12.3.1 等腰三角形的性质（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕等腰三角形的定义、等边对等角、三线合一及等边三角形性质展开，通过情境图片提问图形共同点导入，结合剪等腰三角形纸片对折的动手操作，引导学生从观察到抽象，构建从定义到性质证明再到应用的知识脉络。 其亮点在于注重数学眼光与思维的培养，通过动手操作发现轴对称和底角相等，结合例题严谨证明三线合一，培养推理意识。练习题涵盖基础、易错点及中考题，分层训练，课堂小结明确性质条件，帮助学生形成严谨知识体系，教师可借此提升教学效率，学生增强应用与探究能力。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第12章 全等三角形 12.3.1 等腰三角形的性质 2026年8月4日 华东师大版八年级上册12.3.1 等腰三角形的性质同步练习题（含解析） 考查知识点：等腰三角形定义、等边对等角性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形角度计算、分类讨论思想、等腰三角形轴对称性、性质综合应用、常见角度计算易错点 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 等腰三角形的对称轴有（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 2. 等腰三角形的两个底角（） A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不相等 3. 已知等腰三角形的一个顶角为40°，则它的底角为（） A. 顶角平分线 B. 底边上的高 C. 腰上的中线 D. 底边上的中线 5. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角不可能是（） A. 70°、40° B. 55°、55° C. 70°、50° D. 以上都不对 6. 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论错误的是（） A. ∠BAD=∠CAD B. BD=CD C. ∠B=∠C D. AD=BC 7. 等腰三角形的一个角为100°，则它的底角为（） A. 100° B. 80° C. 40° D. 50° 8. 下列关于等腰三角形性质说法正确的是（） A. 等腰三角形任意两角相等 B. 等腰三角形只有一条对称轴 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 D. 等腰三角形两腰不相等 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 有两边相等的三角形叫做________三角形，相等的两边叫做________。 10. 等腰三角形的性质：等边对________。 11. 等腰三角形的顶角平分线、________、________互相重合，简称“三线合一”。 12. 若等腰三角形两底角相等，顶角为80°，则底角度数为________。 13. 已知AB=AC，BD为底边中线，则BD________AC（填“垂直”或“不垂直”）。 14. 等腰三角形是________图形，对称轴是顶角平分线所在直线。 三、解答题（共44分） 15. 计算下列等腰三角形内角度数（16分） （1）顶角为50°，求底角；（2）底角为65°，求顶角； （3）一个内角为90°，求另外两角；（4）一个内角为120°，求另外两角。 16. 完整证明：已知AB=AC，AD是△ABC的高，求证：AD平分∠BAC（12分） 17. 已知：AB=AC，∠B=70°，BD⊥AC，求∠DBC的度数（8分） 18. 简答辨析：为什么等腰三角形钝角只能是顶角，不能是底角？（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. A 解析：普通等腰三角形只有1条对称轴，等边三角形是特殊等腰三角形，本题默认一般等腰三角形。 2. C 解析：等腰三角形核心性质：等边对等角，两底角相等。 3. B 解析：底角=(180°−40°)÷2=70°。 4. C 解析：三线合一特指顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，与腰上的线段无关。 5. C 解析：分两种情况：70°为顶角，底角55°、55°；70°为底角，另一底角70°、顶角40°，无70°、50°组合。 6. D 解析：由三线合一可知A、B、C均成立，AD为高，与BC长度无必然相等关系。 7. C 解析：100°为钝角，只能作顶角，底角=(180°−100°)÷2=40°。 8. B 解析：等腰三角形只有底角相等，并非任意两角；三线合一仅限底边相关线段；两腰一定相等。 填空题答案 9. 等腰；腰 10. 等角 11. 底边上的中线；底边上的高 12. 50° 13. 不垂直 14. 轴对称 解答题解析 15. 解：（1）底角=(180°−50°)÷2=65°；（2）顶角=180°−65°×2=50°；（3）90°只能为顶角，两底角均为45°；（4）120°只能为顶角，两底角均为30°。 16. 证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC。 17. 解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°。∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=180°−90°−70°=20°。 18. 解：三角形内角和为180°，钝角大于90°，若等腰三角形底角为钝角，两个底角和将大于180°，违背内角和定理，因此钝角只能为顶角。 核心知识点总结：1. 定义：两边相等的三角形为等腰三角形；2. 核心性质：等边对等角、三线合一；3. 几何特征：等腰三角形是轴对称图形；4. 解题关键：角度计算务必分类讨论，钝角只能是顶角，锐角可作顶角或底角；5. 三线合一仅限底边相关线段，是几何证明、角度计算、线段求值的高频考点。 情境导入 这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形的定义与性质 1 如图，AB＝AC， △ABC 是等腰三角形. 知识点1 等边对等角 1.［2025湖南中考］若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶 角的度数是_____ . 100 返回 举一反三 4 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD. 你能发现什么现象吗？ D A B C 做一做 1.等腰三角形是轴对称图形. 我们可以得出结论： A C B D 折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴. 你还有新的发现吗？ ∠B，∠C 是等腰三角形的 . 底角 所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等. 2. ∠B ＝∠C 探究归纳 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C . 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD. 证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD. 在△ABD 与△ACD 中， ∵AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD， ∴ △ABD≌△ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. A B C D ( ( 1 2 知识要点 2.如图，，点在线段上，.若 ，则 的度数为( ) B （第2题） A. B. C. D. 返回 举一反三 8 （第3题） 3.［2024兰州中考］如图，在 中， ， ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 例1 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°， 求∠C 和∠A 的大小. 解： 典例精析 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 　 A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B＝∠C ∠BAD＝∠CAD ∠ADB＝∠ADC＝90° 性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°. 求：（1）∠ADC 的大小；（2）∠1 的大小. A D C 1 2 B (2)∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ， ∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°. ∴AD⊥BC. ∴∠ADC =∠ADB = 90°. 解：(1) ∵AB = AC，BD = DC， 典例精析 4.如图，在中，，点，是边上两点，且 . 求证： . 举一反三 13 证明：， ， ， . 在与 中， ， . 返回 举一反三 14 如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？ P Q A B O 思考 在△APQ 和∠BPQ 中， ∵AP = BP，AQ = BQ，PQ = PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ =∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 又∵AP = BP， ∴ AO = BO 且 PQ⊥AB (等腰三角形的三线合一). 因此直线 PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线. 例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线. 证明：如图，设 AB 与 PQ 相交于点 O，连结 PA、PB、QA、QB. P Q A B O 思考 如图所示，我们还曾利用尺规作图过点 C 作出已知直线 AB 的垂线 CP. 当点 C 在直线 AB 上时，垂线 CP 即是平角 ACB 的平分线，所在的直线，那么当点 C 在直线 AB 外时，你能证明所作的直线 CP 确实是直线 AB 的垂线吗？ A B C M N P A B C P 点 C 在直线 AB 上 点 C 在直线 AB 外 A B C M N P A B C P 点 C 在直线 AB 上 点 C 在直线 AB 外 相当于作线段 MN 的垂直平分线 就可以证明过点 C 所作的直线 CP 确实是已知直线 AB 的垂线 类似 类似垂直平分线的证明 试写出整个证明过程. 知识点2 三线合一 5.如图，衣架可近似看成等腰三角形，其中， 于 点，若，则 的长为( ) C （第5题） A. B. C. D. 返回 举一反三 19 6.［教材P练习T变式］如图，在等腰三角形中， ， ，是的中线，则 的度数是( ) B （第6题） A. B. C. D. 返回 举一反三 20 7.如图，在中，， 是角平分线，则下列结论中不一定 正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 21 三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C， 同理可得 ∠A＝∠B 所以 ∠A＝∠B＝∠C， 又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°. A C B 等边三角形的性质 2 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°. 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 三条对称轴 A C B 知识点3 等边三角形的性质 （第8题） 8.如图,是等边三角形.若 的平分线与 的平分线相交于点,则 的度数 是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 24 9.［2025太原期末］如图，在等边三角形中，， 平分 ，延长至点，使，则 的长为___. 6 （第9题） 返回 举一反三 25 A B C D 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 图中有哪些等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. 典例精析 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢? ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A + ∠ABD = 2x， 从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 10.［2025漯河期中］如图，为等边三角形，，分别为 ， 延长线上一点，且，连结，.求证： . 举一反三 29 证明： 为等边三角形， ， ， . 在和 中， ， . 返回 举一反三 30 11.在贵州有一座在云端“行走”的桥——北盘江大桥.如图，索塔的顶端、 拉索与桥面围成的图形可看成等腰三角形，，是边 上 的一点.下列条件不能说明是 的角平分线的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 31 12.［2025长春期末］如图，在的两边上有点，， ， ，且 ，则 的度数为( ) C （第12题） A. B. C. D. 返回 举一反三 32 13.［2024泰安中考］如图，直线，等边三角形 的两个顶点 ，分别落在直线，上，若 ，则 的度数是 ( ) B （第13题） A. B. C. D. 返回 举一反三 33 14. 已知一个等腰三角形的周长为 ，且其中有一边的长为 ，则该等腰三角形的底边长为____________. 或 返回 举一反三 34 15.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的 边长是3，则六边形的周长为____. 90 返回 举一反三 35 16.［2025洛阳期末］如图， 是等边三角 形，，为上一动点（不与， 重合）， 以为边在上方作等边三角形，连结 . （1）求证： ； 证明：， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， . 举一反三 36 （2）当点运动到使时，求 的长. 解：， . ，， ， . 是等边三角形， 为的中点， ， ， . 返回 举一反三 37 等腰三角形的性质 等边对等角 等边三角形 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质. 三线合一 有三条对称轴，每个内角等于 60°. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $