专题1.3 全等三角形的判定（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的判定核心知识点，从基础认知（三组对应元素、无效条件AAA/SSA）到具体定理（SAS、ASA、AAS、SSS、HL），再到通用思路（找边、找角、选择定理），构建从基础到综合的学习支架，系统梳理判定方法及适用条件。 该资料亮点在于分层题型设计（基础必考到压轴素养），融入生活情境（如池塘距离测量）培养数学建模（数学语言），通过二次全等、辅助线构造提升推理能力（数学思维），课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.3 全等三角形的判定 知识点1：全等三角形判定基础认知   1. 判定核心原则：判定两个三角形全等，至少需要三组对应元素相等，仅一组、两组对应元素相等，无法保证三角形全等。   2. 无效判定条件：三个角对应相等（AAA）、两边及其中一边对角对应相等（SSA），不能作为三角形全等的判定依据，无法锁定三角形形状和大小唯一。 知识点2：边角边判定定理（SAS）   1. 定理内容：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，简记为SAS。   2.关键要点：必须是两条对应边的夹角，非夹角的对角对应相等属于SSA，无法判定全等。   3. 规范书写格式 在和中 ∴ 知识点3：角边角与角角边判定定理（ASA、AAS） 判定定理 定理内容 核心区别 内在联系 ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 相等的边为两组等角的公共夹边 由三角形内角和定理可互相推导，均为两角一边判定全等 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 相等的边为其中一组等角的对边，非夹边 知识点4：边边边判定定理（SSS）   1. 定理内容：三条边对应相等的两个三角形全等，简记为SSS。   2. 核心性质：依据SSS定理可推导三角形的稳定性，即三角形三边长度确定，形状、大小唯一固定。   3. 拓展应用：四边形及以上多边形不具备稳定性，可通过添加对角线构造三角形，利用稳定性固定图形形状。 知识点5：直角三角形专属判定定理（HL）   1.定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为HL。   2. 适用范围：仅适用于直角三角形，是直角三角形独有的全等判定方法，无需验证角的条件。   3. 通用适配：直角三角形也可使用SAS、ASA、AAS、SSS进行全等判定。 知识点6：全等三角形判定通用思路   1. 找边思路：优先挖掘公共边、等边和差、中线定义等隐含相等线段。   2. 找角思路：优先挖掘公共角、对顶角、平行线性质、角平分线、同角余补角等隐含相等角。   3. 选择定理：根据已知边角条件，匹配最优判定定理，遵循“边定形、角定位”原则。 【基础必考题型】 【题型1】SAS定理直接判定三角形全等 1.核心知识点   掌握SAS判定定理的核心内涵，区分夹角与非夹角；能根据已知两边及夹角条件，直接判定三角形全等；规范全等证明书写格式。 2.解题方法技巧   ① 审题精准定位已知边、角，重点确认相等的角是否为两组对应边的夹角；   ② 严格按照“边-角-边”顺序罗列证明条件，对应顶点字母规范对齐；   ③ 排除SSA易错情形，杜绝用两边及一边对角判定全等。 【例题1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】直接使用“边角边”的判定定理证明全等即可． 【详解】略 【变式题1-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【答案】解：和全等，理由如下， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，则，所以，然后通过“”即可证明． 【详解】略． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知点E是的中点，和全等吗？为什么？ 【答案】和全等，理由如下： ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用中点的定义可得，再结合对顶角相等运用即可解答． 【详解】解：和全等，理由略． 【变式题1-3】.（2026·河南周口·二模）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据线段和差关系证明，再根据平行线的性质证明，最后根据证明全等即可． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ， ． 【题型2】ASA、AAS定理基础判定应用 1.核心知识点   辨析ASA与AAS的核心区别，掌握两角一边判定全等的两种形式；能利用平行线、对顶角等基础条件推导等角，完成全等证明。 2.解题方法技巧   ① 已知两角条件时，快速判断已知边是夹边还是对边，精准匹配ASA或AAS定理；   ② 熟练挖掘图形隐含等角，简化已知条件，快速补全判定所需元素；   ③ 证明过程中严格区分两类定理，避免定理混用。 【例题2】.（26-27八年级上·山东济南·开学考试）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析被墨迹污染后的三角形剩余部分的特征，并结合全等三角形的判定定理来判断． 【详解】解：被墨迹污染的三角形，剩余部分保留了两个角和它们的夹边，符合全等三角形的判定条件，因此，根据可以画出一个与原三角形完全一样的三角形． 【变式题2-1】.（2026·广东广州·中考真题）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 【变式题2-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，再利用全等三角形的性质证明出结论． 【详解】略 【变式题2-3】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【题型3】SSS定理判定与三角形稳定性应用 1.核心知识点   掌握SSS全等判定定理；理解三角形稳定性的几何原理，能区分三角形与多边形的稳定性差异；掌握稳定性生活应用场景。 2.解题方法技巧   ① 利用线段和差、公共边条件，推导三组对应边相等，用SSS证明全等；   ② 生活情境题中，快速识别构造三角形的设计原理，判断稳定性应用；   ③ 明确多边形加固需构造三角形，确定最少加固线段数量。 【例题3】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 【详解】略 【变式题3-1】.（2026·福建福州·二模）如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据等式的性质得出，利用证明与全等，进而解答即可． 【详解】略 【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 已知：如图，在和中，、分别是边、上的中线，，，，求证：． 【答案】 证明：∵、分别是边、上的中线， ∴，， ∵， ， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），全等的性质和综合（），解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用中线的意义得出，，由推出，得到，由即可证明． 【详解】略 【题型4】HL定理判定直角三角形全等 1.核心知识点   掌握直角三角形HL专属全等判定定理；区分HL与普通三角形判定定理的适用场景；掌握直角三角形全等的多种判定思路。 2.解题方法技巧   ① 解题先标注直角条件，明确直角三角形前提，再寻找斜边、直角边对应相等条件；   ② 优先使用HL简化直角三角形全等证明，无斜边条件时改用SAS、AAS判定；   ③ 规避“两锐角相等判定直角三角形全等”的易错误区。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，为直角，与相交于点，与相等，请在图中找出两对全等三角形． 【答案】，． 【分析】根据，，得出；利用得出，进一步利用“”得出． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】利用即可得证． 【详解】略 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：由题意可得：， 在与中， ∴≌； (2) 证明：∵≌； ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【培优高频题型】 【题型5】开放型条件补充判定全等 1.核心知识点   综合掌握四类普通三角形、一类直角三角形全等判定定理；根据已有边角条件，逆向推导所需补充条件，培养逆向推理素养。 2.解题方法技巧   ① 先梳理题干已有对应相等的边角条件，确定可适配的判定定理；   ② 结合定理缺失条件，精准补充唯一或多组有效条件，排除无效的AAA、SSA条件；   ③ 按题目指定判定方法补充条件，保证条件简洁、适配定理。 【例题5】.（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 【变式题5-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）要使题图中的各对三角形全等，还需要增加什么条件？ (1)如图①，； (2)如图②，． 【答案】(1)增加(答案不唯一) (2)增加(答案不唯一) 【分析】根据全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【详解】（1）解：增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴； （2）解：增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴； 增加， ∵，， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 【题型6】线段和差推导边相等的全等证明 1.核心知识点   掌握等式性质，利用线段共线特征，通过线段和、差运算推导对应边相等；综合运用SSS、SAS定理完成全等证明。 2.解题方法技巧   ① 针对共线线段，利用“公共线段+已知线段”推导相等对应边；   ② 先完成线段等量推导，再罗列全等判定条件，逻辑分层清晰；   ③ 区分线段相加、相减两种题型，灵活运用等式性质变形。 【例题6】.（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据线段的和差关系得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】略 【变式题6-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)，理由： ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题6-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由等式的性质可得，由可得，进而可通过角角边的判定定理证明． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 【答案】证明：∵， ． ， ， 即． 在和中， ， ． 【详解】略． 【题型7】几何情境下全等与边角计算综合 1.核心知识点   结合全等三角形判定与性质，实现“证全等→得边角相等→计算边长、角度”的完整推理；融合三角形内角和、线段和差知识。 2.解题方法技巧   ① 先判定三角形全等，利用全等性质转化边角等量关系；   ② 结合基础几何定理，代入已知数据完成角度、线段长度计算；   ③ 多层计算题型中，逐层梳理等量关系，避免边角混淆。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点D在的边上，，，．若，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，点D在的边的延长线上，平分，且，点F是的中点，交于点G．若，求的周长． 【答案】的周长为32 【分析】根据平行线以及角平分线得出相等的角，根据等角对等边得出，证明得出，最后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∵，   ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的周长为． 【题型8】生活测量情境全等建模应用 1.核心知识点   数学建模素养，将无法直接测量的生活线段、角度问题，抽象为全等三角形几何模型；利用全等性质实现等量转化。 2.解题方法技巧   ① 剥离生活情境，提取几何图形、垂直、平行、等距等核心条件；   ② 构造全等三角形，将未知测量量转化为可测量的对应边、对应角；   ③ 验证模型合理性，结合实际场景确定最终结果。 【例题8】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 【变式题8-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，小明想设计一种测零件内径的卡钳．在卡钳的设计中，要使测出的的长度恰好为内径的长度，那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条件呢？请提出你的想法． 【答案】 【分析】添加条件证明，则，即可得到结论． 【详解】解：，理由是： 连接， ∵，， ∴ ∴ 即测出的的长度恰好为内径的长度． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 【答案】 【分析】证出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校位于河的西岸点A处，在河的对岸点A的正东方向点B处有一建筑物，王老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 设计方案及测量数据 如图，在的延长线上取点C，在点C的正北方取点D，使，连接，在的延长线上取点E，连接，使得，测得米． 根据测量方案和测量数据，求点A与点B的距离． 【答案】50米 【分析】先由垂直得直角，结合、证明，推出，再通过线段和差等量代换得到，代入数据求出． 【详解】解：， ． 在和中： ． ． ，，， ， ∴． 米， 米． 答：点与点的距离为50米． 【压轴素养题型】 【题型9】二次全等递进式证明 1.核心知识点   掌握多次全等证明逻辑，先证第一组全等获取边角等量条件，再以此为依据证明第二组全等；构建多层几何推理链条。 2.解题方法技巧   ① 从最终结论倒推所需条件，确定两次全等的证明顺序；   ② 第一组全等得出的对应边、对应角相等，作为第二组全等的核心条件；   ③ 规范分步书写证明过程，逻辑连贯、依据明确。 【例题9】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， 又，， ∴． (2) 证明：由（）知， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （）由全等得到，再根据互余关系得到，则，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵是 的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，对应边相等即可得到． （2）证明，则，即，则题目可解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据结合、得到，通过证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得到，再说明，结合得到，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）略． （2）略． 【题型10】全等三角形经典模型探究 1.核心知识点   掌握平移、对称、旋转、一线三等角四大全等模型；能识别模型结构，利用模型固有边角关系快速判定全等、推导结论。 2.解题方法技巧   ① 快速识别图形模型类型，调用对应模型的边角等量规律；   ② 结合模型特征补全隐含条件，简化复杂证明过程；   ③ 灵活适配不同判定定理，适配模型变式题型。 【例题10】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D、E分别在的延长线上，连接，若，．求证：． 【答案】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【分析】证明，即可证明结论． 【详解】略 【变式题10-1】.（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 【答案】证明：，， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 【分析】先证明，再证明，即可得证． 【详解】略 【变式题10-2】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1)2 (2)①在中，． ， ， ． 在和中， ， ②由可知，， ． (3)． 理由如下： 在中，． ， ， ． 在和中， ， ，， (4) 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出，再证明，得到，即可求出的长； （2）①先证，由即可得出，②根据全等三角形的性质进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 在中，，， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）略 （3）略 （4）由（2）可得，当时，四边形的面积， 由（3）可得，当时， 四边形的面积． 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【题型11】辅助线构造全等三角形证明 1.核心知识点   掌握公共边、倍长中线、截长补短三类基础辅助线做法；通过构造全等三角形，转化分散的边角条件，解决线段和差、等量证明难题。 2.解题方法技巧   ① 线段和差问题优先用截长补短法，中线问题优先用倍长中线法；   ② 无直接全等条件时，连接公共边、延长线段构造全等模型；   ③ 辅助线添加后，精准匹配判定定理，完成推理证明。 【例题11】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【答案】（1） （2）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键； （1）根据提示证即可求解； （2）延长到，使得，连接，通过论证两组三角形的全等即可得出结论； （3）由前一问可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴（） ∴， ∵ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）可得：， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 【变式题11-3】.（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）； （2），理由如下： 延长到H使得，连接， ∵，，； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，掌握倍长中线构造全等是解题的关键； （1）延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，证明，求出，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）延长到H使得，连接，证明，再证明，即可得证． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 【题型12】动点背景全等存在性探究 1.核心知识点   动态几何素养，结合动点运动规律，用代数式表示动态线段长度；根据全等对应关系分类讨论，求解动点存在性问题。 2.解题方法技巧   ① 设动点运动时间，用含参数的式子表示变化的线段长度；   ② 分情况讨论全等对应关系，避免漏解、错解；   ③ 结合动点运动范围，检验解的合理性，舍去无效结果。 【例题12】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； (3)在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 【答案】(1)解：，理由如下： 在中，为高， ， 又∵，， ∴， ， ，， ， ； (2)①；②或； (3) 的值为或． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①根据路程等于速度乘以时间，求出，由全等三角形的性质可得；②由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意，， 由（1）可知，， ∴； ②由①知， ，， ，， 由（1）可知，， 在射线上， ∴，， ， 解得：或； （3）解：， ， 、当点在线段延长线上时，如图3， ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，，解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿边向终点运动；动点从点出发沿边向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，设运动时间为秒，当点到达终点时，点也随之停止运动． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)分别过点和点作于点，于点，则当________秒时，与全等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，结合路程速度时间求解即可； （2）在（1）所求线段基础上，由三角形面积公式表示出，根据列方程求解即可； （3）由题意得出需要与有一组对应边相等即可确定与全等，从而得到，由此列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可得，； （2）解：如图所示： ，， 当时，，解得； （3）解：如图所示： ，， ， 则， 在中，，则， ， 由两个三角形全等的判定定理，只需要与有一组对应边相等即可确定与全等， 当时，，此时， ，解得． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 【变式题12-3】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 易错点 1、混淆夹角与对角，误用SSA（两边及一边对角）判定三角形全等，忽略SAS定理的夹角核心要求。 2、混淆ASA与AAS定理，无法区分夹边与对边，导致定理选用错误、证明逻辑出错。 3、误将AAA（三角对应相等）作为全等判定依据，仅能判定三角形相似，无法判定全等。 4、使用HL定理时，忽略直角三角形前提，随意套用定理判定普通三角形全等。 5、开放题、动点题中对应关系考虑不全面，遗漏分类讨论情况，出现漏解。 6、证明书写不规范，未按定理顺序罗列条件，对应顶点字母错位，推理依据缺失。 重点 1、熟练掌握SAS、ASA、AAS、SSS、HL五大全等判定定理，精准区分各定理的适用条件与核心要素。 2、能快速挖掘图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行线等角），独立完成全等证明。 3、掌握线段和差、角度转化的基础推理方法，能结合全等性质完成边角计算与简单证明。 4、理解三角形稳定性原理，能解决生活中的实际应用问题，具备基础数学建模能力。 5、规范几何证明书写格式，逻辑严谨、步骤完整，符合初中几何答题规范。 难点 1、复杂图形中多组三角形共存时，精准筛选目标全等三角形，梳理多层边角等量关系。 2、辅助线构造全等三角形，掌握截长补短、倍长中线等进阶方法，突破无直接全等条件的题型。 3、动点、网格、跨学科新型情境题型，完成几何建模与分类讨论，培养动态几何思维。 4、二次全等递进式证明，构建完整多层推理链条，综合运用多个定理解决复杂几何问题。 5、开放型探究题，逆向推导全等条件，多角度分析问题，培养几何推理与创新思维。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】已知，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； B、添加可利用定理判定，故此选项不合题意； C、添加不能判定，故此选项符合题意； D、添加平分，则， 可利用定理判定，故此选项不合题意． 2．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 3．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 二、填空题 4．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：；，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】由题意得：，，， ，与全等， 分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得； 情况2：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得， 综上，的值为或． 5．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 6．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由得，结合已知可证，得，根据三角形的外角性质得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 三、解答题 7．如图，点在的角平分线上，、分别在、上，且．求证：． 【答案】证明：平分， ， 在和中，， ， ． 【分析】证明，根据全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】略 8．证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 9．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 10．在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1)证明：在上截，连接， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； (2)当时， 当时， 的度数为或 【分析】（1）在上截，连接，证明，可得，再根据线段的加减即可解答； （2）分三种情况，即当时，当时，当时，分别画出图形，再求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，图1为示意图，延长到，使，连接， ， ，． 为的角平分线， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，且， ，解得； ②当时，图2为示意图，延长到，使，连接， 同理可得， ， ， ， 在中，且， ，解得； ③当时， 根据三线合一，为的高， ， ， 即与无交点，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 全等三角形的判定 知识点1：全等三角形判定基础认知   1. 判定核心原则：判定两个三角形全等，至少需要三组对应元素相等，仅一组、两组对应元素相等，无法保证三角形全等。   2. 无效判定条件：三个角对应相等（AAA）、两边及其中一边对角对应相等（SSA），不能作为三角形全等的判定依据，无法锁定三角形形状和大小唯一。 知识点2：边角边判定定理（SAS）   1. 定理内容：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，简记为SAS。   2.关键要点：必须是两条对应边的夹角，非夹角的对角对应相等属于SSA，无法判定全等。   3. 规范书写格式 在和中 ∴ 知识点3：角边角与角角边判定定理（ASA、AAS） 判定定理 定理内容 核心区别 内在联系 ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 相等的边为两组等角的公共夹边 由三角形内角和定理可互相推导，均为两角一边判定全等 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 相等的边为其中一组等角的对边，非夹边 知识点4：边边边判定定理（SSS）   1. 定理内容：三条边对应相等的两个三角形全等，简记为SSS。   2. 核心性质：依据SSS定理可推导三角形的稳定性，即三角形三边长度确定，形状、大小唯一固定。   3. 拓展应用：四边形及以上多边形不具备稳定性，可通过添加对角线构造三角形，利用稳定性固定图形形状。 知识点5：直角三角形专属判定定理（HL）   1.定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为HL。   2. 适用范围：仅适用于直角三角形，是直角三角形独有的全等判定方法，无需验证角的条件。   3. 通用适配：直角三角形也可使用SAS、ASA、AAS、SSS进行全等判定。 知识点6：全等三角形判定通用思路   1. 找边思路：优先挖掘公共边、等边和差、中线定义等隐含相等线段。   2. 找角思路：优先挖掘公共角、对顶角、平行线性质、角平分线、同角余补角等隐含相等角。   3. 选择定理：根据已知边角条件，匹配最优判定定理，遵循“边定形、角定位”原则。 【基础必考题型】 【题型1】SAS定理直接判定三角形全等 1.核心知识点   掌握SAS判定定理的核心内涵，区分夹角与非夹角；能根据已知两边及夹角条件，直接判定三角形全等；规范全等证明书写格式。 2.解题方法技巧   ① 审题精准定位已知边、角，重点确认相等的角是否为两组对应边的夹角；   ② 严格按照“边-角-边”顺序罗列证明条件，对应顶点字母规范对齐；   ③ 排除SSA易错情形，杜绝用两边及一边对角判定全等。 【例题1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，．求证：． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【变式题1-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知点E是的中点，和全等吗？为什么？ 【变式题1-3】.（2026·河南周口·二模）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【题型2】ASA、AAS定理基础判定应用 1.核心知识点   辨析ASA与AAS的核心区别，掌握两角一边判定全等的两种形式；能利用平行线、对顶角等基础条件推导等角，完成全等证明。 2.解题方法技巧   ① 已知两角条件时，快速判断已知边是夹边还是对边，精准匹配ASA或AAS定理；   ② 熟练挖掘图形隐含等角，简化已知条件，快速补全判定所需元素；   ③ 证明过程中严格区分两类定理，避免定理混用。 【例题2】.（26-27八年级上·山东济南·开学考试）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·广东广州·中考真题）如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【题型3】SSS定理判定与三角形稳定性应用 1.核心知识点   掌握SSS全等判定定理；理解三角形稳定性的几何原理，能区分三角形与多边形的稳定性差异；掌握稳定性生活应用场景。 2.解题方法技巧   ① 利用线段和差、公共边条件，推导三组对应边相等，用SSS证明全等；   ② 生活情境题中，快速识别构造三角形的设计原理，判断稳定性应用；   ③ 明确多边形加固需构造三角形，确定最少加固线段数量。 【例题3】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【变式题3-1】.（2026·福建福州·二模）如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 已知：如图，在和中，、分别是边、上的中线，，，，求证：． 【题型4】HL定理判定直角三角形全等 1.核心知识点   掌握直角三角形HL专属全等判定定理；区分HL与普通三角形判定定理的适用场景；掌握直角三角形全等的多种判定思路。 2.解题方法技巧   ① 解题先标注直角条件，明确直角三角形前提，再寻找斜边、直角边对应相等条件；   ② 优先使用HL简化直角三角形全等证明，无斜边条件时改用SAS、AAS判定；   ③ 规避“两锐角相等判定直角三角形全等”的易错误区。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，为直角，与相交于点，与相等，请在图中找出两对全等三角形． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 【培优高频题型】 【题型5】开放型条件补充判定全等 1.核心知识点   综合掌握四类普通三角形、一类直角三角形全等判定定理；根据已有边角条件，逆向推导所需补充条件，培养逆向推理素养。 2.解题方法技巧   ① 先梳理题干已有对应相等的边角条件，确定可适配的判定定理；   ② 结合定理缺失条件，精准补充唯一或多组有效条件，排除无效的AAA、SSA条件；   ③ 按题目指定判定方法补充条件，保证条件简洁、适配定理。 【例题5】.（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·全国·课后作业）要使题图中的各对三角形全等，还需要增加什么条件？ (1)如图①，； (2)如图②，． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【题型6】线段和差推导边相等的全等证明 1.核心知识点   掌握等式性质，利用线段共线特征，通过线段和、差运算推导对应边相等；综合运用SSS、SAS定理完成全等证明。 2.解题方法技巧   ① 针对共线线段，利用“公共线段+已知线段”推导相等对应边；   ② 先完成线段等量推导，再罗列全等判定条件，逻辑分层清晰；   ③ 区分线段相加、相减两种题型，灵活运用等式性质变形。 【例题6】.（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)找出图中互相平行的线段，说明你的理由． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，，，求证：． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 【题型7】几何情境下全等与边角计算综合 1.核心知识点   结合全等三角形判定与性质，实现“证全等→得边角相等→计算边长、角度”的完整推理；融合三角形内角和、线段和差知识。 2.解题方法技巧   ① 先判定三角形全等，利用全等性质转化边角等量关系；   ② 结合基础几何定理，代入已知数据完成角度、线段长度计算；   ③ 多层计算题型中，逐层梳理等量关系，避免边角混淆。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点D在的边上，，，．若，，求的长． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，点D在的边的延长线上，平分，且，点F是的中点，交于点G．若，求的周长． 【题型8】生活测量情境全等建模应用 1.核心知识点   数学建模素养，将无法直接测量的生活线段、角度问题，抽象为全等三角形几何模型；利用全等性质实现等量转化。 2.解题方法技巧   ① 剥离生活情境，提取几何图形、垂直、平行、等距等核心条件；   ② 构造全等三角形，将未知测量量转化为可测量的对应边、对应角；   ③ 验证模型合理性，结合实际场景确定最终结果。 【例题8】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【变式题8-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，小明想设计一种测零件内径的卡钳．在卡钳的设计中，要使测出的的长度恰好为内径的长度，那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条件呢？请提出你的想法． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）小亮在公园游玩时发现一水池，他想知道水池的宽，设计了如下方案： 主题 测量水池的宽 测量方案及示意图 ①在地面上找到可以直接到达点A，B的一点D，使； ②在的延长线上确定一点C，使； ③测量出． 根据以上信息，求水池的宽． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校位于河的西岸点A处，在河的对岸点A的正东方向点B处有一建筑物，王老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离． 测量学校点A与建筑物点B之间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 设计方案及测量数据 如图，在的延长线上取点C，在点C的正北方取点D，使，连接，在的延长线上取点E，连接，使得，测得米． 根据测量方案和测量数据，求点A与点B的距离． 【压轴素养题型】 【题型9】二次全等递进式证明 1.核心知识点   掌握多次全等证明逻辑，先证第一组全等获取边角等量条件，再以此为依据证明第二组全等；构建多层几何推理链条。 2.解题方法技巧   ① 从最终结论倒推所需条件，确定两次全等的证明顺序；   ② 第一组全等得出的对应边、对应角相等，作为第二组全等的核心条件；   ③ 规范分步书写证明过程，逻辑连贯、依据明确。 【例题9】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【题型10】全等三角形经典模型探究 1.核心知识点   掌握平移、对称、旋转、一线三等角四大全等模型；能识别模型结构，利用模型固有边角关系快速判定全等、推导结论。 2.解题方法技巧   ① 快速识别图形模型类型，调用对应模型的边角等量规律；   ② 结合模型特征补全隐含条件，简化复杂证明过程；   ③ 灵活适配不同判定定理，适配模型变式题型。 【例题10】.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D、E分别在的延长线上，连接，若，．求证：． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【题型11】辅助线构造全等三角形证明 1.核心知识点   掌握公共边、倍长中线、截长补短三类基础辅助线做法；通过构造全等三角形，转化分散的边角条件，解决线段和差、等量证明难题。 2.解题方法技巧   ① 线段和差问题优先用截长补短法，中线问题优先用倍长中线法；   ② 无直接全等条件时，连接公共边、延长线段构造全等模型；   ③ 辅助线添加后，精准匹配判定定理，完成推理证明。 【例题11】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到， 使得； ②连接， 通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为， 从而得到的取值范围是 ； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2） 如图②， ， 与互补， 连接， ， 是的中点，求证： （3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若， 延长交于点， ，求的面积． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 【题型12】动点背景全等存在性探究 1.核心知识点   动态几何素养，结合动点运动规律，用代数式表示动态线段长度；根据全等对应关系分类讨论，求解动点存在性问题。 2.解题方法技巧   ① 设动点运动时间，用含参数的式子表示变化的线段长度；   ② 分情况讨论全等对应关系，避免漏解、错解；   ③ 结合动点运动范围，检验解的合理性，舍去无效结果。 【例题12】.（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，为高，，．点E为上的一点，，连接，交于点O，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)有一动点Q从点A出发沿射线以每秒6个单位长度的速度匀速运动，设点Q的运动时间为t秒． ①_______（用含t的代数式表示），_______； ②当的面积为27时，请求出t的值； (3)在（2）的条件下，动点从点O出发沿线段以每秒2个单位长度向终点B匀速运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线上的一点，且，当与全等时，请直接写出t的值． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿边向终点运动；动点从点出发沿边向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，设运动时间为秒，当点到达终点时，点也随之停止运动． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)分别过点和点作于点，于点，则当________秒时，与全等． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【变式题12-3】.（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 易错点 1、混淆夹角与对角，误用SSA（两边及一边对角）判定三角形全等，忽略SAS定理的夹角核心要求。 2、混淆ASA与AAS定理，无法区分夹边与对边，导致定理选用错误、证明逻辑出错。 3、误将AAA（三角对应相等）作为全等判定依据，仅能判定三角形相似，无法判定全等。 4、使用HL定理时，忽略直角三角形前提，随意套用定理判定普通三角形全等。 5、开放题、动点题中对应关系考虑不全面，遗漏分类讨论情况，出现漏解。 6、证明书写不规范，未按定理顺序罗列条件，对应顶点字母错位，推理依据缺失。 重点 1、熟练掌握SAS、ASA、AAS、SSS、HL五大全等判定定理，精准区分各定理的适用条件与核心要素。 2、能快速挖掘图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行线等角），独立完成全等证明。 3、掌握线段和差、角度转化的基础推理方法，能结合全等性质完成边角计算与简单证明。 4、理解三角形稳定性原理，能解决生活中的实际应用问题，具备基础数学建模能力。 5、规范几何证明书写格式，逻辑严谨、步骤完整，符合初中几何答题规范。 难点 1、复杂图形中多组三角形共存时，精准筛选目标全等三角形，梳理多层边角等量关系。 2、辅助线构造全等三角形，掌握截长补短、倍长中线等进阶方法，突破无直接全等条件的题型。 3、动点、网格、跨学科新型情境题型，完成几何建模与分类讨论，培养动态几何思维。 4、二次全等递进式证明，构建完整多层推理链条，综合运用多个定理解决复杂几何问题。 5、开放型探究题，逆向推导全等条件，多角度分析问题，培养几何推理与创新思维。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图所示，已知，则不一定能使的条件是（     ） A． B． C． D．平分 2．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 3．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 5．如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 6．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 三、解答题 7．如图，点在的角平分线上，、分别在、上，且．求证：． 8．证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 9．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 10．在中，为的角平分线． (1)如图，．求证：； (2)若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $