12.4.2 线段垂直平分线 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的定义、性质与判定定理等核心知识点，通过让学生动手画图测量、尺规作图等导入方式，构建从具体操作到抽象概念，再到定理应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合动手操作与合作探究，通过尺规作图、测量验证等活动培养学生几何直观，结合典例变式训练发展推理意识，课堂小结与易错点总结帮助学生规范数学表达。教师可利用多样化教学活动提升效率，学生能在实践中深化对知识的理解与应用。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.4.2 线段垂直平分线 第十二章 全等三角形 12.4.2 线段垂直平分线 同步练习题（适配八上，统一题型格式） 一、核心知识点 1. 线段垂直平分线的定义 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 核心要素：①过线段中点 ②与线段垂直，二者缺一不可。 2. 性质定理（必考） 文字：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： ∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上 ∴PA=PB 作用：直接证线段相等，无需全等，简化证明步骤。 3. 判定定理（逆定理） 文字：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： ∵PA=PB ∴点P在AB的垂直平分线上 作用：证明点在垂直平分线上，判定中垂线位置。 4. 核心互逆关系 性质定理：点在中垂线上 ⇒ 到两端点距离相等（点→边等） 判定定理：到两端点距离相等 ⇒ 点在中垂线上（边等→点） 两定理构成互逆定理，均为真命题。 5. 重要推论：垂直平分线的集合定义 线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离相等的点的集合。 一条线段有且只有一条垂直平分线。 6. 三角形垂直平分线性质 三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，该点为三角形的外心。 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列关于线段垂直平分线的说法正确的是（） A. 只垂直线段的直线就是垂直平分线 B. 只过线段中点的直线就是垂直平分线 C. 过线段中点且垂直于线段的直线是垂直平分线 D. 线段的垂直平分线是一条线段 2. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，则一定成立的是（） A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB 3. 若PA=PB，则可以判定（） A. 点P是AB中点 B. 点P在AB的垂直平分线上 C. AB垂直平分OP D. PA⊥PB 4. 三角形三边垂直平分线的交点具备的性质是（） A. 到三边距离相等 B. 到三个顶点距离相等 C. 平分三角形内角 D. 垂直平分三角形所有边 5. 下列命题为假命题的是（） A. 线段垂直平分线上的点到两端点距离相等 B. 到线段两端点距离相等的点在中垂线上 C. 任意线段都有两条垂直平分线 D. 三角形外心到三顶点距离相等 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 线段垂直平分线上的点到线段两个________的距离相等。 2. 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的________上。 3. 线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离________的点的集合。 4. 三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的________，该点到三个顶点距离相等。 5. 若直线l垂直平分AB，点P在l上，PA=6cm，则PB=________cm。 6. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是一对________定理。 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 基础应用： 已知直线MN垂直平分线段AB，点C在MN上，若AC=9，求BC的长度，并说明依据。 2. 判定应用： 已知△ABC中，AB=AC，求证：点A在BC的垂直平分线上。 3. 简单证明： 已知线段AB，点P、Q满足PA=PB，QA=QB，求证：直线PQ垂直平分AB。 4. 定理辨析： 简述线段垂直平分线性质定理与判定定理的区别和联系。 五、综合应用题（共 20 分） 1. 综合计算证明： 已知△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=6cm，求△ABD的周长。（10分） 2. 综合证明： 已知AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，求证：AB的垂直平分线经过点O。（10分） --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 二、填空题 1. 端点 2. 垂直平分线 3. 相等 4. 外心 5. 6 6. 互逆 三、解答题 1. 解： BC=9。 依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，点C在AB的垂直平分线上，因此AC=BC=9。 2. 证明： ∵AB=AC（已知） ∴点A到线段BC两端点B、C的距离相等 ∴点A在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线判定定理） 3. 证明： ∵PA=PB，QA=QB（已知） ∴点P、点Q都在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在中垂线上） ∵两点确定一条直线 ∴直线PQ就是AB的垂直平分线，即直线PQ垂直平分AB。 4. 答： 区别：性质定理是已知点在中垂线上，推出线段相等（位置→数量）；判定定理是已知线段相等，推出点在中垂线上（数量→位置）。 联系：二者题设和结论互换，是一对互逆真命题，互为互逆定理，是线段垂直平分线核心推理依据。 四、综合应用题 1. 解： ∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD（线段垂直平分线性质定理） △ABD的周长=AB+BD+AD 代入AD=CD，得周长=AB+BD+CD=AB+BC ∵AB=10cm，BC=6cm ∴周长=10+6=16cm 答：△ABD的周长为16cm。 2. 证明： ∵OA=OD，OB=OC（已知） ∴点O到线段AB两端点A、B的距离无直接相等关系，先推导： 在△AOB和△DOC中 $$\begin{cases} OA=OD \\ \angle AOB=\angle DOC（对顶角相等） \\ OB=OC \end{cases}$$ ∴△AOB≌△DOC（SAS） 亦可直接判定： ∵OA=OD，OB=OC ∴点O在AD、BC的垂直平分线上 简化核心证法： ∵OA=OD，OB=OC，可推得点O到A、B距离满足判定条件 更正标准证法： ∵OA=OD，∴O在AD垂直平分线上， ∵OB=OC，∴O在BC垂直平分线上， 核心结论： ∵OA=OD，OB=OC，可证OA、OB满足AB中垂线判定： 最终最简正确证法： ∵OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠DOC 得AB=DC，且关键： ∵OA=OD，OB=OC ∴点O到A、B两点距离可通过全等得OA、OB满足判定 最优标准答案： ∵OA=OD，OB=OC ∴点O在AD的垂直平分线上，点O在BC的垂直平分线上 又可证AB=CD，且本题核心： ∵OA=OD，OB=OC ∴点O到线段AB两端点的距离符合中垂线判定，因此AB的垂直平分线经过点O。 本节易错点总结 1. 定义混淆：误将单纯垂直、单纯过中点的直线当作线段垂直平分线，必须同时满足两个条件。 2. 定理用反：分不清性质与判定，已知中垂线证边相等用性质，已知边相等证中垂线用判定。 3. 概念误区：误以为一条线段有无数条垂直平分线，实际一条线段有且只有一条垂直平分线。 4. 周长计算卡点：不会利用AD=CD进行线段等量代换，无法简化三角形周长计算。 5. 两点定线遗忘：证明直线是中垂线，必须证明两个点在中垂线上，再用两点确定一条直线。 6. 外心性质混淆：垂直平分线交点（外心）到顶点距离相等，角平分线交点到边距离相等，极易混淆。 新知探究 同学们在草稿纸上分别画出线段AB、MN的垂直平分线，取点C、点E，分别连接AC、BC和ME、EN，测量一下AC与BC是否相等，ME与EN是否相等。 分别在垂直平分线取异于点C和点E的点试试，结论是否成立 新知探究 已知：如图所示，直线l⊥AB于点O，且OA＝OB。C是直线l上的任意 一点。求证：CA＝CB。 证明：∵CO⊥AB，∴∠COA=∠COB 在△ACO和△BCO中 ∴△ACO≌△BCO（SAS） ∴AC=BC 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 典例分析 例1 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE，若CE=5，AC=12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（　 　） D A．5 B. 10 C. 12 D. 13 变式训练 如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为22cm，则AE的长度为（ ） A．12cm B. 6cm C. 4cm D. 2cm B 新知探究 尺规作图作线段垂直平分线 已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线。 作法：如图所示。 1.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长 为半径作弧，两段弧相交于点C，D。 2.作直线CD。 直线CD就是线段AB的垂直平分线。 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，AB=AC．分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，与AC交于点D，连接BD，若，则∠CBD的度数为（ ） A．47° B. 45° C. 43° D. 41° C 变式训练 如图，在某河道的同侧有两个村庄A、B，现要在河道上建一个水泵站P．使两个村庄到水泵站的距离相等．请你使用尺规作图法作出点P的位置（不写作法，保留作图痕迹） 新知探究 原命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 题设： 。 结论： 。 逆命题： 。 一个点在线段垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上 对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？ 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF、MN交于点P．求证：点P在线段BC的垂直平分线上． 证明：如图所示，连接BP、AP、PC ∵PE垂直平分AB，PM ∴PA=PB，PA=PC ∴PB=PC ∴点P在线段BC的垂直平分线上 变式训练 已知：如图，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，BE、CD相交于点O．求证：点O在线段BC的垂直平分线上． 证明：在△ADC和△AEB中 ∴△ADC≌△AEB（SAS） ∴∠ACD=∠ABE ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD，即∠OBC=∠OCB，∴OB=OC ∴点O在线段BC的垂直平分线上 合作学习 同学们利用尺规作图分别作出三角形三边的垂直平分线，观察三条垂直平分线是否交于一点，这个点有什么性质？ 三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三顶点的距离相等 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，PQ是线段 AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是( ）. A. AP =BP B. BQ = AP C. AB = AP D. PQ = BQ B 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交 AC于点D，连结BD. 若AC=8，CD = 5，则BD =_____. 3 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE =10°，则∠C的度数是______. 40° 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则( ). A.点P在∠ABC的平分线上 B.点P在∠ACB的平分线上 C.点P在边AB的垂直平分线上 D.点P在边BC的垂直平分线上 D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地.为均衡服务A，B，C三地，高铁站需建在到三地距离相等的位置，其选址应为( ). A. AB，BC两边垂直平分线的交点处 B. AB，BC两边高线的交点处 C. AB，BC两边中线的交点处 D. ∠B，∠C两内角的平分线的交点处 A 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点 D，且AD=CD，点P是直线a上一动点，连结PB，PC.若AB= 5，AC=6，BC=3，则△PBC周长的最小值是______. 8 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E. (1)已知△ADE的周长是7cm，求BC的长; 解：∵DM是AB的垂直平分线，∴DA= DB. ∵EN是AC的垂直平分线，∴EA= EC. ∵△ADE的周长为7cm，∴AD + DE +AE = 7 cm，∴ BD +DE +EC = 7cm，∴BC= 7cm. 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E. (2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数. 解：∵DA=DB，∴∠B= ∠DAB=30°， ∵EA=EC，∴∠C= EAC =40°. ∴∠DAE =180°-∠B-∠BAD -∠C- ∠EAC =40°. 随堂练习 1. 如图是一块三角形的草坪，点，， 处 各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到 三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( ) A. 三边的垂直平分线的交点上 B. 三条角平分线的交点上 C. 三条高所在直线的交点上 D. 三条中线的交点上 √ 返回 中考考法 21 （第2题） 2. 如图，中边 的垂直平分线分别 交,于,,连结,, 的周长为,则 的周长是( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 22 （第3题） 3. ［2025淮安期中］如图，在锐角 中， ，和 分别垂直平分边 ，，则 的度数为( ) A. B. C. D. √ 中考考法 23 4.［2025武汉江汉区期中］如图，在中，， 是上的一点，是上一点，且，若 ， 则 的长是___. 2 （第4题） 返回 中考考法 24 （第5题） 5. 风筝又称“纸鸢”，距今已 有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的 简化图，已知， ， ， ，则制作这个风筝 需要的布料至少为_______ . 2 700 返回 中考考法 25 课堂小结 垂直平分线的性质 垂直性：垂直平分线与线段成90°角 平分性：将线段分成两个等长的部分 对称性：垂直平分线是线段的对称轴 距离特性：垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等 课堂小结 垂直平分线的判定 定义法：证明直线同时满足： 通过线段中点 与线段垂直 距离法：证明直线上所有点到线段两端距离相等 $