专题12弧长和扇形面积知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题12弧长和扇形面积知题通关讲义 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形的面积公式 1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S = R2，所以圆心角是1的扇形面积是，于是圆心角为n的扇形面积是S扇形 = ，还可以用弧长表示扇形面积S扇形 = lR，其中l为扇形的弧长． 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05圆锥的侧面积和全面积 1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3.圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4.圆锥的侧面积和全面积： 母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=rl．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=rl+r2． 5.圆锥展开扇形圆心角推导 设展开扇形圆心角为n 1. 计算弧长时漏除180，计算扇形面积时漏除360 提醒：角度制公式：弧长l=，扇形面积S=；不可直接写为l=nR、S=nR2。 2. 误将弧长当作半径代入计算公式 提醒：公式中R代表扇形所在圆的半径，不是弧长；需区分题干给出的是半径、直径还是弧长。 3. 扇形面积两公式条件错配代入 提醒：已知圆心角n、半径R，用S=；已知弧长l、半径R，用S=lR；不可把弧长l代入含n的公式。 4. 无已知条件时，目测估算圆心角大小 提醒：圆心角不能依靠视觉判断；应利用所占整体比例，通过n=360占比计算得到。 5. 代入圆锥侧面积公式，误用圆锥的高代替母线 提醒：母线是圆锥顶点至底面圆周上点的线段；母线、高、底面半径构成直角三角形；母线≠高，不能将高代入S侧=rl。 6. 错把圆锥展开扇形弧长等同于底面圆面积 提醒：圆锥侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆周长2r；不可与底面圆面积、底面半径混淆。 7. 计算圆锥全面积，遗漏底面圆的面积 提醒：圆锥全面积 = 侧面积 + 底面圆面积；求全面积时，不能只算出侧面积就作为最终结果。 8. 给弧长、扇形面积结果加注角度符号° 提醒：弧长是长度量，扇形面积是面积量，均无角度单位；角度符号仅用于圆心角。 9. 计算弓形面积固定套用同一种加减算式 提醒：劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 对应三角形面积；优弧弓形面积 = 扇形面积 + 对应三角形面积，必须区分弧的类型再运算。 10. 反求圆心角算出数值后，漏写角度符号° 提醒：通过弧长、面积公式算出的数值只是度数，最终圆心角结果必须标注°；公式运算时仅代入数字。 11. 圆沿图形滚动，直接用圆周长当作圆心路径长 提醒：圆在直线或多边形外侧滚动，经过顶点转角处会多出圆弧轨迹；圆心实际路径长不等于圆自身周长，不可直接套用。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★ 题型二 求扇形半径 ★ 题型三 求圆心角 ★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型五 求扇形面积 ★★ 题型六 求图形旋转后扫过的面积 ★★ 题型七 求弓形面积 ★★ 题型八 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型九 求圆锥侧面积 ★★ 题型十 求圆锥底面半径 ★★★ 题型十一 求圆锥的高 ★★★ 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★★ 题型十三 圆锥的实际问题 ★★★★ 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 求弧长 1．在半径为6的圆中，圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 3．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 题型二 求扇形半径 4．已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 6．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型三 求圆心角 7．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 10．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 11．将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 12．如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 题型五 求扇形面积 13．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 14．如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 15．如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 16．一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 17．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 18．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 题型七 求弓形面积 19．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 20．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 21．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型八 求其他不规则图形的面积 22．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 23．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 24．如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型九 求圆锥侧面积 25．已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 26．用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________． 27．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C．D． 题型九 求圆锥侧面积 28．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 29．用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 30．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 题型十一 求圆锥的高 31．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 32．数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 33．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 34．若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 35．如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 36．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十三 圆锥的实际问题 37．一个圆锥的底面圆的半径是，其侧面展开图的圆心角是．圆锥的母线长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 39．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 40．已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 41．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 42．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 2．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 3．如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 4．如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 5．综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 6．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12弧长和扇形面积知题通关讲义 知识点01：基础概念 弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。 符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。 知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用） 1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长） 2.常用变形（已知弧长反求量） 3.适用题型 弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。 知识点03：扇形的面积公式 1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S = R2，所以圆心角是1的扇形面积是，于是圆心角为n的扇形面积是S扇形 = ，还可以用弧长表示扇形面积S扇形 = lR，其中l为扇形的弧长． 知识点04：弓形面积计算（高频考点） · 劣弓形（弧为劣弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积 S弓=S扇-S△ · 优弓形（弧为优弧） 弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积 S弓=S扇+S△​ 补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。 知识点05圆锥的侧面积和全面积 1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3.圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4.圆锥的侧面积和全面积： 母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=rl．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=rl+r2． 5.圆锥展开扇形圆心角推导 设展开扇形圆心角为n 1. 计算弧长时漏除180，计算扇形面积时漏除360 提醒：角度制公式：弧长l=，扇形面积S=；不可直接写为l=nR、S=nR2。 2. 误将弧长当作半径代入计算公式 提醒：公式中R代表扇形所在圆的半径，不是弧长；需区分题干给出的是半径、直径还是弧长。 3. 扇形面积两公式条件错配代入 提醒：已知圆心角n、半径R，用S=；已知弧长l、半径R，用S=lR；不可把弧长l代入含n的公式。 4. 无已知条件时，目测估算圆心角大小 提醒：圆心角不能依靠视觉判断；应利用所占整体比例，通过n=360占比计算得到。 5. 代入圆锥侧面积公式，误用圆锥的高代替母线 提醒：母线是圆锥顶点至底面圆周上点的线段；母线、高、底面半径构成直角三角形；母线≠高，不能将高代入S侧=rl。 6. 错把圆锥展开扇形弧长等同于底面圆面积 提醒：圆锥侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆周长2r；不可与底面圆面积、底面半径混淆。 7. 计算圆锥全面积，遗漏底面圆的面积 提醒：圆锥全面积 = 侧面积 + 底面圆面积；求全面积时，不能只算出侧面积就作为最终结果。 8. 给弧长、扇形面积结果加注角度符号° 提醒：弧长是长度量，扇形面积是面积量，均无角度单位；角度符号仅用于圆心角。 9. 计算弓形面积固定套用同一种加减算式 提醒：劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 对应三角形面积；优弧弓形面积 = 扇形面积 + 对应三角形面积，必须区分弧的类型再运算。 10. 反求圆心角算出数值后，漏写角度符号° 提醒：通过弧长、面积公式算出的数值只是度数，最终圆心角结果必须标注°；公式运算时仅代入数字。 11. 圆沿图形滚动，直接用圆周长当作圆心路径长 提醒：圆在直线或多边形外侧滚动，经过顶点转角处会多出圆弧轨迹；圆心实际路径长不等于圆自身周长，不可直接套用。 题型 考察方向 难度 题型一 求弧长 ★ 题型二 求扇形半径 ★ 题型三 求圆心角 ★ 题型四 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型五 求扇形面积 ★★ 题型六 求图形旋转后扫过的面积 ★★ 题型七 求弓形面积 ★★ 题型八 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型九 求圆锥侧面积 ★★ 题型十 求圆锥底面半径 ★★★ 题型十一 求圆锥的高 ★★★ 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★★ 题型十三 圆锥的实际问题 ★★★★ 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 求弧长 1．在半径为6的圆中，圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，弧长为． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 3．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明为等边三角形，得出，进而得出优弧所对圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】由图可得， ，∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴优弧所对圆心角为， ∴优弧的长为． 故选：A． 题型二 求扇形半径 4．已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 5．埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 6．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 题型三 求圆心角 7．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 8．如图，将一根长为的铁丝，制成半径为的扇形，则这个扇形的圆心角是________． 【答案】/60度 【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可． 【详解】解：设圆心角是，由题意，得， 解得， ∴这个扇形的圆心角是． 9．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 题型四 求某点的弧形运动路径长度 10．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 根据弧长计算公式，计算即可． 【详解】解：端点A移动的路径长， 故选：C． 11．将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ． 12．如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 于点，于点， 四边形是矩形， 又点为的中点， 点为的中点， 则， 点走过的路径长． 故选：A． 题型五 求扇形面积 13．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知扇形的半径和圆心角，可直接利用扇形面积公式计算结果，再选出正确选项.用到的扇形面积公式为，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：由题意得，该扇形的半径，圆心角， 代入扇形面积公式得． 14．如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． 15．如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据直角三角形的性质可得，，即旋转角为．根据即可求出阴影部分的面积．本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质和扇形的面积．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．扇形的面积，其中n表示圆心角的度数，r表示扇形的半径． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据旋转的性质可得，， ∴ ． 题型六 求图形旋转后扫过的面积 16．一个时钟的时针长8cm，从下午1∶00到2∶30，时针扫过的面积是______． 【答案】 【分析】先求出从下午到时针转过的圆心角度数，确定扇形的半径，再代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵时针每小时转过的度数为， 从下午到，经过小时， ∴时针转过的圆心角为． ∵时针长为扇形的半径，即， ∴ （）． 17．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 18．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 题型七 求弓形面积 19．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积求解即可． 【详解】由题意得，， 弓形的面积=扇形OAB的面积-的面积 故选：A． 【点睛】本题考查弓形的面积，牢记弓形的面积等于扇形面积减去三角形面积是解题的关键． 20．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 21．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 题型八 求其他不规则图形的面积 22．甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 【答案】C 【分析】本题考查不规则图形的面积，根据组合图形的关系，得出阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积是解决此题的关键． 甲图为正方形面积减去一个圆的面积；乙图为正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积，即可解答． 【详解】解：图甲的阴影部分的面积为：正方形面积减去一个圆的面积； 图乙的阴影部分面积为：正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积， 所以甲乙阴影部分的面积一样大， 故选：C． 23．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于长方形面积减去和的面积，根据已知比例关系，将转化为长方形长和宽的分数倍，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：四边形是长方形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．如图，以为直径作半圆，点C在半圆O上，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是半圆O的直径，所以，与等底等高，即面积相等，所以求阴影部分的面积转换为求扇形的面积，因为与是劣弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理得，是的邻补角，求出，即扇形的圆心角，再利用扇形的面积公式，即可求出． 【详解】解：是半圆O的直径， ， 与等底等高，面积相等， ， 与是劣弧所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ． 题型九 求圆锥侧面积 25．已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 26．用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________． 【答案】 【分析】扇形半径直接作为圆锥母线，直接代入扇形面积公式，得到圆锥侧面积． 【详解】解：由题意可知，扇形纸板的半径就是圆锥的母线长，即，圆心角． ∵圆锥的侧面积等于扇形纸板的面积． ∴． 27．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 【详解】解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 题型九 求圆锥侧面积 28．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 29．用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． 30．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 题型十一 求圆锥的高 31．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：∵半圆的半径， ∴半圆的弧长为， ∴圆锥的底面周长为 设圆锥底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 32．数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 33．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 阴影扇形的弧长，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， 圆锥底面圆的周长为，设圆锥底面半径为，则， 解得； 圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的高 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 34．若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角度数，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面周长，利用弧长公式列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设圆心角度数为． ∵ 圆锥底面周长， 扇形弧长 ， ∴，解得． 故圆心角的度数为． 故选D． 35．如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】/180度 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，利用弧长公式建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ， 解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 36．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 题型十三 圆锥的实际问题 37．一个圆锥的底面圆的半径是，其侧面展开图的圆心角是．圆锥的母线长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长的关系建立方程求解． 【详解】设圆锥的母线长为 ， ∵ 圆锥底面半径 ， ∴ 底面周长 ， ∵ 扇形圆心角 ， ∴ 扇形弧长 ， 又 ∵ 扇形弧长 = 底面周长， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长是解题关键． 38．湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 39．如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 题型十四 圆锥侧面上最短路径问题 40．已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 41．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 /3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 42．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 解答题 1．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 2．如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识， （1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可； （2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得， 解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 3．如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，点C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (2)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、图形旋转的性质、反比例函数的解析式以及扇形面积的计算，解题的关键是确定旋转后点的坐标，并利用旋转性质将阴影面积转化为两个扇形面积的差． （1）先求出、、的坐标，再根据旋转的性质求出点的坐标，最后代入反比例函数解析式求； （2）阴影部分的面积等于以为圆心、为半径的扇形面积减去以为圆心、为半径的扇形面积，利用扇形面积公式计算． 【详解】（1）解：在中， 当时，，解得，故； 当时，，故 ∵点为线段的中点， ∴． 将绕点顺时针旋转得到，作，垂足为点， ∵， ∴， ∴，， 故． ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵，，旋转角为， 通过下图所示的割补法可知： ∴阴影部分的面积 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，为的直径，点为上一点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解k值即可； （2）如图，连接．先利用坐标与图形性质求得，由求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，连接． ． 为的直径， ， ， ． 5．综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2) 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 6．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $