12.2.5 斜边直角边 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“斜边直角边（HL）”判定定理，系统梳理其定义、书写格式、适用条件及与普通三角形全等判定的区别。课堂导入通过SSA反例辨析、尺规作图实践和小组合作对比，从已学全等判定自然过渡到直角三角形专属方法，搭建清晰知识支架。 其亮点在于融合几何直观（尺规作图验证）、推理能力（典例变式训练）和数学语言（规范书写格式），通过易错点总结和判定方法汇总表，帮助学生构建系统知识网络。教师可借助分层练习提升教学效率，学生能在探究中发展创新意识与逻辑思维，深化对全等判定本质的理解。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.2.5 斜边直角边 第十二章 全等三角形 12.2.5 直角三角形全等的判定——斜边直角边（HL）同步练习题 一、核心知识点 1. HL判定定理（专属直角三角形、必考） 文字：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成斜边直角边（HL）。 关键限定：HL仅适用于直角三角形，普通三角形绝对不能用HL判定全等。 2. 标准几何书写格式 在Rt△ABC和Rt△DEF中（必须先标注直角三角形） $$\begin{cases} AB=DE（斜边对应相等）\\ AC=DF（一条直角边对应相等） \end{cases}$$ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 3. HL定理核心解读 ① 无需找角、无需两条直角边，只需：1条斜边+1条直角边； ② 是直角三角形专属最简判定方法，弥补了SSA不能判定全等的漏洞； ③ 普通三角形SSA不成立，但直角三角形SSA（斜边+直角边）即为HL，成立。 4. 直角三角形全等所有判定方法 通用4种（和普通三角形一致）：SSS、SAS、ASA、AAS 专属1种（仅直角三角形）：HL 5. HL常用隐含条件 ① 垂直、直角符号：天然90°，判定为Rt△； ② 公共直角边：直接得一组直角边相等； ③ 同角的余角相等、直角都相等； ④ 线段和差、中点推导边长相等。 6. 做题优先级技巧 直角三角形优先尝试HL（条件少、步骤简），HL条件不足再选用SAS、ASA、AAS、SSS。 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列关于HL判定定理的说法正确的是（） A. 所有三角形都可以用HL判定全等 B. HL是斜边和任意一条边相等即可判定 C. HL仅适用于直角三角形 D. HL需要三条边对应相等 2. 判定两个直角三角形全等的专属方法是（） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 3. 已知Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则判定全等依据是（） A. HL B. SAS C. ASA D. SSS 4. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 斜边和一条直角边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 三个角对应相等 D. 一个锐角和一条直角边对应相等 5. 普通三角形SSA不能判定全等，直角三角形中对应成立的判定是（） A. SSS B. HL C. ASA D. AAS 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. HL判定定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 2. HL判定方法仅适用于________三角形，普通三角形不可使用。 3. 直角三角形全等既可以用SSS、SAS、ASA、AAS，还可以用专属________。 4. 使用HL证明时，必须先写明两个三角形是________三角形。 5. 两个直角三角形，斜边相等、一条直角边相等，依据________可证全等。 6. ________（填AAA/HL）不能判定三角形全等。 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 判断下列条件选用的全等判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）： (1) 直角三角形斜边、一条直角边对应相等 (2) 两角夹一边对应相等 (3) 三边对应相等 2. 补全HL证明过程： 已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD 求证：Rt△ABC≌Rt△ABD 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD（已知） ∴∠C=∠D=90°（垂直定义） ∴△ABC、△ABD为直角三角形 在Rt△ABC和Rt△ABD中 AB=AB（________） AC=AD（________） ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（________） 3. 基础HL证明： 已知：∠C=∠D=90°，AB=EF，BC=DF 求证：Rt△ABC≌Rt△EFD 4. 简答：HL定理和普通三角形SSA的本质区别是什么？ 五、综合应用题（共 20 分） 1. 综合证明：已知AD⊥BC，AB=AC，求证：BD=CD（10分） 2. 综合证明：已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BD，CE=DF，求证：AE=BF（10分） --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 二、填空题 1. 斜边；直角边 2. 直角 3. HL 4. 直角 5. HL 6. AAA 三、解答题 1. 解： (1) HL (2) ASA (3) SSS 2. 解： AB=AB（公共斜边） AC=AD（已知） ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL） 3. 证明： ∵∠C=∠D=90° ∴△ABC、△EFD是直角三角形 在Rt△ABC和Rt△EFD中 $$\begin{cases} AB=EF（已知）\\ BC=DF（已知） \end{cases}$$ ∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL） 4. 答： 普通三角形SSA：两边及一边对角相等，三角形形状不唯一，不能判定全等； 直角三角形HL：限定直角三角形，斜边+一条直角边相等，三角形形状、大小唯一确定，是合法判定定理。 四、综合应用题 1. 证明： ∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴△ABD、△ACD为直角三角形 在Rt△ABD和Rt△ACD中 $$\begin{cases} AB=AC（已知）\\ AD=AD（公共直角边） \end{cases}$$ ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL） ∴BD=CD（全等三角形对应边相等） 2. 证明： ∵AC⊥AB，DB⊥AB ∴∠A=∠B=90° ∴△ACE、△BDF为直角三角形 在Rt△ACE和Rt△BDF中 $$\begin{cases} CE=DF（已知）\\ AC=BD（已知） \end{cases}$$ ∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL） ∴AE=BF（全等三角形对应边相等） 本节易错点总结 1. 乱用HL定理：HL只能用于直角三角形，普通三角形绝对不能使用。 2. 条件识别错误：HL必须是斜边+一条直角边，两条直角边相等不能用HL（应使用SAS）。 3. 书写格式扣分：未提前标注直角三角形，直接使用HL，步骤不规范。 4. 概念混淆：误以为SSA可以通用，只有直角三角形的斜边直角边组合（HL）是特例成立。 5. 判定依据写错：直角三角形两直角边相等证全等，依据是SAS，不是HL。 6. 遗漏隐含条件：忽略垂直得直角、公共斜边/公共直角边，无法凑齐HL条件。 全等三角形所有判定【终极汇总】 ✅ 通用判定（所有三角形）：SSS、SAS、ASA、AAS ✅ 直角三角形专属：HL ❌ 绝对不能判定：AAA、普通SSA 新知探究 直角三角形特殊判定 在前面我们学习了全等三角形的判定，知道”SSA”是不能证明两个三角形全等的（如图所示），AC=DF，CB=DE，∠A=∠F，但是△ABC和△FDE不全等。当△ABC和△FDE是直角三角形的时候呢？ 新知探究 尺规作图作三角形 （教材母题）如图所示，已知线段a、b（b＞a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b，。 同学们，动手画一画 新知探究 尺规作图作三角形 作法： （1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°; （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； （4）连接AC; 如图所示，△ABC即为所要求作的三角形 合作学习 小组活动：同学们分别在草稿纸上利用尺规作图画出上述三角形， 再跟周围的同学对比看是否能完全重合。 三边的情况 边 边 角 2cm 5cm 90° 2.5cm 2cm 90° 3.5cm 5cm 90° 4cm 4cm 90° 注意：长边为斜边，短边为一直角边 新知探究 直角三角形的判定（HL） 在Rt△ABC和Rt△DFE中， 则Rt△ABC≌Rt△DFE(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成 “斜边直角边”或“HL” 典例分析 例1 . 如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ） A. AC=DF，BC=EF B. ∠A=∠D，AB=DE C. AC=DF，AB=DE D. ∠B=∠E，BC=EF C 变式训练 如图，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB，还需补充一个条件，可以是（ ） A．AC=BC B. AD=BD C. ∠ACD=∠BCD D. ∠A=∠B B 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF.求证：△DBE≌△DCF 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵D是BC的中点，∴BD=CD 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL) 变式训练 如图，点C，E，F，B在同一条直线上，DF⊥BC，AE∥DF，AB=CD，AE=DF．求证：CE=BF． 证明：∵DF⊥BC， ∴∠DFC=90°， ∵AE∥DF，∴∠AEB=∠DFC=90° 在Rt△AEB和Rt△DFC中 ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL) ∴BE=CF ∴BE-EF=CF-EF ∴BF=CE 典例分析 例3 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (1)证明：∵CN=AM ∴CN+MN=AM+MN，即CM=AN 在Rt△CBM和Rt△ADN中 ∴Rt△CBM≌Rt△ADN(HL)，∴∠BCM=∠DAN，∴AD∥BC (1)求证：AD∥BC； 典例分析 例3 .在四边形ABCD中，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，CN=AM，BC=DA． (2)解：由（1）得Rt△CBM≌Rt△ADN ∴MB=DN 在△ABM和△CDN中 ∴△ABM≌△CDN， ∴∠ABM=∠CDN=20°， ∴∠DCN=90°-20°=70° (2)若∠ABM=20°，求∠DCN的度数． 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，能用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( ). A. AC=DF，BC=EF B. ∠A= ∠D，AB=DE C. AC=DF，AB=DE D. ∠B = ∠E，BC=EF C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 如果两个直角三角形具备下述的条件，它们一定全等吗？若全等，其依据是什么？ (1)一条直角边及一锐角对应相等. (2)斜边和一锐角对应相等. (3)两条直角边对应相等. (全等，ASA或AAS) (全等，AAS) (全等，SAS) 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，其中AB的对应边为 EC，点B、E、C在一条直线上，则以下结论：①AE=ED；② AE⊥DE； ③BC=AB+CD；④AB∥CD，其中一定成立的是（ ). A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， BE与CD交于点O，OB= OC，连结OA，则图中全等的直角三角形共有( ). A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 B 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E， BE =BC，连结BD，若AC=8，则AD +DE等于( ). A.6 B.7 C.8 D.10 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.南阳光武大桥，建于2012年，被称为“南阳之门”. 其侧面示意图如图所示，其中AB⊥CD，现添加以下条件，不能判定△ABC≌△ABD的是( ）. A. ∠ACB = ∠BAC B. ∠ACB = ∠ADB C. AC=AD D. BC=BD A 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，AB=CD，DE ⊥AC，BF ⊥AC，垂足分别为E，F，DE =BF. 求证：AE=CF. 证明：∵DE ⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFA =90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ∵AB =CD, BF =DE， ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴AF =CE，∴AF-FE =CE-FE，即AE=CF. 随堂练习 1. ［2025渭南期中］如图，要用“ ”判定 和 全等的条件是( ) C A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 中考考法 20 （第2题） 2. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示 的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于 点，另一直角边，分别落在 的边和上，且，作射线 ， 则在说明为 的平分线的过程中， 证全等的依据是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 21 （第3题） 3. 如图所示，已知在 中， ，，交于点 ， 若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 22 （第3题） 【点拨】在中， ， ，交于点 ，且 ， ， . ， ， ， . 返回 中考考法 23 4. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖 直墙上.已知左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，若，，，则 的长为 ___ . 6 （第4题） 中考考法 24 课堂小结 HL定理内容 定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。 适用条件 必须为直角三角形：两个三角形必须都有90°的直角。 斜边相等：两个三角形的斜边长度相同。 一条直角边相等：任意一条直角边（非斜边）的长度相同。 课堂小结 与其他全等判定的区别 SSS/SAS/ASA：适用于任意三角形，而HL仅适用于直角三角形。 特殊性：HL本质是“SSA”在直角三角形中的特例（直角固定了边角关系，避免了SSA的不确定性）。 $