小问2详解】 解： ， 第三组占比：， 因此． 【小问3详解】 解：成绩不低于90分对应第4组，人数是10人， 因此估计全校人数为： 名， 答：估计评为“反诈知识小卫士”的学生有名． 24. 矩形的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，． （1）如图1，连接，，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若，，当点恰好为边的（为正整数，）等分点时，直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中： ， ​∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． （2）或6 【解析】 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，，则，证明，则，结合，即可证明四边形是平行四边形． （2）在矩形中，，，，，得出是等边三角形，，勾股定理求出​，则，．根据是正整数，，得出或：①当时，是中点，则，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，结合四边形是平行四边形，即可得；②当时，是三等分点，则或，过点O作，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中，，，，， ∴是等边三角形，，​， ∴，． ∵是正整数，， 故或： ①当时，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； ②当时，是三等分点， ∴或， 过点O作， ∵， ∴，， 若， 则， ∴， ∴， 若， 则， ∴， ∴； 综上，或6． 25. 某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球．购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元． （1）求购买一个篮球和一个足球分别需要多少元； （2）若该学校要购买篮球和足球共20个，且足球的个数不超过篮球个数的3倍，请问购买多少个足球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）篮球的单价为60元，足球的单价为50元． （2）购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买一个篮球比购买一个足球多10元，购买两个足球比购买一个篮球多40元”这个关键条件，可列二元一次方程组求解； （2）首先设购买足球个，那么篮球为个；因为足球个数不超过篮球个数的3倍，所以可列出不等式确定的取值范围；再根据总价=单价×数量，建立总费用关于的一次函数，利用一次函数的性质求花费最少时的值和最少费用． 【小问1详解】 设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意得：，解得， 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 【小问2详解】 设该学校购买足球个，则购买篮球个， 根据题意得：， 解得 的整数． 设学校要购买篮球、足球的总费用为元， 根据题意得：， ，随的增大而减小， 且为非负整数， 当时，最小，最小值为1050． 答：购买15个足球时花费最少，最少费用是1050元． 26. 如图1，在平行四边形中，点是上一点，，连接． （1）求证：； （2）如图2，过点作于，点在线段上，过点作，，垂足分别为、（点在线段上，点在线段上），求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，是中点，，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点M作交于点G，交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，即平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，推出，然后结合等边对等角得到，进而求解即可； （2）过点M作交于点G，交于点H，证明平行四边形是菱形，得到平分，然后证明四边形是矩形，得到，然后等量代换即可证明； （3）过点A作交的延长线于点Q，过点D作于点O，证明，得到，然后推出，证明，得到，设，表示出，，然后利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作交的延长线于点Q，过点D作于点O， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， ∵，，， ∴， ∴ 解得． 27. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点．直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，． （1）求直线的解析式； （2）如图1，点是线段上一点，过点作交线段于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，过点作直线交轴于点，直线的解析式为，过点作轴交直线于点，连接，作，，连接，取的中点，连接、，与交于点，连接，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后利用待定系数法求解； （2）表示出，利用勾股定理求出，然后利用求解即可； （3）首先得到，求出，，利用勾股定理求出；过点H作轴于点M，过点G作轴于点N，求出，利用中点坐标公式得到，求出；求出，过点E作轴于点Q，解直角三角形得到，，求出，利用两点间距离公式得到，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是线段上一点，点的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵直线的解析式为， ∴将代入得，， ∴直线的解析式为， 当时， 解得 ∴， ∵直线与轴交于点， ∴当时， 解得， ∴， ∴， ∵轴交直线于点， ∴将代入 ∴，即， ∴； 如图，过点H作轴于点M，过点G作轴于点N， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴点K的坐标为，即， ∴； ∵， ∴可得直线的表达式为， 联立和得，， 解得， ∴， 如图，过点E作轴于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得，（不符合题意，舍去） ∴， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $