专题10过三点作圆知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题10过三点作圆知题通关讲义 知识点01：基础回顾：过一点、两点作圆 1. 过一个已知点 A 作圆 画法：任取异于 A 的点作为圆心，圆心到 A 的距离为半径画圆 结论：过一点可以作无数个圆 2. 过两个已知点 A、B 作圆 圆心要求：圆心到 A、B 距离相等，因此圆心在线段AB的垂直平分线上 结论：过两点可以作无数个圆 知识点02：过不在同一直线上的三点作圆 1. 定理 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 解读： “确定”= 有且只有一个圆； 关键前提：三点不能共线，若三点在一条直线上，则无法画出同时经过三点的圆。 2. 作图步骤（必考操作题） 已知：不在同一直线上三点A、B、C (1)连接AB、BC； (2)分别作线段AB、BC的垂直平分线； (3)两条垂直平分线交于一点O； (4)以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径画圆，⊙ O即为所求。 3. 相关概念 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 三角形的外心：外接圆的圆心，即三角形三条边垂直平分线的交点； 圆的内接三角形：三个顶点都在同一个圆上的三角形。 4. 外心核心性质 ① 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径； ② 外心位置与三角形形状对应： 知识点03：外心的位置规律（表格总结，板书高频） 核心推论：直角三角形外接圆半径 R=斜边长度。 知识点04：反证法（本节必考新方法） 1. 适用命题 证明：在同一直线上的三个点不能作圆（定理逆命题） 2. 反证法标准三步流程 假设：假设原命题结论不成立； 推理：从假设出发推导，得出与已知公理、定理、条件矛盾的结果； 结论：由矛盾判定假设错误，原命题成立。 完整证明示例 求证：过同一直线上三点不能作圆 （1）假设：过直线l上三点A、B、C可以作圆，圆心为O； （2）推导：OA=OB=OC，则O既在AB垂直平分线上，又在BC垂直平分线上；两条垂直平分线都垂直于l，过一点O有两条直线垂直l，与 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 矛盾； （3）结论：假设不成立，故共线三点无法作圆。 1. 认为任意三点都可以确定一个圆 提醒：只有不在同一直线上的三点，才能确定唯一的圆；三点共线时，不存在同时经过这三点的圆。 2. 曲解“三点确定一个圆”的含义 提醒：“不在同一直线上的三点确定一个圆”，指满足条件时有且仅有一个圆经过这三点；并非这三个点就是圆心。 3. 默认三角形外心一定位于三角形内部 提醒：外心为三角形三边垂直平分线的交点；锐角三角形外心在形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在形外。 4. 混淆外心与内心的交点来源 提醒：外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等；内心是三条角平分线的交点，到三条边距离相等，二者不可混用。 5. 误认为经过两点只能作出一个圆 提醒：经过两点可作无数个圆，所有圆心均在这两点连线的垂直平分线上。 6. 错误认为外心到三角形三边距离相等 提醒：外心的性质是到三个顶点距离相等；到三边距离相等的是内心，性质不可颠倒。 7. 求外心时，作出垂线而非垂直平分线 提醒：两条边的垂直平分线交点才是外心；仅作边的垂线，不一定经过边的中点，所得交点不能作为外接圆圆心；网格计算后建议核验到顶点的距离。 8. 认为一个三角形存在多个外接圆 提醒：任意三角形有且只有一个外接圆；同一个圆可以存在无数个内接三角形。 9. 颠倒外接圆与内接三角形的名称 提醒：顶点都在圆上的三角形，叫作该圆的内接三角形；这个圆叫作该三角形的外接圆，称谓不可互换。 10. 认为任意四边形的四个顶点都可以共圆 提醒：并非所有四边形都有外接圆；只有对角互补等满足共圆条件时，四个顶点才落在同一个圆上。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形外接圆的概念辨析 ★ 题型二 求三角形外心坐标 ★★ 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 ★★ 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 ★★ 题型六 判断确定圆的条件 ★ 题型七 确定圆心 ★★ 题型八 求能确定的圆的个数 ★★ 题型九 画圆 ★★ 题型十 反证法证明中的假设 ★★ 题型十一 用反证法证明命题 ★★★ 题型十二 举反例 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形外接圆的概念辨析 1．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 2．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 3．如图，是的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型二 求三角形外心坐标 4．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 6．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 7．如图，在中，．若外接圆的半径为2，则________． 8．如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是___________． 9．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 11．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 12．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 13．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 14．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 15．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C．D． 16．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型六 判断确定圆的条件 17．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定__个不同的圆． 18．下列条件不一定能确定一个圆的是（   ） A．圆心与半径 B．三角形的三个顶点 C．直径 D．平面上的三个已知点 19．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（ ） A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4 20．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值_________． 题型七 确定圆心 21．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 22．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 题型八 求能确定的圆的个数 24．已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 25．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 26．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九 画圆 27．如图，圆规是我们必不可少的学习用具．利用圆规，可以画出许多漂亮的图形，用数学知识解释为_________． 28．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 29．如图，已知，请用尺规作图法作，使与直线 相切且圆心在射线上．(保留作图痕迹，不写作法) 题型十 反证法证明中的假设 30．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 31．已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 32．用反证法证明“在中至多有一个直角或钝角”时，应假设______． 33．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 题型十一 用反证法证明命题 34．用反证法证明命题“一个三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中（     ） A．最多有一个锐角 B．至少有两个锐角 C．至少有两个钝角 D．最多有一个直角 35．关羽、张飞、刘备举行了一场赛马比赛，赛后关羽对众人说：“我第一，”张飞说：“我第二，”刘备说：“我不是第一，”他们中仅有一个说了谎，那么第二名是______． 36．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 题型十二 举反例 37．说明一个命题是假命题一般可以举一个____________． 38．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 39．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 40．下列各数中可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C．   D． 解答题 1．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 2．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 4．阅读下列材料，完成相应问题． 我们知道，有理数都可以写成（p，q为互质整数，）的形式；不能写成这种形式的实数称为无理数． 下面给出证明“某数是无理数”的一种经典思路（反证法）： 先假设它是有理数，再推出与“p，q互质”矛盾，从而假设不成立． 以证明为无理数为例，过程如下： 假设（m，n为互质正整数）， 平方得，整理得①______， 因为n是正整数， 所以是偶数，可得m必为偶数． 设（k为正整数），代入①所在的等式，整理得②______， 所以也是偶数，可得n也是偶数， 这与“m，n互质”矛盾，故是无理数． (1)填空：写出①，②对应的式子：①______，②______； (2)类比应用：请运用上述思想方法，证明：是无理数． 5．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)经过A、B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点P的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线上方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点G（点G在对称轴的右侧），判断直线与抛物线公共点个数，并说明理由 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10过三点作圆知题通关讲义 知识点01：基础回顾：过一点、两点作圆 1. 过一个已知点 A 作圆 画法：任取异于 A 的点作为圆心，圆心到 A 的距离为半径画圆 结论：过一点可以作无数个圆 2. 过两个已知点 A、B 作圆 圆心要求：圆心到 A、B 距离相等，因此圆心在线段AB的垂直平分线上 结论：过两点可以作无数个圆 知识点02：过不在同一直线上的三点作圆 1. 定理 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 解读： “确定”= 有且只有一个圆； 关键前提：三点不能共线，若三点在一条直线上，则无法画出同时经过三点的圆。 2. 作图步骤（必考操作题） 已知：不在同一直线上三点A、B、C (1)连接AB、BC； (2)分别作线段AB、BC的垂直平分线； (3)两条垂直平分线交于一点O； (4)以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径画圆，⊙ O即为所求。 3. 相关概念 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 三角形的外心：外接圆的圆心，即三角形三条边垂直平分线的交点； 圆的内接三角形：三个顶点都在同一个圆上的三角形。 4. 外心核心性质 ① 外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆半径； ② 外心位置与三角形形状对应： 知识点03：外心的位置规律（表格总结，板书高频） 核心推论：直角三角形外接圆半径 R=斜边长度。 知识点04：反证法（本节必考新方法） 1. 适用命题 证明：在同一直线上的三个点不能作圆（定理逆命题） 2. 反证法标准三步流程 假设：假设原命题结论不成立； 推理：从假设出发推导，得出与已知公理、定理、条件矛盾的结果； 结论：由矛盾判定假设错误，原命题成立。 完整证明示例 求证：过同一直线上三点不能作圆 （1）假设：过直线l上三点A、B、C可以作圆，圆心为O； （2）推导：OA=OB=OC，则O既在AB垂直平分线上，又在BC垂直平分线上；两条垂直平分线都垂直于l，过一点O有两条直线垂直l，与 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 矛盾； （3）结论：假设不成立，故共线三点无法作圆。 1. 认为任意三点都可以确定一个圆 提醒：只有不在同一直线上的三点，才能确定唯一的圆；三点共线时，不存在同时经过这三点的圆。 2. 曲解“三点确定一个圆”的含义 提醒：“不在同一直线上的三点确定一个圆”，指满足条件时有且仅有一个圆经过这三点；并非这三个点就是圆心。 3. 默认三角形外心一定位于三角形内部 提醒：外心为三角形三边垂直平分线的交点；锐角三角形外心在形内，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在形外。 4. 混淆外心与内心的交点来源 提醒：外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等；内心是三条角平分线的交点，到三条边距离相等，二者不可混用。 5. 误认为经过两点只能作出一个圆 提醒：经过两点可作无数个圆，所有圆心均在这两点连线的垂直平分线上。 6. 错误认为外心到三角形三边距离相等 提醒：外心的性质是到三个顶点距离相等；到三边距离相等的是内心，性质不可颠倒。 7. 求外心时，作出垂线而非垂直平分线 提醒：两条边的垂直平分线交点才是外心；仅作边的垂线，不一定经过边的中点，所得交点不能作为外接圆圆心；网格计算后建议核验到顶点的距离。 8. 认为一个三角形存在多个外接圆 提醒：任意三角形有且只有一个外接圆；同一个圆可以存在无数个内接三角形。 9. 颠倒外接圆与内接三角形的名称 提醒：顶点都在圆上的三角形，叫作该圆的内接三角形；这个圆叫作该三角形的外接圆，称谓不可互换。 10. 认为任意四边形的四个顶点都可以共圆 提醒：并非所有四边形都有外接圆；只有对角互补等满足共圆条件时，四个顶点才落在同一个圆上。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形外接圆的概念辨析 ★ 题型二 求三角形外心坐标 ★★ 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 ★★ 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 ★★ 题型六 判断确定圆的条件 ★ 题型七 确定圆心 ★★ 题型八 求能确定的圆的个数 ★★ 题型九 画圆 ★★ 题型十 反证法证明中的假设 ★★ 题型十一 用反证法证明命题 ★★★ 题型十二 举反例 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 三角形外接圆的概念辨析 1．对于三角形的外心，下列说法错误的是（     ） A．它到三角形三个顶点的距离相等 B．它到三角形三个顶点的连线平分三内角 C．它到任意一顶点的距离等于这三角形的外接圆的半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 【答案】B 【分析】根据三角形外心的定义和其性质逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以外心到三角形三个顶点的距离相等，故选项A正确，该选项不符合题意； B、到三角形三个顶点的连线平分三内角的是内心，不是外心，故选项B错误，该选项符合题意； C、三角形的外心即外接圆的圆心，三角形三个顶点都在外接圆上，所以外心到任一顶点的距离等于这个三角形的外接圆的半径，故选项C正确，该选项不符合题意； D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以它到三角形三个顶点的距离相等，则以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点，故选项D正确，该选项不符合题意． 2．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 3．如图，是的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的性质可知，根据三角形内角和定理可知，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：是的外接圆， ， ， ， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ． 故选：C． 题型二 求三角形外心坐标 4．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 6．如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 题型三 求特殊三角形外接圆的半径 7．如图，在中，．若外接圆的半径为2，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形外接圆的有关知识，熟练掌握直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半是解决本题的关键． 利用外接圆的半径是斜边的一半，据此求解即可． 【详解】解：的外接圆的半径为斜边长的一半， ． 故答案为：4． 8．如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理和的余弦值即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 9．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 题型四 已知外心的位置判断三角形的形状 11．点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 12．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 13．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】B 【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积． 【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE， ∵点E是△ABC的外心， ∴AE=BE=CE， ∴△ABE，△ACE是等腰三角形， ∵点P、Q分别是AB、AC的中点， ∴PE⊥AB，QE⊥AC， ∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC， ∴AF=BF=10， AD=CD=8， 在△ADF中，∵， ∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°， ∴S△ABC= ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形． 题型五 判断三角形外接圆的圆心位置 14．三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. 15．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 16．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 题型六 判断确定圆的条件 17．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定__个不同的圆． 【答案】5 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 18．下列条件不一定能确定一个圆的是（   ） A．圆心与半径 B．三角形的三个顶点 C．直径 D．平面上的三个已知点 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件，圆心与半径、直径、三角形的三个顶点均能唯一确定一个圆，但平面上的三个已知点若共线则无法确定圆． 【详解】A、给定圆心和半径能唯一确定圆，不符合题意； B、三角形的三个顶点不共线，能确定唯一外接圆，不符合题意； C、直径能确定圆心和半径，不符合题意； D、平面上的三个已知点可能共线，此时无法确定圆，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查确定圆的条件，关键是理解不共线的三点才能确定一个圆． 19．如图，半圆O的半径长为5，点P为直径AB上的一个动点，已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD=4，M是CD的中点，则PM的值有（ ） A．最小值5 B．最小值4 C．最大值5 D．最大值4 【答案】C 【分析】连接OM，OC，由垂径定理的推论可知OM⊥CD，从而由∠CPO=∠OMC=90°，可知点P，O，M，C四点共圆，PM为此圆的弦，因此当弦为直径时取最大值． 【详解】解：连接OM，OC， ∵点M是CD的中点， ∴OM⊥CD， ∵CP⊥AB， ∴∠CPO=∠OMC=90°， ∴点P，O，M，C四点共圆，OC是圆的直径，设圆心为I ∴当点M，P，I三点共线时即PM是圆的直径时，即PM=OC=5时，PM的值最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆中的最值问题，把PM的长转化为圆中弦的最值问题是解题的关键． 20．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值_________． 【答案】2 【分析】本题考查隐圆问题，直角三角形斜边中线的性质．取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 题型七 确定圆心 21．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 22．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤： ①连接和； ②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C； ③以点O为圆心，为半径作； ④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O． 正确操作步骤的排列序号为______． 【答案】②①④③ 【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案． 【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③． 故正确的操作步骤是②①④③． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 题型八 求能确定的圆的个数 24．已知，则过点，，且半径为的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的几何性质，过两点、的圆的圆心必在线段的垂直平分线上，且到、的距离等于半径，据此即可求解． 【详解】解：∵半径为的圆的直径为， ∴过点，，且半径为的圆没有 故选：A． 25．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 26．平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n个圆，那么n的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三点在一直线上时；③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时；分别画出图形讨论即可． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，    ②当三点在一直线上时，如图2    分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即， ③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，    分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时， 即n不能是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定一个圆的条件，正确分类、熟知不共线的三点确定一个圆是解题的关键． 题型九 画圆 27．如图，圆规是我们必不可少的学习用具．利用圆规，可以画出许多漂亮的图形，用数学知识解释为_________． 【答案】点动成线 【分析】根据“点、线、面、体”的关系，分析圆规画图时“点”的运动与“线”的形成之间的联系. 【详解】解：圆规在画图时，其中一脚可看作一个定点，另一脚（带有笔尖的脚）绕着这个定点运动，笔尖这个点的运动轨迹形成了线（如圆弧等图形），用数学知识解释为点动成线. 故答案为：点动成线. 【点睛】本题考查了点、线、面、体的关系，解题关键是理解“点动成线”的数学原理，即点的运动可以形成线. 28．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 29．如图，已知，请用尺规作图法作，使与直线 相切且圆心在射线上．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【分析】根据切线的性质，作点到直线的垂线即可． 【详解】解：如图，为所求．   题型十 反证法证明中的假设 30．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 【答案】三角形三个内角都小于 【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．据此解答即可． 【详解】解：用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设三角形三个内角都小于． 31．已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设待证结论不成立，即假设结论的反面成立，据此即可确定答案． 【详解】解：本题要证明的结论是，其反面为， ∴ 应首先假设． 32．用反证法证明“在中至多有一个直角或钝角”时，应假设______． 【答案】在中最少有两个直角或钝角 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“在中至多有一个直角或钝角”时第一步应假设：在中最少有两个直角或钝角， 故答案为：在中最少有两个直角或钝角． 【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 33．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 题型十一 用反证法证明命题 34．用反证法证明命题“一个三角形中至少有两个锐角”时，首先应假设这个三角形中（     ） A．最多有一个锐角 B．至少有两个锐角 C．至少有两个钝角 D．最多有一个直角 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需找出原命题结论的否定即可． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设结论不成立． ∵“至少有两个锐角”表示三角形中锐角的个数大于或等于2，它的否定是锐角的个数小于2，即最多有一个锐角． ∴应假设这个三角形中最多有一个锐角． 35．关羽、张飞、刘备举行了一场赛马比赛，赛后关羽对众人说：“我第一，”张飞说：“我第二，”刘备说：“我不是第一，”他们中仅有一个说了谎，那么第二名是______． 【答案】刘备 【分析】本题运用假设法进行逻辑推理，依次假设三人中仅有一人说谎，其余两人说真话，验证推出的结果是否存在矛盾，排除矛盾情况即可得到正确结论． 【详解】解：分三种情况讨论： 假设关羽说谎，即关羽不是第一名，张飞、刘备说真话，则张飞是第二名，刘备不是第一名，此时没有选手获得第一名，推出矛盾，该假设不成立． 假设张飞说谎，即张飞不是第二名，关羽、刘备说真话，则关羽是第一名，刘备不是第一名，符合题意，此时张飞是第三名，刘备是第二名，该假设成立． 假设刘备说谎，即刘备是第一名，关羽、张飞说真话，则关羽是第一名，同时出现两个第一名，推出矛盾，该假设不成立． 综上，第二名是刘备． 36．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在中，．求证：． ②无论哪种情况，都与已知矛盾． ③因此假设都不成立，所以． ④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________． 【答案】①④②③ 【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此即可解答． 【详解】解：如图，已知：在中，．求证：． 假设，；假设，； 无论哪种情况，都与已知矛盾． 因此假设都不成立，所以． 题型十二 举反例 37．说明一个命题是假命题一般可以举一个____________． 【答案】反例 【分析】本题考查命题的相关概念，掌握判定假命题的常用方法即可解题． 【详解】解：判断一个命题是假命题时，只需举出一个满足命题题设，但不满足命题结论的例子，该例子称为反例． 因此说明一个命题是假命题一般可以举一个反例． 38．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 【答案】 2（不唯一） （不唯一） 【详解】解：取，， 此时，，满足， 但，即不满足， 因此，可说明该命题是假命题，答案不唯一． 39．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 40．下列各数中可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C．   D． 【答案】B 【分析】根据选取的a的值符合题设，但不满足结论即可作为反例，由此即可解答． 【详解】解：当时，不符合，故不可判定命题“若，则”是假命题，A不符合题意； 当时，，但，即可判定命题“若，则”是假命题，B符合题意； 当时，， ，即不可判定命题“若，则”是假命题，C不符合题意； 当时，， ，即不可判定命题“若，则”是假命题，D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，掌握反例的特征是解题的关键． 解答题 1．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1) 如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 2．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 4．阅读下列材料，完成相应问题． 我们知道，有理数都可以写成（p，q为互质整数，）的形式；不能写成这种形式的实数称为无理数． 下面给出证明“某数是无理数”的一种经典思路（反证法）： 先假设它是有理数，再推出与“p，q互质”矛盾，从而假设不成立． 以证明为无理数为例，过程如下： 假设（m，n为互质正整数）， 平方得，整理得①______， 因为n是正整数， 所以是偶数，可得m必为偶数． 设（k为正整数），代入①所在的等式，整理得②______， 所以也是偶数，可得n也是偶数， 这与“m，n互质”矛盾，故是无理数． (1)填空：写出①，②对应的式子：①______，②______； (2)类比应用：请运用上述思想方法，证明：是无理数． 【答案】(1)①，② (2) 证明：假设（a，b为互质正整数）， 平方得，整理得， 因为b是正整数， 所以是7的倍数，可得正整数a必为7的倍数． 设（z为正整数），代入， 整理得， 所以也是7的倍数，可得正整数b也是7的倍数， 这与“a，b互质”矛盾，故是无理数． 【分析】（1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：假设（m，n为互质正整数）， 平方得，整理得， 因为n是正整数， 所以是偶数，可得m必为偶数． 设（k为正整数），代入①所在的等式，整理得， 所以也是偶数，可得n也是偶数， 这与“m，n互质”矛盾，故是无理数； （2）略 5．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)经过A、B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点P的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线上方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点G（点G在对称轴的右侧），判断直线与抛物线公共点个数，并说明理由 【答案】(1) (2)或 (3) 与抛物线只有一个交点，理由如下： 如图，由题意，得：，过点作于点，连接，设，    则：， ∴，，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：， 解得：， ∴， 令， 整理，得：， ∴， ∴直线与抛物线只有一个交点． 【分析】（1）分别令，，求出三个点的坐标即可； （2）易得点在抛物线的对称轴上，，推出为等腰直角三角形，设出点坐标，分两种情况，过点作对称轴，证明，求出点坐标，代入函数解析式进行求解即可； （3）过点作于点，连接，设，进而得到，在中，利用勾股定理求出和的关系式，进而求出的解析式，令，利用根与系数的关系进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线：， ∵经过点， ∴点在的中垂线上，即点在抛物线的对称轴上，设对称轴与轴交于点，则：， ∵交抛物线于点D（点D在对称轴右侧）， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形， 设点， 当点在轴下方时：过点作，则：，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴； 当点在轴上方时：    同理可得：， ∴， 解得：（舍去）； ∴； 综上：或． （3）略． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合应用，涉及等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆的确定，勾股定理，根的判别式等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $