第三章 位置与坐标 单元自测 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第三章《位置与坐标》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．下列语句中，不能确定物体位置的是（     ） A．某影院第放映厅第排号座位 B．东经，北纬 C．王婷家在新华小区，住楼 D．象山港的北偏东，距离海里处 3．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．如图是雷达探测到的6个目标，若目标用表示，目标用表示，则用表示的目标是（     ） A．目标 B．目标 C．目标 D．目标 5．下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 6．信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（    ） A．当时，点是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为1 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 9．在如图所示的长方形中，动点从点出发，沿图中箭头所示的方向运动，每当碰到长方形的边时就会反弹．已知第次碰到边时的位置为点，第次碰到边时的位置为点，…，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义如下变换：将点的横坐标除以2，纵坐标除以2后再取相反数，得到点，则称点是点的半距点．以下说法正确的是（     ） ①若点，则点的半距点的坐标是； ②若点的半距点位于第四象限，则为正数，为负数； ③若点的半距点在轴上，则点也一定在轴上； ④若点的半距点到轴的距离与到轴的距离之和为3，则点到轴的距离与到轴的距离之和为6． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，描述点的位置：点在点的北偏东_______方向上处． 12．已知点与点关于轴对称，则______． 13．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 14．如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 15．如图，、、，，、两点分别在线段、轴上，则的最小值为________． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，这是学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，规定1个单位长度代表50米长．若实验楼的坐标为，艺术楼的坐标为． (1)请在图中找出平面直角坐标系的原点的位置后作出平面直角坐标系，并写出体育馆的坐标． (2)已知食堂的坐标为，若放学后小东从教学楼出发，沿示意图中的方格线行走到食堂吃饭，请问小东至少要走多少米到达食堂？ 18．如图，点在第一象限的角平分线上，点，且轴，点C在y轴上． (1)直接写出m，n的值； (2)若三角形的面积是，求点C的坐标． 19．已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 21．按要求完成下列各题： (1)如图，在图中画出关于x轴对称的；（图中网格每个小正方形的边长均为1） (2)在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，观察三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是_____； (3)猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是_____． 22．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 23．阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知，求C、D两点间的距离； (2)已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 24．【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 (1)如图1，若，则_____； (2)如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)如图1，若，求的面积； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 参考答案 一、选择题 1．B 解：∵点坐标为，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 2．C 解：A、在第1放映厅内，有排号、座位号两个数据，可以确定物体位置； B、东经，北纬，两个数据可以确定位置； C、只说明在新华小区8楼，缺少具体单元、室号等信息，无法唯一确定位置； D、给出方向和距离12海里两个数据，可以确定位置． 3．D 解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 4．A 解：根据题意可知，括号内左边的数代表点距中心点的距离，一个环代表10，括号内右边的度数则代表它们的方位， 因此代表的是目标A 5．C 解：A选项： ∵，， ∴，， ∴ 点横坐标为正，纵坐标为负，即点A在第四象限，原说法正确； B选项： 点到轴的距离为，原说法正确； C选项： ∵， ∴或， ∴点在轴或轴上，并非一定在轴上，原说法错误； D选项： ∵轴，， ∴点的横坐标为， ∵点在第一象限，， ∴点的纵坐标为，即，说法正确． 6．B 解：∵机器人，的坐标分别为，， ∴原点在点的左边个单位，下边个单位处． 建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知，点在轴正半轴个单位，轴负半轴个单位处， ∴机器人的坐标为． 7．A 解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．C 解：由已知得，点，，，因为轴，点纵坐标为，所以． 选项A：当时，，，，中点的横坐标为，因此点不是线段的中点，A错误． 选项B：线段的长度为，不是定值，随变化，因此B错误． 选项C：，．若，则，解得，只存在唯一一个满足条件，因此C正确． 选项D：若，则，可得或，解得或，有两个满足条件，因此D错误． 9．A 解：根据题图，依次写出每次碰到长方形边的点坐标： 起点：， 第1次碰撞：， 第2次碰撞：， 第3次碰撞：， 第4次碰撞：， 第5次碰撞：， 第6次碰撞：， 观察坐标可得：每6次碰撞为一个循环周期， 计算周期余数：余， 即第次碰撞，对应一个周期里第个位置， 故第2026次碰撞对应的坐标为． 10．C 解：① 若点，则半距点的横坐标为，纵坐标为， ∴半距点坐标为，故①正确； ② ∵点的半距点为，半距点位于第四象限， ∴，， 解得，，故②错误； ③ 设，则半距点的坐标为， ∵在轴上， ∴， 解得，即点的纵坐标为， ∴一定在轴上，故③正确； ④ 设，则半距点坐标为， 由题意得，整理得， ∴点到轴与轴的距离之和为，故④正确； 综上所述，①③④正确． 二、填空题 11．40 解：， ∴点在点的北偏东方向上处． 12． 解： 点与点关于轴对称， ，， ． 13． 解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 14． 解：由题意得，， 过点作轴于点，则， 由题意得，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 15．12 解：连接，如图所示： 根据三角形三边不等关系可知：，当点P、N、M三点共线时，取得最小值， ∵、两点分别在线段、轴上，， ∴当时，有最小值，如图， ∵、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为12． 16．或或 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 三、解答题 17．（1）解：平面直角坐标系如图所示，可知体育馆的坐标为； （2）解：食堂的位置如图所示， 可知小东至少要走4个单位长度到达食堂， ∵1个单位长度代表50米长， ∴小东至少要走米到达食堂． 18．（1）解：∵点在第一象限的角平分线上， ∴， ∵，轴，点， ∴； （2）解：设 ∵，， ∴， 由题意得，， 解得，或． ∴点C的坐标或． 19．（1）解：∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，，， 即， 解得： 20．（1）解：∵点是“完美点”， ∴， 或， 解得或； （2）解：∵点的长距为4，， ∴． 又∵点C在第四象限内， ∴， ， 解得， ， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 21．(1)解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求： 设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是； （3）解：猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是， 理由：设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是． 故答案为：． 22．（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 23．（1）解：根据给出的公式得， ∴C、D两点间的距离为； （2）解：∵M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为， ∴， ∴M、N两点间的距离为6； (3)解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴为等腰三角形． 24．（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； （3）解：存在点Q，使得是等腰直角三角形， 如图，当点Q在第二象限内时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 如图，当点Q在第三象限内时，过点作轴于，过点作交的延长线于， 同理， ∵， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点坐标为或． 25．（1）解：， ，，， ，，， ，， ， 的面积为； （2）， ，即， 解得或， 此时点的坐标为或； （3）①设，， 如图，过点作射线，则，，则， ， ，即， ， ； ②为定值， 设， ， ，即， ， ，即， ， 即为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $