第3章 位置与坐标 单元检测 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 2026年北师大版数学八年级上册“位置与坐标”单元提高卷，以科技（机器人）、文化（秧歌、象棋）为情境，覆盖坐标表示、对称、距离计算等核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，契合数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）、语言（模型意识）素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|坐标表示、象限判断、对称点|机器人移动、教室座位等情境化命题| |填空题|5/15|坐标轴点特征、最短路径|奶站选址问题渗透模型思想| |解答题|7/61|网格作图、新定义（长距/完美点）、动态对称|第19题“长距”概念创新，第20题“对应点”综合考查空间观念|

2026年北师大版数学八年级上册 位置与坐标 单元检测（提高） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．2025年央视春晚，宇树科技的人形机器人在节目《秧》中，它们将中国传统秧歌的韵味与现代机器人技术巧妙融合，呈现出令人震撼的视觉效果．如果用表示机器人从起点向右移动、向前移动，那么机器人从起点向左移动、向前移动可以表示是（　　） A． B． C． D． 2．教室里，小明，小亮，小红的位置如图所示，如果小明的位置用表示，小亮的位置用表示，则小红的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．点在x轴上 B．点在第二象限 C．若，则点在第一或第三象限 D．点到x轴的距离是2 4．点在第二象限内，到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标为(    ) A． B． C． D．) 5．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“卒”的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 7．点关于直线的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知点位于y轴上，则______ ． 10．已知点和关于x轴对称，则的值为_____． 11．平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 12．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____． 13．如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在轴，轴上，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标． （2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 15．如图是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是，艺术楼的位置是．    (1)根据题意画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出教学楼、体育馆的位置； (3)若学校行政楼的位置是，餐厅的位置是，在图中标出它们的位置． 16．如图，ABC是格点三角形． (1)在图中作出ABC关于直线l对称的（要求：A与，B与，C与相对应）； (2)在（1）的结果下，连接，，则的面积是______； (3)在对称轴上有一点P，当PBC的周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点（保留作图痕迹）． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 18．【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 20．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”． 已知顶点坐标为，，． (1)如图1，若点． ①由材料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________； ②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围： (2)若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________． 试卷第6页（共6页） 试卷第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学八年级上册 位置与坐标 单元检测（提高） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．2025年央视春晚，宇树科技的人形机器人在节目《秧》中，它们将中国传统秧歌的韵味与现代机器人技术巧妙融合，呈现出令人震撼的视觉效果．如果用表示机器人从起点向右移动、向前移动，那么机器人从起点向左移动、向前移动可以表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，用有序数对表示位置，根据向右为正，则向左为负，再根据表示方法进行表示即可． 【详解】解：∵表示机器人从起点向右移动、向前移动， ∴向左移动、向前移动可以表示为； 故选D． 2．教室里，小明，小亮，小红的位置如图所示，如果小明的位置用表示，小亮的位置用表示，则小红的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，根据小明与小亮的位置，建立平面直角坐标系，再结合坐标系即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵小明的位置用表示，小亮的位置用表示， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， ∴小红的位置可以表示为， 故选：A． 3．下列说法正确的是（　　） A．点在x轴上 B．点在第二象限 C．若，则点在第一或第三象限 D．点到x轴的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A和B涉及点的位置判断，选项C涉及时点的象限，选项D涉及点到x轴的距离计算． 【详解】解：∵点的y坐标不为0，∴点P不在x轴上，A错误； ∵点的纵坐标为0，∴点Q在x轴上，不在任何象限，B错误； ∵，∴a和b同号，点在第一或第三象限，C正确； ∵点到x轴的距离为，∴D错误． 故选：C． 4．点在第二象限内，到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标为(    ) A． B． C． D．) 【答案】B 【分析】本题考查各象限内点的坐标特点，点到坐标轴的距离．根据点的轴的距离等于纵坐标的绝对值，点的轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征即可解答． 【详解】解：点在第二象限内，到轴的距离是，到轴的距离是，那么点的坐标是 故选：B． 5．如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标确定位置．根据点A的坐标为，点的坐标为确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【详解】解：如图，      点B的坐标为． 故选：A． 6．如图是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用表示，“相”的位置用表示，那么“卒”的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，根据已知坐标建立平面直角坐标系， 则“卒”的位置可表示为． 7．点关于直线的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化：轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质求出对称点的横坐标，即可得解； 【详解】解：设点关于直线的对称点的坐标是， ， 解得：， 对称点的坐标是， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号． 观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：点可以看作周期运动，运动周期为4， ， ∴动点第2025次运动到点， 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．已知点位于y轴上，则______ ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征．根据坐标系中y轴上点的横坐标为0的特征，建立方程求解，即可作答． 【详解】解：∵点位于y轴上， ∴， 解得， 故答案为：． 10．已知点和关于x轴对称，则的值为_____． 【答案】1 【分析】该题主要考查了关于x轴对称的点的特征，代数式求值以及有理数乘方运算，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的特征． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选：1． 11．平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据坐标特征列方程求解即可得到结果． 【详解】解：直线与x轴平行， 直线上所有点的纵坐标相等， 即， 解得， 点M的横坐标为，纵坐标为1， ． 12．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____． 【答案】10 【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求． 【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP， ∵AP＝A'P， ∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小， ∵A（0，3）， ∴A'（0，﹣3）， ∵B（6，5）， 5-（-3）=8，6-0=6 ∴A'B＝=10， ∴P点到A、B的距离最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，，两点分别在轴，轴上，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】3或6 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、轴对称的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、三种情况，分别根据图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， 当为直角三角形时，分三种情况： 如图1：当时， ∵ ∴A、B、C三点共线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 当时，如图： ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，则， 与相矛盾，故不存在． 故答案为：3或6． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标． （2）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】（1）P（-12，0）；(2) ． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案； （2）根据点P到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，由点在第二象限，，化去绝对值得解方程求出，再代入求代数值可得． 【详解】（1）点在轴上， ∴， ∴， P（-12，0）； (2) 点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了点的坐标与象限，x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；点在象限注意横纵坐标的符号，利用到轴、轴的距离相等构造方程是解题关键． 15．如图是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是，艺术楼的位置是．    (1)根据题意画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出教学楼、体育馆的位置； (3)若学校行政楼的位置是，餐厅的位置是，在图中标出它们的位置． 【答案】(1) 依题意，建立如图所示平面直角坐标系： (2)教学楼的位置是，体育馆的位置是 (3)如图所示． 【分析】本题考查了坐标与图形的位置： （1）直接利用宿舍楼的位置是，艺术楼的位置是得出原点的位置进而可求解； （2）利用所建立的平面直角坐标系即可求解； （3）根据点的坐标的定义即可求解； 正确确定原点的位置是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）由图得：教学楼的位置是，体育馆的位置是． （3）略 16．如图，ABC是格点三角形． (1)在图中作出ABC关于直线l对称的（要求：A与，B与，C与相对应）； (2)在（1）的结果下，连接，，则的面积是______； (3)在对称轴上有一点P，当PBC的周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)4 (3) 如上图所示，点P即为所求 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接B1C，与直线l的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）△ABB1的面积是×4×2＝4， 故答案为：4； （3）如图所示，连接B1C，与直线l的交点P即为所求， PBC的周长=BC+CP+BP=BC+CP+B1P≥BC+B1C ∴当点C、P和点B1三点共线时，PBC的周长最小， 所以点P即为所求． 【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 【答案】(1)a的值是2，b的值是3 (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得a，b的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用． （1）根据非负数的性质得到，解方程即可得到a，b的值； （2）过点M作轴于点D．根据四边形面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当N在x轴负半轴上时，②当N在y轴负半轴上时，进行讨论得到点N的坐标． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 解得． 故a的值是2，b的值是3； （2）解：过点M作轴于点D． 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积． ∴， ①当N在x轴的负半轴上时， 设，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当N在y轴负半轴上时， 设，则， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 18．【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2) 解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； (3) 【分析】（1）过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，利用点的坐标的特征和勾股定理解答即可； （2）构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； （3）在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5； （2）略 （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关于x轴对称的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 19．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)4 (2)或 (3) 解：∵点在第二象限， ∴． ∵长距为4，且到y轴距离为， ∴到x轴距离． 即． 解得． ∴． ∴点D坐标为． ∴到x轴距离为5，到y轴距离为5，相等． 故点D是“完美点”． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ∴点A的“长距”为4． 故答案为：4． （2）解：∵点是“完美点”， ∴． ∴或． 解得：或． （3）略 20．在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”． 已知顶点坐标为，，． (1)如图1，若点． ①由材料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于的“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________； ②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围： (2)若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________． 【答案】(1)①，；②，， (2) 【分析】（1）①根据题目的新定义求解即可； ②根据新定义表达出和，再分三种情况讨论即可； （2）根据全等三角形的性质得出两种情况：和，运用勾股定理列出连之间的距离方程来求出两种情况的的坐标，再根据题目的新定义即可求出M的坐标． 【详解】（1）①将点关于直线对称得到点， 再将点关于直线对称得到点， 则点关于的“对应点”为， 将点关于直线对称得到点， 再将点关于直线对称得到点， 则点关于的“对应点”为， 故答案为：，； ②解：由上述可得点关于的“对应点”为， 点关于的“对应点”为． 线段与的边没有公共点有三种情况： 第一种情况：如图①，线段在上方， 此时只需，在轴上方， 即，解得； 第二种情况：如图②，线段在内部，此时只需在轴下方， 在点C上方 即， 解得； 第三种情况：如图③，线段在点下方， 此时只需在点下方， 即，解得； 综上所述，的取值范围是，，． （2）根据题意得，， ∵， 则要使恰与全等， 有两种情况，如下： 当时， 设为，则，， 解得和， ∴为和， 则由新定义可得M为和； 当时， 设为，则，， 解得和， 则由新定义可得M为和； ∴所有满足条件的点M的坐标：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的新定义，解决本题的关键是掌握“对应点”的定义和运用勾股定理表达出两点之间的距离进行求解． 试卷第18页（共19页） 试卷第1页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $