12.3.2 等腰三角形的判定（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形及等边三角形的判定，通过复习等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，以“如何判定等腰三角形”的思考导入，构建性质与判定的知识脉络，形成新旧衔接的学习支架。 其亮点在于结合“做一做”动手画三角形验证结论，通过AAS全等严格证明判定定理，例题涵盖平行线+角平分线等模型，体现数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观）。学生能在探究中发展创新意识，教师可借助系统练习与规范证明提升教学效果。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第12章 全等三角形 12.3.2 等腰三角形的判定 2026年8月4日 华东师大版八年级上册12.3.2 等腰三角形的判定同步练习题（含解析） 考查知识点：等角对等边判定定理、等腰三角形性质与判定的区别、利用角度判定等腰三角形、平行线+角平分线构造等腰三角形、图形中等腰三角形识别、规范几何证明、分类讨论解题、常见判定易错点辨析 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 等腰三角形的判定核心定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三线合一 D. 轴对称性质 2. 在△ABC中，若∠A=∠B，则下列结论正确的是（） A. AB=AC B. BC=AC C. AB=BC D. ∠C=90° 3. 下列三角形一定是等腰三角形的是（） A. 有两个角互余的三角形 B. 有两个角相等的三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 4. 已知△ABC中，∠C=50°，∠B=50°，则可判定（） A. AB=AC B. AB=BC C. AC=BC D. 无法判定 5. 下列说法正确的是（） A. 等边对等角是判定定理 B. 等角对等边是判定定理 C. 两角互补的三角形是等腰三角形 D. 边长相等的三角形是直角三角形 6. 平行线与角平分线组合常构造等腰三角形，若AD∥BC，BD平分∠ABC，则一定有（） A. AB=AD B. AB=BD C. AD=BD D. BC=BD 7. 三角形三个内角度数为40°、70°、70°，该三角形是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 8. 关于等腰三角形性质与判定的关系，说法正确的是（） A. 性质与判定完全相同 B. 性质由边等推角等，判定由角等推边等 C. 性质由角等推边等 D. 判定由边等推角等 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的________相等，简称________。 10. 等腰三角形性质：等边对________；等腰三角形判定：等角对________。 11. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，则△ABC是________三角形。 12. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则该三角形是________三角形。 13. 在△ABC中，∠1=∠2，且DE∥BC，则△ADE________等腰三角形（填“是”或“不是”）。 14. 判定等腰三角形的核心依据是看图形中是否存在________。 三、解答题（共44分） 15. 根据角度判断下列三角形是否为等腰三角形，说明理由（16分） （1）△ABC：∠A=50°，∠B=50° （2）△DEF：∠D=45°，∠E=55° （3）△MNP：∠M=30°，∠N=120° （4）△XYZ：∠X=60°，∠Y=60° 16. 完整证明：已知AD∥BC，BD平分∠ABC，求证：AB=AD（12分） 17. 已知：在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形（8分） 18. 简答辨析：精准区分等腰三角形性质与判定定理（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. B 解析：等腰三角形判定定理为等角对等边，性质定理为等边对等角，二者互为逆定理。 2. B 解析：∠A、∠B为三角形内角，两角相等，对应对边BC、AC相等，即BC=AC。 3. B 解析：根据等角对等边，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形。 4. C 解析：∠B=∠C=50°，两角对应相等，对边AC=AB，可判定等腰三角形。 5. B 解析：等边对等角是性质定理，等角对等边是判定定理，是考试核心区分点。 6. A 解析：由AD∥BC得∠ADB=∠DBC，BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC，等量代换得∠ABD=∠ADB，等角对等边，AB=AD。 7. B 解析：三角形有两个70°相等内角，满足等角对等边，为等腰三角形。 8. B 解析：性质是已知边相等，推导角相等；判定是已知角相等，推导边相等，因果关系相反。 填空题答案 9. 边；等角对等边 10. 等角；等边 11. 等边（特殊等腰） 12. 等腰 13. 是 14. 两个相等的内角 解答题解析 15. 解：（1）是，∠A=∠B，等角对等边；（2）不是，三角度数各不相同，无相等内角；（3）是，剩余内角30°，两角相等；（4）是，两角相等，为特殊等腰三角形（等边三角形）。 16. 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）。 17. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C。∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE（等角对等边），即△ADE是等腰三角形。 18. 解：性质定理：已知三角形两边相等，推出两底角相等（边→角）；判定定理：已知三角形两角相等，推出对应两边相等（角→边）。二者条件、结论相反，是几何推理中互逆的核心定理。 核心知识点总结：1. 判定定理：等角对等边，是判定等腰三角形的唯一核心依据；2. 核心区分：性质“边等推角等”，判定“角等推边等”；3. 高频模型：平行线+角平分线必出等腰三角形，是考试必考模型；4. 解题思路：先找等角，再证等边，严格区分性质与判定，避免逻辑倒置。 复习回顾 等腰三角形的性质： A B C 1.等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 思考：对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？除了定义法，还有没有其他的判定方法? 