12.1.2 定义、定理与证明 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“定义、定理与公理”核心知识点，通过旧知复习（辨析真/假命题）衔接新知探究（结合实例与合作学习），搭建从已有命题认知到严谨证明逻辑的学习支架，帮助学生构建概念间的内在联系。 其亮点在于强化概念辨析（如定义双向性、定理需推理证明），设计分层练习（必做基础题与选做综合题）及易错点总结，结合推理意识与数学语言表达，例如“同角的余角相等”证明规范步骤，培养学生逻辑思维，教师可直接用于教学提升效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.1.2 定义、定理与证明 第十二章 全等三角形 12.1.2 定义、定理与证明 同步练习题（适配八上，统一题型格式） 一、核心知识点 1. 定义 对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义。 特点：定义是双向真命题，可逆用；可以作为推理依据。 例：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 2. 定理 经过推理证实的真命题叫做定理。 特点：一定是真命题；可以作为继续推理、证明的依据； 定理都有逆命题，但逆命题不一定是逆定理，只有逆命题为真命题时，才是逆定理。 3. 公理（基本事实） 人们在长期实践中总结出来的公认正确的真命题，无需证明。 公理是所有推理的原始依据，是证明定理的基础。 常用公理：两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线段最短等。 4. 证明的概念与规范 根据已知的真命题（定义、公理、定理），一步步推出某个命题成立的过程叫做证明。 证明规范：每一步推理必有依据，依据写在每一步后面括号内。 5. 命题、定理、公理关系总结 ① 所有公理、定理都是真命题； ② 真命题不一定是定理、公理（未经证明的真命题不是定理）； ③ 假命题一定不是定理、公理。 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列说法属于定义的是（） A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等 C. 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角 D. 两直线平行，同位角相等 2. 下列关于定理的说法正确的是（） A. 定理可以是假命题 B. 定理不需要推理证明 C. 定理一定是真命题 D. 所有真命题都是定理 3. 下列属于公理（基本事实）的是（） A. 同角的余角相等 B. 两点确定一条直线 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，内错角相等 4. 判断下列说法错误的是（） A. 定义是真命题 B. 公理无需证明 C. 证明过程每一步都要有依据 D. 逆命题一定是逆定理 5. 可以作为推理证明依据的是（） ①定义 ②公理 ③定理 ④假命题 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 对名称和术语的含义作出描述和规定，叫做________。 2. 经过推理证实的真命题叫做________，公认正确无需证明的真命题叫做________。 3. 证明的每一步推理都必须有________，依据可以是定义、公理、定理。 4. “垂线段最短”属于________（填“公理”或“定理”）。 5. 定理一定是真命题，但真命题________（填“一定”或“不一定”）是定理。 6. 命题的逆命题为真，才能称为原定理的________。 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 区分下列语句是定义、公理还是定理： (1) 含有未知数的等式叫做方程 (2) 两点之间，线段最短 (3) 同角的补角相等 2. 判断正误，并说明理由： (1) 公理一定是真命题 (2) 定理的逆命题一定是真命题 (3) 可以举反例证明一个命题是假命题 3. 写出推理依据（填定义、公理或定理）： (1) 因为a、b两点之间，线段ab最短，依据：________ (2) 因为两个角是对顶角，所以两角相等，依据：________ (3) 有一个角是直角的三角形是直角三角形，依据：________ 4. 简单证明：求证“同角的余角相等”。 五、综合应用题（共 20 分） 1. 完整证明：对顶角相等。（写出已知、求证、证明过程及依据）（10 分） 2. 辨析说明：为什么“真命题不一定是定理”？举例说明。（10 分） --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 二、填空题 1. 定义 2. 定理；公理 3. 依据 4. 公理 5. 不一定 6. 逆定理 三、解答题 1. 解： (1) 定义 (2) 公理 (3) 定理 2. 解： (1) 正确。公理是长期实践总结、公认正确的真命题。 (2) 错误。定理的逆命题不一定为真，只有逆命题为真时才是逆定理。 (3) 正确。判断假命题只需举出一组反例即可推翻原命题。 3. 解： (1) 公理（两点之间线段最短） (2) 定理（对顶角相等） (3) 定义（直角三角形定义） 4. 证明： 已知：$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，$$\angle1+\angle3=90^\circ$$ 求证：$$\angle2=\angle3$$ 证明： $$\because \angle1+\angle2=90^\circ$$（余角定义） $$\therefore \angle2=90^\circ-\angle1$$（等式性质） $$\because \angle1+\angle3=90^\circ$$（余角定义） $$\therefore \angle3=90^\circ-\angle1$$（等式性质） $$\therefore \angle2=\angle3$$（等量代换） 四、综合应用题 1. 解： 已知：直线AB、CD相交于点O，$$\angle AOC$$与$$\angle BOD$$是对顶角。 求证：$$\angle AOC=\angle BOD$$ 证明： $$\because$$直线AB、CD相交于O（已知） $$\therefore \angle AOC+\angle AOD=180^\circ$$（平角定义） $$\angle BOD+\angle AOD=180^\circ$$（平角定义） $$\therefore \angle AOC=180^\circ-\angle AOD$$（等式性质） $$\angle BOD=180^\circ-\angle AOD$$（等式性质） $$\therefore \angle AOC=\angle BOD$$（等量代换） 2. 解： 定理的前提是经过推理证实的真命题，并非所有真命题都经过严格推理证明。 举例：“直角都相等”是真命题，但课本未将其列为定理，只能作为普通真命题使用，不能作为标准定理进行推理依据； 因此真命题范围更大，定理是特殊的真命题，故真命题不一定是定理。 本节易错点总结 1. 概念混淆：公理不用证、定理必须证、定义是双向判定依据，三者不能混用。 2. 逆定理误区：定理有逆命题，但逆命题为假时无逆定理，逆命题≠逆定理。 3. 依据乱写：证明每一步必须精准对应定义、公理、定理，不能主观臆造依据。 4. 真假范围误区：公理、定理⊂真命题，真命题不一定是定理、公理。 5. 定义判定错误：定义是对概念的解释，句式为“……叫做……”，区别于定理结论。 6. 证明格式不规范：缺少已知、求证、推理步骤、依据，步骤跳步扣分严重。 旧知复习 观察下面几个命题，哪些是真命题，哪些是假命题 (1)两点之间线段最短； (2)两点确定一条直线； (3)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (5)三角形的任意两边之和大于第三边； 一般地，能明确说明某一名称或术语的意 义的句子，叫作该名称或术语的定义 新知探究 基础定义 在数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做定理。 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。 注意：定理是命题，命题不一定是定理，而且定理是真命题。 典例分析 例1 . 下列语句中，属于定理的是（       ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 D 解析：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理 B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，命题是假命题，故不是定理 C、“内错角相等”缺少“两直线平行”，是假命题，故不是定理 D、同角的补角相等，是定理。 合作学习 通过观察，先猜想结论，再验证： 1. 如图所示，一组直线 a、b、c、d 是否互 相平行？ 2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2-3n+7的值分别是 7，5，5，7，11，17，它们都是质数，那么，命题“对于自然数 n，代数式 n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？ 同学们可以讨论一下 新知探究 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明 基础定义 思考 “证明三角形的内角和为180”．要求：已知和求证，并尝试证明． 新知探究 例2 . 证明三角形的内角和为180°．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点A作EF∥BC，如图， ∵EF∥BC ∴∠B=∠1，∠C=∠2 ∵∠1+∠BAC+∠2=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° 1 2 E F 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列属于定义的是( ). A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分 D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中，是基本事实的是______，是定理的是______.（填序号） ②⑤ ①③ 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.有下列描述：①过点A作直线AF∥ BC； ②两直线平行，同旁内角互补; ③垂直于同一直线的两条直线互相垂直. 其中是定理的有（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 如图，下列推理错误的是( ). A. ∵ ∠1 = ∠3，∴ a ∥ b B. ∵ a ∥ b，∴ ∠2 +∠3=180° C. ∵ ∠2 = ∠4，∴ a ∥ b D.∵ a ∥ b，∴∠2 +∠4=180° D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB = ∠COD，推理的依据是( ). A. 同角的补角相等 B. 同角的余角相等 C. 对顶角相等 D. 垂直的定义 B 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.下列说法中，错误的是____.(填序号) ①所有的定义都是命题； ②所有的基本事实都是命题； ③所有的定理都是命题； ④所有的命题都是定理. ④ 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.如图，有如下四个论断： ①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED. （1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题，正确的命题有哪些？ 解：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①. 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.如图，有如下四个论断： ①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED. （2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明. 解：已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA， 求证：EF平分∠BED. 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 证明：如图，∵AC∥ DE， ∴ ∠BCA =∠BED, 即∠1 +∠2 =∠4+∠5， ∵DC∥ EF，∴∠2 = ∠5，∴∠1=∠4. ∵CD平分∠BCA， ∴∠1 = ∠2，∴ ∠4 =∠5， ∴EF平分∠BED. 随堂练习 1. 下列属于定义的是( ) D A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分 2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同 旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是 定理的有( ) B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 中考考法 17 3.试说明“若 ， ， ，则 ”是真命题.以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为 , （已知）；③所以 ， （等式的性质）；④所以 （等量代换）；⑤所以 （等量代换）.正确的 顺序是____________. ②③①⑤④ 返回 中考考法 18 4. 下面是投影屏上出示的抢答题， 需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( ) 已知：如图， . 求证： . ___________________________ 中考考法 19 证明：延长交于点 ， 则 . 又 ， ， （ 相等，两直线平行）. A. 代表 B. 代表同位角 C. 代表 D. 代表 续表 √ . . . . . . . . 返回 中考考法 20 课堂小结 基本概念 定义：对数学概念本质属性的确切描述（如"平行线：同一平面内永不相交的两条直线"）。 公理：公认的真命题，无需证明（如"两点确定一条直线"）。 定理：经过逻辑推理证明为真的命题。 $