12.1.2 定义、定理与证明 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“定义、定理与证明”核心知识点，通过复习命题的定义、结构及分类，结合“想一想”问题链导入新知，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实例辨析概念（如平行线定义），规范证明过程（如补全平行线性质证明），分层练习题涵盖辨析、证明、举反例，培养推理意识与数学表达能力。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建逻辑体系，教师可提升教学效率，学生强化几何推理基础。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.1.2 定义、定理与证明 第十二章 全等三角形 华东师大版八上12.1.2定义、定理与证明同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列说法正确的是（） A. 公理是经过推理证实的命题 B. 定理是不需要证明的真命题 C. 定义是对名称和术语的含义加以描述、作出明确规定 D. 假命题也可以作为定理使用 2. 下列选项中，属于公理的是（） A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 同角的补角相等 D. 两直线平行，内错角相等 3. 下列说法错误的是（） A. 定义一定是真命题 B. 定理一定是真命题 C. 公理是公认的真命题 D. 真命题一定是定理 4. 可以作为推理依据的是（） A. 只有公理 B. 只有定理 C. 公理、定义、定理 D. 所有命题 5. “垂线段最短”属于（） A. 定义 B. 公理 C. 定理 D. 假命题 1. 对名称或术语的含义进行描述、做出规定，叫做________。 4. 人们长期实践总结出来、公认正确、不需要证明的真命题叫做________。 6. 经过演绎推理证明正确的真命题叫做________。 8. 根据已知的真命题，推断出某个命题真实性的过程叫做________。 10. “两点确定一条直线”是________（填“公理”或“定理”）。 12. 证明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个________。 三、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 区分下列语句是定义、公理、定理： （1）含有未知数的等式叫做方程 （2）两直线平行，同位角相等 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4. 补全证明过程： 已知：如图，直线$$a\parallel b$$ 求证：$$\angle1=\angle2$$ 证明： ∵ $$a\parallel b$$（________） ∴$$\angle1=\angle3$$（________） 又∵ $$\angle2=\angle3$$（________） ∴ $$\angle1=\angle2$$（等量代换） 6. 判断命题“相等的角是对顶角”是真命题还是假命题，若是假命题，请举反例。 8. 简述公理、定理、定义三者的区别与联系。 四、拓展证明题（共 20 分） 1. 已知：$$\angle1+\angle2=180^\circ$$，$$\angle2+\angle3=180^\circ$$ 求证：$$\angle1=\angle3$$。（10 分） 4. 证明：“同角的余角相等”。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 二、填空题 1. 定义 2. 公理 3. 定理 4. 证明 5. 公理 6. 反例 三、解答题 1.（1）定义 （2）定理 （3）公理 2. 已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等 3. 假命题。 反例：两直线平行时，同位角相等，但不是对顶角。 4. 区别：定义是对术语的规定，公理是无需证明的基本事实，定理是经过推理证明的真命题； 联系：三者均为真命题，均可作为几何推理、证明的依据。 四、拓展证明题 1. 证明： ∵ $$\angle1+\angle2=180^\circ$$（已知） ∴ $$\angle1$$是$$\angle2$$的补角（补角定义） ∵ $$\angle2+\angle3=180^\circ$$（已知） ∴ $$\angle3$$是$$\angle2$$的补角（补角定义） ∴ $$\angle1=\angle3$$（同角的补角相等） 4. 已知：$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，$$\angle1+\angle3=90^\circ$$ 求证：$$\angle2=\angle3$$ 证明： ∵ $$\angle1+\angle2=90^\circ$$（已知） ∴ $$\angle2=90^\circ-\angle1$$（等式性质） ∵ $$\angle1+\angle3=90^\circ$$（已知） ∴ $$\angle3=90^\circ-\angle1$$（等式性质） ∴ $$\angle2=\angle3$$（等量代换） 练习题拓展讲解（约 400 字） 本节是几何推理的核心基础，承接上一节命题知识，搭建起初中几何证明的完整逻辑框架，是后续所有几何证明大题的理论依据。核心知识点包含定义、公理、定理、证明四大模块，三者均为真命题，是几何推理的核心依据。 三者核心区分：定义是对数学术语的精准规定，用来界定概念；公理是无需证明、公认成立的基本事实，是几何体系的基石，数量少且固定；定理是依托公理、定义，通过严谨推理证明成立的真命题，是解题常用结论。证明是通过已知真命题，推导命题真假的完整过程，几何证明必须每一步有据可依，依据仅限定义、公理、定理。 本节高频考点：辨析定义、公理、定理，补全几何证明步骤，简单命题证明、假命题举反例。核心易错点：混淆公理与定理、证明过程无依据、逻辑跳跃。解题核心原则：几何推理步步有据，严禁主观臆断。熟练掌握本节内容，能规范几何答题逻辑，为后续平行线、三角形等几何证明大题筑牢基础。 （全文含题目、答案、知识点讲解总计约 900 字） 学习目标 1.理解基本事实、定理等概念.（重点） 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点） 学习目标 复习回顾 问题1：什么是命题？命题的结构是什么？ 定义：判断一件事情的语句. 构成：每个命题都是由条件、结论两部分组成. 命题常写成“如果……那么……”的形式. 问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 真命题和假命题 举反例 02 新知导入 想一想： 1.什么是命题？命题的结构是什么？ 表示判断的语句叫做命题. 命题是由条件和结论两部分组成的. 条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 02 新知导入 想一想： 2.命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 命题分为真命题和假命题。 可以通过“举反例”判断一个命题是否为假命题，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以证明。 03 新知探究 探究 定义的概念 观察下面语句，思考这句话有什么作用？ “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 这句话明确了平行线概念的含义，即 “平行线是什么”。 03 新知探究 探究 定义的概念 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。 思考：定义与上节课学习的命题有什么关系？ “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线” 可改写为 “如果两条直线在同一平面内且不相交，那么这两条直线是平行线”， 所以说定义是一种特殊的命题，它的结论是对概念的界定. 03 新知探究 探究 定义的概念 你能说一说 “直角三角形” 的定义，并判断这个定义是否为命题吗？ 直角三角形的定义为“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形， 可改写为“如果一个三角形中有一个角为直角，那么这个三角形是直角三角形”。 这个定义是命题。 03 新知探究 探究 定理的概念 通过七年级的学习，我们已经知道如下各命题都是正确的，即都是公认的真命题: 两点确定一条直线； 两点之间线段最短； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 03 新知探究 探究 定理的概念 我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 03 新知讲解 思考：真命题与定理是什么关系？ 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. 【例】下列真命题中属于定理的为（ ）. A. 若a 是整数，则a是有理数 B. 对顶角相等 C. 直线上两点之间的部分叫做线段 D. 锐角小于直角 B 03 新知探究 探究 什么是证明？ （1）一位同学在钻研数学题时发现： 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 他的结论正确吗? 03 新知探究 探究 什么是证明？ (2)如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗? 03 新知探究 探究 什么是证明？ (3)我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于( n-2 )×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论? 实际上，这是一个正确的结论。 知识要点 上面几个例子说明：通过特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 知识要点 演绎推理是研究数学的一个重要方法. 除了基本事实和已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 例如，有了“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这条定理后，我们可以证明命题： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 03 新知探究 已知：如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角. 求证：∠1+∠2=180°. 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵ a ∥ b( 已知 )， ∴ ∠1=∠3( 两直线平行，同位角相等 ). 又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)， ∴∠1+∠2 =180°(等量代换). 03 新知探究 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论。 例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的推论. 推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据. 03 新知探究 证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等量代换、等式的性质、不等式的性质等.在开始学习书写证明的过程时，要求把依据写在每一步推理后面的括号内，熟练后可以逐渐简化. 1. 下列属于定义的是( ) D A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分 2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同 旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是 定理的有( ) B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 中考考法 20 3.试说明“若 ， ， ，则 ”是真命题.以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为 , （已知）；③所以 ， （等式的性质）；④所以 （等量代换）；⑤所以 （等量代换）.正确的 顺序是____________. ②③①⑤④ 返回 中考考法 21 4. 下面是投影屏上出示的抢答题， 需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( ) 已知：如图， . 求证： . ___________________________ 中考考法 22 证明：延长交于点 ， 则 . 又 ， ， （ 相等，两直线平行）. A. 代表 B. 代表同位角 C. 代表 D. 代表 续表 √ . . . . . . . . 返回 中考考法 23 5. （1）如图， ，数学课上，老师请 同学们根据图形的特征添加一个关于角的 条件，使 ，可以添加的条 件是________________________________； （答案不唯一） 中考考法 24 （2）如图，请你从; 平分 ; 中任选出两个作为条 件，另一个作为结论，组成一个真命题. 条件：____________________，结论： ____.（填序号） （答案不唯一）①③ ② 中考考法 25 【解】证明：, , . , ,即平分 . 返回 中考考法 26 6.【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现 有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线______ _____，一对对顶角的平分线________________________.如 果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线 __________，一对内错角的平分线__________，一对同旁内 角的平分线__________； 互相垂直 共线（或在一条直线上） 互相平行 互相平行 互相垂直 中考考法 27 【论证】如图①，已知， 分 别与，交于点，，， 分 别平分，，则___ ，请 证明这个结论的正确性； // 中考考法 28 【解】证明：， . ，分别平分， ， ， ， ， . 中考考法 29 【应用】如图②，两条笔直的街道 ，相交于点，街道， 分 别平分， ，请应用“探究” 中的结论说明街道 是笔直的. ，分别平分，，与 是对顶 角， 根据“一对对顶角的平分线共线（或在一条直线上）” 可得点，，在同一条直线上，即街道 是笔直的. 返回 中考考法 30 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ (1)五个基本事实. (2)定理的概念. (3)证明及证明的过程与步骤. $