20.2(4) 二次根式的运算-课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次根式的运算，涵盖加减（合并同类二次根式）、乘除（除法法则、分母有理化）及混合运算，通过回顾运算步骤搭建支架，衔接后续代数式求值、解方程与不等式等综合应用。 其亮点在于以问题引导（如“包含哪些运算”）和错误示例分析，结合例9用整式乘法公式、例10整体代入法，培养学生运算能力与推理意识，小结系统归纳方法，助力学生提升数学思维，教师可依托分层例题优化教学。

第20章 二次根式 20.2 二次根式的运算 二次根式的运算（4） 年 级：八 年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 二次根式的乘法 二次根式的除法 课堂引入 二次根式的乘除 二次根式的加减 二次根式的运算 合并同类二次根式 ②分母有理化 混合运算 二次根式加减的一般步骤： ①把各个二次根式化成 最简二次根式； ②把同类二次根式分别合并. 分母有理化的一般步骤： ①确定分母的有理化因式； ②分子分母都乘这个有理化因式； ③计算结果要化成最简二次根式. 乘法法则： ①除法法则： 2 （1） （2） 例题讲解 计算： 解 例 9 这个代数式包含了哪些运算？ 实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 3 （1） （2） 例题讲解 计算： 解 例 9 怎么进行二次根式的除法？ 分母有理化 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 草稿本 例题讲解 计算： 解 例 9 （1） （2） 注意：括号前带“”号，去括号时括号内各项都要改变符号. 分母有理化的一般步骤： ①确定分母的有理化因式； ②分子分母都乘这个有理化因式； ③计算结果要化成最简二次根式. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 5 例题讲解 计算： 解 例 9 （1） （2） 归纳 （1）实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用. （2）可以利用分母有理化进行二次根式的除法，最终结果化为最简二次根式. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 6 例题讲解 解 计算： 例 9 （1） （2） 这个代数式包含了什么运算？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 7 例题讲解 解 计算： 例 9 （1） （2） 完全平方公式 你能联想到整式乘法运算中的哪一个公式？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 例题讲解 解 计算： 例 9 （1） （2） 你能联想到在整式运算中的哪一个乘法公式？ 归纳 整式的乘法公式在二次根式乘法运算中仍然适用. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 课堂练习 变式 计算： 解 平方差公式 整式的乘法公式除了完全平方公式之外，还有其他公式吗？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 例题讲解 已知 ，求 的值. 解 例 10 直接代入 还有其它解法吗？ 草稿本 最终结果化为最简二次根式. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 11 例题讲解 已知 ，求 的值. 解 因为 ，所以 . 例 10 整体代入 代入 的值 分母有理化 分子能不能构造出含 的代数式？ 草稿本 最终结果化为最简二次根式. 转化 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 12 把 代入式中再进行计算，这是常用的方法，而把 看作整体，用 代入再计算，可以使计算简便. 例题讲解 已知 ，求 的值. 例 10 哪一种更为简便 ？ 归纳 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 13 课堂练习 解 化简 的值 转化 代入 的值 分母有理化 已知 求 的值. 例 10 变式 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 14 当 的值可以化简时，可以先将 化简为最简二次根式，再代入求值，使得计算更为简便. 课堂练习 已知 ，求 的值. 变式 解 化简 的值 归纳 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 解方程： . 例 11 这是什么方程 ？ 一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤是什么？ 先通过移项、合并同类项将方程转化为ax=b的形式； 再利用等式性质2，将未知数的系数化为1. 例题讲解 一元一次方程的系数扩充到了实数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 解一元一次方程的一般步骤 解方程： . 所以原方程的解是 例 11 解 移项 系数化为1 分母有理化 先通过移项、合并同类项将方程转化为ax=b的形式； 再利用等式性质2，将未知数的系数化为1. 例题讲解 归纳 等式性质在实数范围依然适用； 最终结果化为最简二次根式. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 17 这是什么不等式 ？ 一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是什么？ 例题讲解 解不等式： . 例 12 解一元一次不等式的一般步骤： （1）化简不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项）成； （2）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 一元一次不等式的系数扩充到了实数. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 18 例题讲解 解不等式： . 例 12 解 他的过程正确吗？ 所以原不等式的解集是 移项、合并同类项 注意：不等式两边同除以一个负数，不等号的方向改变. 不等式性质3 改正： ...... 最终结果化为最简二次根式. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 19 例题讲解 解不等式： . 例 12 解 因为 ，所以 又 他的过程正确吗？ 草稿本 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 20 例题讲解 解不等式： . 例 12 解 因为 ，所以 又 他的过程正确吗？ 所以原不等式的解集是 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 21 例题讲解 归纳 （1）不等式的性质在实数范围依然适用; （2）在计算时需要注意未知数的系数的符号，以及不等号是否需要变号; （3）可以利用分母有理化进行二次根式的除法; （4）最终结果化为最简二次根式. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 22 归纳小结 本节课学习了哪些主要内容？ 本节课是怎样学习的？ 接下来我们一起来归纳一下今天学习的内容。 这节课首先我们学习了⭐️同类二次根式的概念，⭐️几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 从概念中，我们提炼出两个条件：⭐️一是化成最简二次根式，⭐️二是被开方数相同。 进一步能够⭐️判断几个二次根式是否是同类二次根式。 判断同类二次根式的目的是⭐️合并同类二次根式。 而合并同类二次根式其实就是⭐️二次根式的加减运算。 在学习合并同类二次根式的过程中，我们联想到⭐️合并同类项的做法。 由于⭐️整式的加减归结为合并同类项，我们知道二次根式的加减⭐️归结为合并同类二次根式。 在本节课的学习中，进一步体会到⭐️类比的数学思想。 23 归纳小结 整式、分式的运算 二次根式的运算 简单的二次根式混合运算 例9 例10 1010 例11 例12 当字母的值为无理数， 求代数式的值 解系数为实数的方程 解系数为实数的不等式 归纳小结 分母有理化 先化简，再代入 整体思想 等式性质和不等式的性质在实数范围依然适用. 最简 二次根式 注意未知数的系数的符号 简单的二次根式混合运算 当字母的值为无理数， 求代数式的值 解系数为实数的方程 解系数为实数的不等式 结束语 学习数学的关键是学会思考，我们要从“未知”联想到“已知”，从“变化”中发现“不变”.用“转化”化繁为简，用“类比”触类旁通，用“整体”灵活思考. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 26 $