12.3.2 等腰三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形和等边三角形的判定，通过回顾等腰三角形定义与性质，引导学生动手画图测量猜想“等角对等边”，再经全等证明形成判定定理，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“做一做”“活动探究”贯穿教学，培养学生几何直观与推理能力，如通过AAS全等证明等角对等边，结合例题用数学语言规范表达。助力学生提升逻辑思维，教师可依托结构化资源高效教学。

第十二章 全等三角形 12.3 等腰三角形 等腰三角形的判定 数学华东师大版八年级上册 学习目标 1. 能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点) 2. 能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点) 1.什么是等腰三角形？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.等腰三角形具有哪些性质呢？ ①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； ③等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线，互相重合(三线合一). 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 等腰三角形的判定 1 在△BAD 与△CAD 中， ∠1 =∠2， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∵∠B =∠C， AD = AD， ∴AB = AC (全等三角形的对应边相等). 如图，作∠BAC 的平分线 AD. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. 活动一：等腰三角形的判定 思考：对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢? 根据定义，看它是否有两条边相等. 想一想：你还能找到其他的判定方法吗？ ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 等角对等边 等边对等角 知识要点 活动一：等腰三角形的判定 我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？ 做一做：如图，已知∠α，试作△ABC，使∠A =∠B=∠α . 作法：作∠BAM=∠α，∠ABN=∠α， AM与BN交于点C. 如图 ，△ABC 即为所求作的三角形. α A B C M N 例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC. A B C 证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 40°，∠B = 70°， ∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B. ∴ AB = AC(等角对等边). 典例精析 40° 70° 量一量：你发现了什么？ 如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形. 活动一：等腰三角形的判定 猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形. AC=BC △ABC是等腰三角形 你能证明上述猜想吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB =AC. A C B 证明：∵ AB∥CD (已知)， ∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 =∠2， ∴∠B =∠1 (等量代换). ∴AB = AC (等角对等边). 例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC. A B C （ （ 1 2 D 分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB =AC. A C B 活动一：等腰三角形的判定 分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作∠BAC的平分线AD. A C B D 1 2 证明：如图，作∠BAC的平分线AD， 在△BAD和△CAD中，∠B=∠C，∠1=∠2，AD = AD ∴△BAD≌△CAD(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) 还能添加怎样的辅助线呢？ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB =AC. A C B 活动一：等腰三角形的判定 分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边. A C B D 1 2 A C B D AD⊥BC △BAD≌△CAD(AAS) 一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定 2 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证： AB = AC = BC. 证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 我们得到等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”. 总结 几何语言： 在△ABC中，∠B=∠C， ∴AB=AC. A C B 活动一：等腰三角形的判定 判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角 ∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果是底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ 活动二：等边三角形的判定 思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C， 求证：△ABC是等边三角形. A C B 根据定义，三边都相等的三角形是等边三角形. 你能证明上述猜想吗？ 活动二：等边三角形的判定 A C B 证明：∵∠A=∠B，∴AB=AC， 同理，AB=BC ∴AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形. 例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C. ∴ AB = AC (等角对等边)． A B C E （ （ 1 2 D 我们得到等边三角形的判定1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 总结 几何语言： 在△ABC中，∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形. A C B 活动二：等边三角形的判定 活动二：等边三角形的判定 思考：如果是一个等腰三角形，那么满足什么条件就是等边三角形呢？ 猜想：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°， 求证：△ABC是等边三角形. A C B 你能证明上述猜想吗？ 例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧. A C B B' A' C' B (A) (C) ∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)， ∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°. 即点 B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)， ∴ ∠B =∠B' (等边对等角). 在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). B' A' A C B C' B (A) (C) 总结 活动二：等边三角形的判定 判定方法 等腰三角形 等边三角形 定义 有两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 其他 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 一、 选择题 1. 下列条件中，能判定△ABC为等腰三角形的是 （　A　） A. ∠A＝50°，∠B＝80° B. ∠A＝42°，∠B＝48° C. ∠A＝2∠B＝70° D. AB＝4，BC＝5，周长为15 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，AB = DC，∠ABC =∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB =EC. B A E D C 证明：在△ABC和△DCB中， ∵ AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴ △ABC≌△DCB(SAS)， ∴ ∠ECB=∠EBC， ∴ EB=EC. 教材 练习 3. 如图，∠AOB＝50°，点C、D分别在OA、OB上，OC＝OD. 进 行如下操作：① 分别以点C、D为圆心、大于 CD的长为半径作圆弧 交于点P，作射线OP；② 点E在OA上，以点E为圆心、EO长为半径 作圆弧，交射线OP于点F，连结EF. 则∠EFO的度数为（　B　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 45° 第3题　　　　　　 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. ★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，过点D作 DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连结CD，且∠DCA ＝∠A. 有下列结论：① ∠DCB＝∠B；② CD＝ AB；③ △ADC是等 边三角形；④ 若∠E＝30°，则DE＝EF＋CF. 其中，正确的是 （　B　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ B 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长 为______cm. 9 6.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. $