12.1.2 定义、定理与证明 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

# 华东师大版数学八年级上册 12.1.2 定义、定理与证明专项练习（1232字） ## 核心知识点梳理 1. **定义**：对名称或术语的含义进行描述、作出规定，就是给出它们的定义。定义是判断一件事物是不是该名称的依据，例如：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。定义既可以当作性质使用，也可以当作判定使用。 2. **命题再回顾**：判断一件事情的语句叫命题，分为真命题和假命题。真命题包含公理、定理、定义；假命题只需举出一个反例即可推翻。 3. **公理（基本事实）**：从长期实践中总结出来，不需要再证明，并且作为判断其他命题真假原始依据的真命题，叫做公理。例如两点确定一条直线，两点之间线段最短。 4. **定理**：用逻辑推理的方法证明是正确的真命题，叫做定理。定理可以作为继续推理的依据。定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。 5. **证明**：根据条件、定义、公理、定理以及已经证明过的定理，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。证明的每一步都要有依据，不能凭空猜想。证明一个命题是假命题不需要完整推理，举出反例即可。 6. **证明步骤与易错提醒**：①分清命题的条件和结论，画出对应图形，写出已知、求证；②每一步推理后面注明依据，依据只能是定义、公理、定理、已知条件；③不能循环论证，不能把结论当作条件来证明命题；④区分定义、公理、定理三者：定义是名词解释，公理无需证明，定理需要推理证明。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列属于定义的是（） A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等 C. 含有未知数的等式叫做方程 D. 两直线平行，内错角相等 2. 下列说法正确的是（） A. 真命题就是定理 B. 公理需要证明之后才能使用 C. 定理一定是真命题 D. 假命题也可以作为推理依据 3. 证明命题“同角的余角相等”，推理的依据不可能是（） A. 余角定义 B. 等式性质 C. 已知条件 D. 猜想 4. 下列命题属于公理的是（） A. 同角的补角相等 B. 两点确定一条直线 C. 三角形内角和为180° D. 对顶角相等 5. 在几何证明的书写中，每一步推理后面标注的内容是（） A. 题目结论 B. 图形编号 C. 推理依据 D. 解题思路 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 对名称和术语的含义加以描述，作出规定，就是________；经过推理证实的真命题叫做________。 7. 命题“对顶角相等”是______（填“公理”或“定理”）。 8. 证明一个真命题，需要进行演绎推理；证明一个命题是假命题，只需举出一个________。 9. “在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，这句话属于________（填公理/定理/定义）。 10. 在证明过程中，不能用来作为推理依据的是________（填“已知”“猜想”“定义”）。 ## 三、解答题（共60分） 11. 判断下列语句是定义、公理还是定理（16分） （1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形； （2）过两点有且只有一条直线； （3）两直线平行，同位角相等； （4）无限不循环小数叫做无理数。 12. 判断下列说法的正误，并简单说明理由（16分） （1）所有的真命题都是定理； （2）公理是不需要证明的真命题。 13.（14分）补全下面证明过程，并在括号内填写推理依据。 已知：∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°。求证：∠2=∠3。 证明：∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠2是∠1的余角（________）。 ∵∠1+∠3=90°（已知），∴∠3是∠1的余角（________）。 ∴∠2=∠3（________________）。 14.（14分）写出命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的已知、求证（同一平面内），并简单写出证明思路。 ## 参考答案与解析 选择题： 1.C。解析：C是对方程这个名词的规定，属于定义；A是公理，B、D是定理。 2.C。解析：定理一定是真命题；真命题不一定是定理；公理无需证明；假命题不能作为推理依据。 3.D。解析：猜想不能当作证明依据。 4.B。解析：两点确定一条直线是基本事实（公理），其余均为定理。 5.C。解析：几何证明每一步后面标注推理依据。 填空题： 6. 定义；定理。 7. 定理。解析：对顶角相等需要推理证明，不是公理。 8. 反例。 9. 公理。 10. 猜想。解析：猜想没有经过证明，不能作为推理依据。 解答题： 11.解：（1）定义；（2）公理；（3）定理；（4）定义。 12.解：（1）错误。真命题只有经过证明，并且可以作为推理依据时，才称为定理，并非所有真命题都是定理。 （2）正确。公理是从实践总结得到的基本事实，不需要进行逻辑证明，可以直接用来推理。 13.解：余角的定义；余角的定义；同角的余角相等。 14.解：已知：在同一平面内，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c。求证：a∥b。 证明思路：由垂直定义得到两个直角，同位角相等；再根据“同位角相等，两直线平行”，证得a平行于b。 （全文1232字） 下一节：**12.2 全等三角形**，继续保持相同格式、1232字专项练习吗？ 华东师大版（新教材）数学八年级上册 12.1.2 定义、定理与证明 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 全等三角形 学习目标 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义. 例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义. 讨论：你能举出其他类似的例子吗? 情境导入 新知探究 基础定义 在数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。 注意：定理是命题，命题不一定是定理，而且定理是真命题。 典例分析 例1 . 下列语句中，属于定理的是（       ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 D 解析：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理 B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，命题是假命题，故不是定理 C、“内错角相等”缺少“两直线平行”，是假命题，故不是定理 D、同角的补角相等，是定理。 合作学习 通过观察，先猜想结论，再验证： 1. 如图所示，一组直线 a、b、c、d 是否互 相平行？ 2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2-3n+7的值分别是 7，5，5，7，11，17，它们都是质数，那么，命题“对于自然数 n，代数式 n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？ 同学们可以讨论一下 新知探究 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 基础定义 思考 “证明三角形的内角和为180”．要求：已知和求证，并尝试证明． 新知探究 例2 . 证明三角形的内角和为180°．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点A作EF∥BC，如图， ∵EF∥BC ∴∠B=∠1，∠C=∠2 ∵∠1+∠BAC+∠2=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° 1 2 E F 1．下列语句中，是定义的是(　　) A．点A到点B的距离是3 cm B．两直线平行，同位角相等 C．直角都相等 D．有两边相等的三角形是等腰三角形 1星题 夯实四基 D 举一反三 2．小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，则∠1＝∠2，这一结论属于(　　) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题 C 举一反三 3．下列说法中，错误的是________．(填序号) ①所有的定义都是命题；②所有的基本事实都是命题；③所有的定理都是命题；④所有的命题都是定理． ④ 举一反三 变式训练 命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 已知：如图，a⊥b，a⊥c，求证：b∥c 证明：∵a⊥b，∴∠1=90°， ∵a⊥c，∴∠2=90°， ∴∠1=∠2 ∴b∥c 变式训练 求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 已知：n，n+1是两个连续的自然数，求证：n（n+1）是偶数 证明：当n是奇数时，n+1就是偶数 所以n（n+1）是偶数 当n是偶数时，n（n+1）是偶数 综上所述，n(n+1)是偶数。 即两个连续自然数的积是偶数。 典例分析 例3 补全下列推理过程： 如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA． 解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知） ∴∠BFE=∠BDA=90°（垂线的定义） ∴EF∥AD（ ） ∴∠2=∠3（ ） ∵∠1=∠2（已知） ∴ （等量代换） ∴DG∥AB（ ） 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠1=∠3 内错角相等，两直线平行 变式训练 补全下列推理过程： 如图，已知AB∥CE，∠A=∠E，试说明：∠CGD=∠FHB 两直线平行，内错角相等 解：∵AB∥CE（已知） ∴∠A=∠ADC（ ） ∵∠A=∠E（已知） ∴∠E=∠ADC（ ） ∴AD∥EF（ ） ∴∠CGD=∠GHE( ) ∵∠FHB=∠GHE( ) ∴∠CGD=∠FHB 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 对顶角相等 4. (教材改编题)如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB＝∠COD，推理的依据是(　　) A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C．对顶角相等 D．垂直的定义 B 举一反三 5．补全下面的证明过程，并填上推理的依据． 已知：如图，点F在线段AD上，点B，C，E共线，∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D. 求证：∠E＝∠DFE. 证明：∵∠B＋∠BCD＝180°(已知)， ∴AB∥CD(__________________________)． ∴∠B＝________(_________________________)． 同旁内角互补，两直线平行 ∠DCE 两直线平行，同位角相等 举一反三 又∵∠B＝∠D(已知)， ∴________＝________(____________)， ∴AD∥BE(________________________)， ∴∠E＝∠DFE(__________________________)． ∠DCE ∠D 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 举一反三 6．[江苏南京期中]下列命题中，不是定理的是(　　) A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为(n－2)×180° D．相等的角是对顶角 D 2星题 提升四能 举一反三 课堂小结 基本概念 定义：对数学概念本质属性的确切描述（如"平行线：同一平面内永不相交的两条直线"）。 公理：公认的真命题，无需证明（如"两点确定一条直线"）。 定理：经过逻辑推理证明为真的命题。 谢谢观看 THANKS $