12.4.1 互逆命题与互逆定理 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

1. **互逆命题概念**：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，另一个就叫做它的逆命题。任何一个命题都有逆命题，只需要交换原命题的条件和结论即可得到逆命题。注意，原命题的真假，不能决定逆命题的真假，原命题为真，逆命题可真可假；原命题为假，逆命题也有可能是真命题。 2. **互逆定理概念**：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。重要区分：不是所有定理都有逆定理。只有当定理的逆命题经过推理证明为真命题时，才能称为逆定理；若逆命题是假命题，则这个定理没有逆定理。 3. **命题改写方法**：很多命题省略了 “如果……，那么……”，写逆命题时，先把原命题改写成 “如果 + 条件，那么 + 结论” 的标准形式，再交换条件和结论。例：原命题 “两直线平行，内错角相等”，改写：如果两条直线平行，那么内错角相等；逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行。这个逆命题为真，所以二者是互逆定理。 4. **常见例子辨析**：“对顶角相等”，原命题为真。条件：两个角是对顶角；结论：两个角相等。逆命题：相等的两个角是对顶角。逆命题是假命题，所以 “对顶角相等” 这个定理没有逆定理。 5. **命题与定理的关系**：命题分为真命题、假命题；定理一定是真命题。所有命题都存在逆命题，但只有部分定理拥有逆定理。互逆命题只看结构，不看真假；互逆定理要求两个都必须是真命题。 6. **易错提醒**：①区分互逆命题、互逆定理：互逆命题只交换条件结论，不管真假；互逆定理要求两个都为真；②不要误认为原命题为真，逆命题一定为真；③写逆命题时，不能简单生硬调换词语，要保证语句通顺，条件和结论完整；④“互逆” 是双向关系，A 是 B 的逆命题，则 B 也是 A 的逆命题。 ## 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列说法正确的是（） A. 每个定理都有逆定理 B. 每个命题都有逆命题 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题没有逆命题 2. 原命题：“两直线平行，同位角相等”，它的逆命题是（） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线不平行，同位角不相等 C. 同位角不相等，两直线不平行 D. 如果两直线平行，那么同位角相等 3. “对顶角相等” 的逆命题是（） A. 如果是对顶角，则相等 B. 相等的角是对顶角 C. 不相等的角不是对顶角 D. 对顶角不相等 4. 下列一组属于互逆定理的是（） A. 原命题：若 a=b，则\(a^2=b^2\)；逆命题：若\(a^2=b^2\)，则 a=b B. 两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 C. 所有直角都相等；相等的角都是直角 D. 若 a>0，则\(|a|=a\)；若\(|a|=a\)，则 a>0 5. 关于互逆定理，说法错误的是（） A. 互逆定理都是真命题 B. 互逆定理一定是互逆命题 C. 互逆命题一定是互逆定理 D. 一个定理的逆命题为真，才存在逆定理 ## 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 6. 在两个命题中，一个命题的条件是另一个的结论，结论是另一个的条件，称它们为________。 7. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它就是原定理的________。 8. 任何命题都有逆命题，但不是所有________都有逆定理。 9. 原命题：等边对等角。逆命题：________。 10. 原命题为真，它的逆命题________（填 “一定” 或 “不一定”）为真。 ## 三、解答题（共 60 分） 11. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假（16 分） （1）全等三角形的对应边相等； （2）如果\(x=2\)，那么\(x^2=4\)。 12. 判断下列说法是否正确，并说明理由（16 分） （1）因为 “对顶角相等” 是定理，所以它有逆定理； （2）互逆定理一定是一对互逆命题。 13.（14 分）原命题：在一个三角形中，等角对等边。 （1）写出它的逆命题；（2）判断逆命题真假；（3）判断这一组是否为互逆定理。 14.（14 分）写出命题 “直角三角形的两个锐角互余” 的逆命题，判断真假，若是真命题，请简单说明能否作为逆定理。 ## 参考答案与解析 选择题： 1.B。解析：任何命题都有逆命题；定理不一定有逆定理；真命题逆命题可假。 2.A。解析：交换条件结论，内错角相等推出两直线平行。 3.B。解析：原命题条件：两角是对顶角；结论：两角相等。交换得到逆命题。 4.B。解析：B 中原命题和逆命题均为真命题，是互逆定理；其余逆命题均为假。 5.C。解析：互逆命题不一定都是真命题，不一定是互逆定理。 填空题： 6. 互逆命题。 7. 逆定理。 8. 定理。 9. 等角对等边。 10. 不一定。 解答题： 11. 解：（1）逆命题：对应边相等的三角形全等。原命题真；逆命题真。（2）逆命题：若\(x^2=4\)，则\(x=2\)。原命题真；逆命题假，x 还可以等于 - 2。 12. 解：（1）错误。“对顶角相等” 逆命题是假命题，没有逆定理。（2）正确。互逆定理满足条件结论互换，满足互逆命题定义，且二者都为真。 13. 解：（1）逆命题：在一个三角形中，等边对等角。（2）逆命题为真。（3）二者都为定理，属于互逆定理。 14. 解：逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形。逆命题为真，可以证明，因此原命题和逆命题互为逆定理。证明思路：三角形内角和 180°，两角相加 90°，剩下一角为 90°，是直角三角形。 （全文 1232 字） 下一节：**12.4.2 线段的垂直平分线**，继续保持相同格式、1232 字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学八年级上册 12.4.1 互逆命题与互逆定理 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 全等三角形 学习目标 观察上面三组命题，你发现了什么? 1. 两直线平行，内错角相等； 3. 如果小明感冒了，那么他一定会发烧； 4. 如果小明发烧，那么他一定感冒了； 2. 内错角相等，两直线平行； 5. 平行四边形的对角线互相平分； 6. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 说出下列命题的条件和结论： 情境导入 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为： 条件为 ；结论为 ． 因此它的逆命题为 . 内错角相等，两直线平行 两直线平行 内错角相等 情境导入 典例分析 例1 . 下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题． (1)两条直线相交只有一个交点． (2)等角的补角相等． (3)等边三角形也是等腰三角形吗？ 是命题，如果两条直线相交，那么它们只有一个交点 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交 是命题，如果两个角相等，那么它们的补角也相等 逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等 不是命题 变式训练 写出下列命题的逆命题： (1)如果a=b，那么a2=b2； (2)同角的余角相等； (3)如果|a|=|b|，那么a=b； (4)等腰三角形的两个底角相等． 逆命题：如果a2=b2，那么a=b 逆命题：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角 逆命题：如果a=b，那么|a|=|b| 逆命题：如果三角形是等腰三角形，那么这个三角形有两个角相等 1．命题“锐角小于90°”的逆命题是(　　) A．如果一个角是锐角，那么这个角小于90° B．不是锐角的角不小于90° C．不小于90°的角不是锐角 D．小于90°的角是锐角 1星题 夯实四基 D 举一反三 2．命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是____________________________________. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 举一反三 3．[北京期中]命题“如果x＝1，那么x2＝1”的逆命题是______命题．(填“真”或“假”) 假 举一反三 典例分析 例2 .已知下列命题：①若a≤0，则|a|=-a；②若ma2＞na2，则m＞n；③如果m是有理数，那么m是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 变式：下列命题中：①同位角相等，两直线平行；②如果ab=0，那么a=0，b=0；③等边三角形的三个角都相等．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 A 典例分析 例3 .下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 有，逆定理：两直线平行，同旁内角互补 有，逆定理：如果三条线段中，任意两条线段之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 变式训练 下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 有，逆定理：两个底角相等的三角形是等腰三角形 有，逆定理：两直线平行，内错角相等 没有 4．写出下列命题的逆命题，并判断其真假．若是假命题，请举出一个反例． (1)等边三角形有一个角等于60°； 解：逆命题：有一个角等于60°的三角形是等边三角形．它是假命题．反例：有一个三角形的内角分别是60°，100°，20°，它不是等边三角形． 举一反三 (2)两个锐角的和是钝角． 解：逆命题：和为钝角的两个角是锐角．它是假命题．反例：若一个角的度数是20°，另一个角的度数是140°，两角之和为20°＋140°＝160°，度数为140°的角不是锐角． 举一反三 5．[知识初练]命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“_____________________________”，因为这两个命题都是定理，所以这两个互逆命题又称为__________． 同旁内角互补，两直线平行 互逆定理 举一反三 6．[浙江温州期中]定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是(　　) A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 D．不是等腰三角形的两个角不相等 A 举一反三 7．下列命题中，其逆命题与原命题是互逆定理的是(　　) A．若a>0，则|a|＝a B．两直线平行，内错角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．有限小数都是无理数 B 举一反三 8．有下列定理：①直角三角形的两个锐角互余；②等边三角形的三条高相等；③全等三角形的面积相等；④对顶角相等；⑤等腰三角形两腰上的中线相等．其中没有逆定理的为__________．(填序号) ③④ 2星题 提升四能 举一反三 课堂小结 互逆命题 定义：若原命题为"若p，则q"，则其逆命题为"若q，则p"。两者互为逆命题。 关系： 原命题与逆命题的真假无必然联系（可能同真、同假或一真一假）。 例如： 原命题："若x>0，则x²>0"（真） 逆命题："若x²>0，则x>0"（假，因x<0时也成立） 课堂小结 互逆定理 定义：若一个命题及其逆命题均被证明为真，则称这两个命题为互逆定理。 特点： 互逆定理在逻辑上构成双向成立的结论。 例如： 定理："等腰三角形两底角相等" 逆定理："若三角形两角相等，则它是等腰三角形" 谢谢观看 THANKS $