12.2.5 斜边直角边 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“斜边直角边”（HL）判定定理，通过复习一般三角形全等判定及直角三角形边名称，结合舞台背景直角三角形测量问题导入，搭建从旧知到新知的学习支架，助力学生理解HL定理的形成。 其亮点是通过动手画图、叠合对比等探究活动培养几何直观与空间观念（数学眼光），依托例题及变式题的规范推理发展推理意识（数学思维）。学生在操作与论证中提升能力，教师可借助结构化资源实施高效教学。

12.2.5 斜边直角边 1.会用“HL”判定两个直角三角形全等. 2.能综合应用全等三角形判定定理解决问题 复习回顾 1.请将判定定理填到相应的图形下. 40° 92° 40° 92° 48° 43° 48° 43° 45° 45° SAS ASA AAS SSS 2.说一说直角三角形的三条边的名称. 90° 直角边 直角边 斜边 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. (1)你能帮他想个办法确认这两个直角三角形是否全等吗? 法1：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS) 法2：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS) (2)工作人员带了一个卷尺，测量了每个三角 形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分 别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角 形是全等的”，你相信他的结论吗？ D F E A B C 探究新知 猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图，已知两条线段(这两条线段长不相等)，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 步骤: 1.画一条线段AB，使它等于 2 cm; 2.画∠MAB = 90°(用量角器或三角尺); 3.以点 B 为圆心、3 cm 长为半径画圆弧,交射线 AM于点C; 4.连结 BC. △ABC 即为所求. 如图，已知线段a、b（b>a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b.（用教材P84做一做数据） 作法：（1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°； C B M （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； A （4）连结AC. △ABC 即为所要求作的三角形. 例1 如图，已知AC=BD，∠C=∠D=90°. 求证:BC = AD. 分析：由于AD与BC分别属于△BAD和△ABC，所以只需证明这两个三角形全等即可. 证明:∵∠C=∠D=90°(已知) ∴△ABC与△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义). 在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(H.L. ) ∴BC=AD(全等三角形的对应边相等). 直角三角形可以用符号“Rt△”来表示. A′ B′ C′ 比一比：剪下你作的直角三角形，把你作的直角三角形与课本上做一做中的三角形进行对比，或放到其他同学作的直角三角形上，你有什么发现? A B C 叠合 Rt△ABC与Rt△A′B′C′重合，说明这两个直角三角形全等. 换两条线段，试试看，是否有同样的结论？ 于是可得： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. A′ B′ C′ A B C 简写成“斜边直角边”或“HL”. 几何语言 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵AC=A′C′ BC=B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 这是一个定理，以后会给出它的证明. 1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为: 一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形． 2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别: （1）一般三角形全等的条件“SSS”在直角三角形中被“HL”代替，无需找第三条边对应相等； （2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等． 即学即练 已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，且AC=BD.求证：AB=CD. 证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC(已知). ∴△ABC和△DCB都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∵AC=DB (已知)， BC=CB(公共边)， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). ∴AB=CD(全等三角形的对应边相等). A B C D 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD ＝ BC ∠DAB ＝∠CBA BD ＝ AC ∠DBA ＝∠CAB HL HL AAS AAS 1. 如图，AC = AD，∠C =∠D = 90°．求证: BC = BD. 证明:在Rt△ACB 和Rt△ADB 中, ∵AB＝AB，AC＝AD ， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB (H.L.)． ∴BC ＝ BD ． 活学活用 2.如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD ＝ BC ∠DAB ＝∠CBA BD ＝ AC ∠DBA ＝∠CAB HL HL AAS AAS 活学活用 直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等. 注意 如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：BD = AC. 变式2 HL BD ＝ AC Rt△ABD ≌ Rt△BAC 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°. 3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,且BD=CD.求证:BE=CF. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∵BD=CD,DE=DF， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), ∵∠AED=∠AFD, ∠EAD=∠FAD, AD=AD, ∴△AED≌△AFD(AAS), ∴DE=DF. ∴BE=CF. 活学活用 1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为：一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形． 2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别： （1）一般三角形全等的条件“SSS”在直角三角形中被“HL”代替，无需找第三条边对应相等； （2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等． 1.如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．SSS B．ASA C．SSA D．HL D 2.如图，在△ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴△EBC 和 △DCB都是直角三角形. 在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中， ∵CE = BD， BC = CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL ). 证明∶∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°. 在 Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， AE=DF， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL), ∴∠ABE=∠DCF. ∵BC=CB，AB=DC, ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=DB. 3.如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，点E，F是垂足，AE=DF，AB=DC.求证∶AC=DB. 证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC， ∴△ABF 和 △CDE都是直角三角形. ∵ AE = CF， ∴ AE + EF = CF + EF， ∴AF = CE. 在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， ∵AB = CD， AF = CE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL ). ∴ BF = DE. A F C E D B 4. 如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BF = DE. 斜边直角边 判定定理 形式 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 HL（斜边直角边），存在于直角三角形中 判定直角三角形全等与判定一般三角形全等的联系与区别 应用 综合应用HL等判定方法解决问题 $