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 等腰三角形的判定 1 在△BAD 与△CAD 中， ∠1 =∠2， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∵∠B =∠C， AD = AD， ∴AB = AC (全等三角形的对应边相等). 如图，作∠BAC 的平分线 AD. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 等角对等边 等边对等角 知识要点 知识点1 等角对等边 1.将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若 ，，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 6 2.不能判定 是等腰三角形的是( ) B A.，， B. C. ， D. 返回 举一反三 7 例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC. A B C 证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∠A = 40°，∠B = 70°， ∴∠C = 180° -∠A -∠B， = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠C =∠B. ∴ AB = AC(等角对等边). 典例精析 40° 70° 证明：∵ AB∥CD (已知)， ∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 =∠2， ∴∠B =∠1 (等量代换). ∴AB = AC (等角对等边). 例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC. A B C （ （ 1 2 D 分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2. 一个三角形满足什么条件就是等边三角形？ 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些定理吗？ 等边三角形的判定 2 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证： AB = AC = BC. 证明：∵ ∠A =∠B， ∴ AC = BC. ∵ ∠B =∠C， ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. www.czsx.com.cn 判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角 ∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果是底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ （第3题） 3.［2025鹤壁期中］如图，已知平分 ， ，若，则 的长为___. 4 返回 举一反三 13 （第4题） 4.［2024重庆中考B卷］如图，在 中， ， ，平分交 于点 .若，则 的长度为___. 2 返回 举一反三 14 5.［教材例5变式］如图，平分 的外角 ，且.求证： 为等腰三角形. 证明：平分 ， . ， ， . . 为等腰三角形. 返回 举一反三 15 例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 典例精析 例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C. ∴ AB = AC (等角对等边)． A B C E （ （ 1 2 D 知识点2 等边三角形的判定 6.［2025太原期中］下列条件中，不能说明 为等边三角形的是 ( ) D A. B. C. ， D. 返回 举一反三 18 （第7题） 7.如图，将绕点顺时针旋转 得到 .若线段，则 的长为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 返回 举一反三 19 例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'， 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'. 证明：由于直角边 AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧. A C B B' A' C' B (A) (C) ∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)， ∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°. 即点 B、C'、B' 在同一条直线上. 在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)， ∴ ∠B =∠B' (等边对等角). 在△ABC 和△A'B'C' 中， ∵∠B =∠B' (已证)， ∠ACB =∠ A'C'B' (已知)， AC = A'C' (已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). B' A' A C B C' B (A) (C) 这样我们就证明了前面给出的 HL .判定定理 8.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若 ，点，对应的刻度分别为，，则线段 ___ . 2 （第8题） 返回 举一反三 22 9. 如图，，，是的高，且 .求 证： 为等边三角形. 举一反三 23 证明：，是 的高， . 在和 中， ， ，同理可得 ， ， 为等边三角形. 返回 举一反三 24 10.如图，在中，， ， ，将沿 方向平移2个单位 得到，连结，则 的周长是 ____. 12 返回 举一反三 25 （第11题） 11. 如图，点是射线 上一动 点， ，当 ___________ _______时， 为等腰三角形. 或 或 返回 举一反三 26 12.如图，在中，，，， ， ，则 ____. 11 （第12题） 举一反三 27 [解析] 点拨：如图，延长交于，易得 . ，， .根据等腰三角形的三线合一， 可得，， ， ， . 返回 举一反三 28 13.如图，在中，，为 延长线上 一点，交于点，交于点 . （1）求证： 是等腰三角形； 证明：， . ， ， . . ， . 是等腰三角形. 举一反三 29 （2）若为的中点，求证： . [答案] 过点作于点 . ， . ， ， . 为的中点， . 在和 中， ，，， . . 返回 举一反三 30 等腰三角形 等腰三角形的判定：等角对等边. 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $