专题02 立方根重难点题型专训（3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 含立方根的混合计算 题型六 立方根的实际应用 题型七 平方根与立方根的综合应用 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则 ． 知识点二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）1的立方根是 ；的立方根是 ． 知识点三：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C． D．0 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，则a＝ ． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是 ．（请填写序号） 3．（24-25七年级·江苏苏州·阶段练习）算术平方根是本身的数是 ，平方根是本身的数是 ，立方根是本身的数是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·随堂练习）若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 2．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若a满足，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）若一个数的立方根是5，则这个数是 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知的平方根是的立方根是3． (1)求； (2)若，求的立方根． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若，则与的数量关系是： ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【经典例题五 含立方根的混合计算】 【例5】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）若，则的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或或10 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知，则的值为 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算：． 【经典例题六 立方根的实际应用】 【例6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（    ）倍． A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若为最大的负整数，则a的值应为 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）校本课上同学们用彩泥制作作品现有一块长、宽、高分别为2cm，3cm，4cm的长方体彩泥材料，小文要取材料的制作一个立方体模型，则小文制作的模型棱长为 cm． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【经典例题七 平方根与立方根的综合应用】 【例7】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 1．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则 ． 3．（24-25八年级·江苏宿迁·阶段练习）已知=102， =0.102， 则 x= ， 已知=1.558，=155.8，则 y= 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 2．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根是，解关于x的方程：． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________．  2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … （1）若，则 （2）根据你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，则： ①≈ ； ②≈ ； （3）根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知≈1.260，则≈ . 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方） 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3． (1)求长方体的水池长、宽、高为多少？ (2)当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01 cm）？ 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）立方根等于它本身的数有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 6．（25-26八年级上·江苏南京·随堂练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 7．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）2是 的立方根； 的立方根是． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 9．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）一种集装箱是正方体形状的，它的体积是，则这种正方体形状的集装箱的边长是 ． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 11．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，是8的立方根，求的值．   14．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立方根重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 含立方根的混合计算 题型六 立方根的实际应用 题型七 平方根与立方根的综合应用 拓展训练一 解立方根方程 拓展训练二 立方根的规律探究问题 拓展训练三 立方根的实际应用 知识点一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则 ． 【答案】或或 【分析】根据立方根定义计算即可． 【详解】解：由，得， 或或， 或 或， 经检验：或 或 符合题意． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 知识点二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义解答即可． 本题考查了立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的立方根是． 故选：D 2．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）1的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握立方根的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：1的立方根是，的立方根是， 故答案为：1，． 知识点三：开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的概念，熟练掌握立方根的概念是解决本题的关键． 根据立方根的概念，若三次根号下的数等于1，则该数为1的三次方，由此可解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A ． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，则a＝ ． 【答案】 【分析】根据立方根的定义知：若x3=a，则x=，由此解答即可． 【详解】解：∵， ∴a＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根定义，理解立方根的意义是解答的关键． 【经典例题一 立方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据偶次方根、奇次方根的性质计算即可． 【详解】A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用n次方根的性质进行计算，当n为奇数时， ，当n为偶数时，． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是 ．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 3．（24-25七年级·江苏苏州·阶段练习）算术平方根是本身的数是 ，平方根是本身的数是 ，立方根是本身的数是 ． 【答案】 0，1 0 0，±1 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义即可解答． 【详解】解：算术平方根是本身的数是0、1，平方根是其本身的数是0，立方根是其本身的数是0，±1． 故答案为0，1； 0，1； 0，±1． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的定义等知识点，掌握特殊数的算术平方根、平方根、立方根是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·随堂练习）若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程，根据立方根的性质求解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若a满足，则的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查算术平方根，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．已知，即的算术平方根等于本身，则的值为0或1，再求它的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴或1， ∴或1． 故答案为：0或1． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据题目所提供的A变换，B变换的意义，有立方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．本题考查立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出， ∵ ∴ ∴不小于的最小整数为3， 即得到的输出数是3； 故①是符合题意； 输入数，经过一次变换，即先求出， 则 ∴得到的输出数是3； 故②是符合题意； ∵输入数经过一次变换得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③是符合题意； ∵再经过一次变换得到1， ∴， ∴， ∴， ∵经过一次变换得到， 即不小于的最小整数是， ∵ ∴的取值范围是． 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是 位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是 ∴= ． (1)请你帮东东补充完整上述探究过程； (2)已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】(1)两，，， (2)26 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方． （1）根据题中所给的过程方法，即可解答； （2）先求出的立方根是两位数，然后根据示例分别求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是9 ∵ ∴ ∴的十位数是3 ∴． 故答案为：两，，，； （2）∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵只有个位数是的立方数的个位数依然是 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是2 ∴ 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 是的立方根， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根和平方根，根据立方根的定义得到x的值是解题的关键．根据的立方根是4，从而得到，代入，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）若一个数的立方根是5，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，一个数的立方根是5， ∴这个数是， 故答案为： 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出这两个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴这两个数分别为9，， ∴这两个数的和为， 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知的平方根是的立方根是3． (1)求； (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)的立方根为 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题关键． （1）根据题意求出，得到； （2）根据题意求出，继而得到，得到的立方根为． 【详解】（1）解：的平方根是， ， ， 的立方根是， ， ， ； （2）解： ，即， 解得：， ， ， 的立方根为． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的概念与性质逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项正确，符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 1．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若，则与的数量关系是： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 【经典例题五 含立方根的混合计算】 【例5】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）若，则的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或或10 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的立方根，平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得出，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 或． 故选C． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若a和b是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题： （1）若，则的立方根为 ； （2）若，则的平方根为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了平方根、立方根． （1）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据立方根的定义求解即可； （2）根据题中所给计算方法求出、的值，代入计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得， 解得， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2； （2）由题意，得， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和立方根的有关计算，先根据算术平方根和立方根化简，再计算即可． 【详解】解： ． 【经典例题六 立方根的实际应用】 【例6】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（    ）倍． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据正方体的体积公式解答． 【详解】解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为， 由题意可得现在正方体的体积为， ∵， ∴现在正方体的棱长为3a， 故选：B． 【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键． 先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若为最大的负整数，则a的值应为 【答案】±5 【分析】根据原式的值为最大的负整数-1得=-1；然后利用立方根的定义求出a的值即可. 【详解】解：由题意可得：=-1 即9-2|a|=-1 解得：a=±5. 【点睛】本题只要根据立方根的定义即可作答，关键是知道最大的负整数是几； 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）校本课上同学们用彩泥制作作品现有一块长、宽、高分别为2cm，3cm，4cm的长方体彩泥材料，小文要取材料的制作一个立方体模型，则小文制作的模型棱长为 cm． 【答案】2． 【分析】根据长方体的体积公式求出长方体彩泥材料的体积，进而得出立方体模型的体积，再根据正方体的体积公式计算即可． 【详解】长方体彩泥材料的体积为：2×3×4=24(cm3)， 立方体模型的体积为：(cm3)， 小文制作的模型棱长为：(cm)． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了长方体与立方体的体积，熟知公式是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 【经典例题七 平方根与立方根的综合应用】 【例7】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（   ） A．4 B．4或0 C．6或2 D．6 【答案】B 【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值． 【详解】∵a是的平方根， ∴a=±2， ∵b是的立方根， ∴b=2， ∴a+b=2+2=4或a+b=-2+2=0． 故选B． 【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键． 1．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则 ． 【答案】5 【分析】根据算术平方根、立方根的意义求出m和n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：的算术平方根是3， ， ， 解得． 的立方根是， ， ， 解得． ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． 3．（24-25八年级·江苏宿迁·阶段练习）已知=102， =0.102， 则 x= ， 已知=1.558，=155.8，则 y= 【答案】 【答题空18-1】0.010404 【答题空18-2】3780000 【分析】当被开方数的小数点每移动2位，则开方的结果小数点向相同方向移动 一位，因为0.102是102的小数点向左移动了3位，由此可以求出 x． 【详解】解：=102， =0.102， ∴x=0.010404， ∵=1.558，=155.8， ∴y=3780000， 故答案为0.010404；3780000. 【点睛】本题主要考查了立方根、算术平方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．开平方时，被开方数的小数点每移动 2 位，则开方的结果小数点移动一位． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义可得方程组，解方程组即可求解； （）由，可得，求的平方根即可求解； 本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， 即， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【拓展训练一 解立方根方程】 1．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根的定义 （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数可得的值，将的值代入中，可得正数的值； （2）根据立方根的定义解方程即可； 掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得：， ∴ ∴这个正数为； （2）把代入，得： ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根是，解关于x的方程：． 【答案】或 【分析】先根据平方根、立方根的定义求出a和b，再代入方程，利用平方根的性质求解． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得， 的立方根是， ， 解得， 将，代入，得： ， 整理得：， 两边开平方，得：， 或． 【点睛】本题考查平方根、立方根、利用平方根解方程等，解题的关键是掌握平方根、立方根的定义． 【拓展训练二 立方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】（1）填表见解析；（2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍；（3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【分析】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题： ①，则 ② 发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位； （2）应用：①已知________，________； ②已知，则________； （3）拓展：已知，计算和的值． 【答案】（1） ①右，1；②左，1；（2）①1.732，17.32 ；②；（3）， ． 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位， 故答案为：右，1； ②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位， 故答案为：左，1； （2）①根据总结的规律可得：，， 故答案为：1.732，17.32； ②根据总结的规律可得：， ， 故答案为：； （3）， ，． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … （1）若，则 （2）根据你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，则： ①≈ ； ②≈ ； （3）根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知≈1.260，则≈ . 【答案】（1）10 ；（2）①0.1435  ② 143.5；（3）12.60 . 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简即可； （2）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （3）根据（2）中的规律解答即可． 【详解】（1）=10； （2）观察表格可知：被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位，∴； （3）≈12.60． 故答案为（1）10；（2）被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点就相应向左或向右移动1位，0.1435；143.5；（3）12.60． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑． 【拓展训练三 立方根的实际应用】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方） 【答案】54 【分析】本题考查了正方体的表面积，以及开立方运算，根据题意得到每个小正方体木块体积，进而得到每个小正方体木块棱长，最后求出正方形表面积，即可解题． 【详解】解：由题知每个小正方体木块体积为：（）， 每个小正方体木块棱长为：， 每个小正方体木块的表面积是：（）， 答：每个小正方体木块的表面积是54． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3． (1)求长方体的水池长、宽、高为多少？ (2)当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01 cm）？ 【答案】(1)长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm； (2)该小球的半径为4.05cm． 【分析】（1）设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，根据长方体体积公式列方程，根据立方根定义即可求解，问题得解； （2）设该小球的半径为rcm，根据溢出水池外的水的体积为水池体积的列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3， ∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x， ∴2x•2x•4x＝16000， ∴16x3＝16000， ∴x3＝1000， 解得：x＝10， ∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm； （2）解：设该小球的半径为rcm， 由题意得 ×16 000， ∴r3＝×16 000×， ∴r≈4.05， 答：该小球的半径为4.05cm． 【点睛】本题考查了立方根的应用，熟知立方根的意义，根据题意列出方程是解题关键． 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）立方根等于它本身的数有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：立方根等于它本身的数有0、1、-1共3个． 故选C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的求解，解题的关键是掌握立方根的定义和求解法则． 利用立方根的定义和求解法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设该正方体铁块的棱长为， 由题意得：， 解得， ， ， 即该正方体铁块的棱长介于和之间， 故选A． 6．（25-26八年级上·江苏南京·随堂练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】 50 70 【分析】根据立方根的定义依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ． 故答案为：50，70，． 【点睛】本题考查立方根．熟记立方根的定义是解题关键． 7．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）2是 的立方根； 的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根有关计算，根据题意得出，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 9．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）一种集装箱是正方体形状的，它的体积是，则这种正方体形状的集装箱的边长是 ． 【答案】4 【分析】此题考查立方根的应用，设它的边长是，根据体积列方程，根据立方根定义求解 【详解】解：设它的边长是，则， ∴， 故答案为． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 11．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查求一个数的立方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． （1）根据立方根的定义计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可； （3）根据立方根的定义计算即可； （4）根据立方根的定义计算即可； （5）根据立方根的定义计算即可； （6）根据立方根的定义计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3） （4）； （5）； （6）． 12．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键； （1）先求，再根据平方根定义得，解方程即可； （2）利用立方根定义求得，然后解方程． 【详解】（1）解：， ， ， 即或， 解得或． （2）， ， 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是和，是8的立方根，求的值．   【答案】8 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方根定义，立方根定义，熟练掌握相关定义，是解题的关键．先根据平方根定义求出m的值，再根据立方根定义求出n，再代入代数式求出结果即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵是8的立方根， ∴， ． 14．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $