3.1.1 函数的概念（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1 函数的概念（第1课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 函数的基本性质 函数的单调性与最大值 奇偶性 幂函数 幂函数 函数的应用（一） 函数的应用 本章知识框图 函数的概念 函数的表示法 对勾函数与飘带函数 课标要求 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和 对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 （参见案例２），体会集合语 言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简 单函数的定义域。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 （如图象法、 列表法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用。 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 03 01 02 通过对给定的函数解析式增加对应情境的过程，体会函数的实际作用，提高数学建模的核心素养. 能用“变量说”判断具体实例中的函数关系，能用“对应关系说”的语言描述具体实例，能归納具体实例的共性进而抽象出函数概念，明确定义域、对应法则、值域是函数的三要素，发展数学抽象、逻辑推理的素养 课时教学目标 知道对应法则可以用解析式、图象、表格等形式呈现，体会引入符号f 表示对应法则的必要性，能说出符号 y = f ( x ) ， x ∈ A 的含义. 环节一 新课导入 天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化 一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低 我国高速铁路营业里程逐年增加 客观世界中有各种各样的运动变化现象 这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律 问题1：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．同学们是否还记得初中函数是怎样定义的呢？ 环节一 新课导入 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，就说是的函数.其中是自变量，是因变量. 环节一 新课导入 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，就说是的函数.其中是自变量，是因变量. 问题2：正方形的周长与边长的对应关系是，而且对于每一个确定的都 有唯一的与之对应，所以是的函数．这个函数与正比例函数相同吗？ 中，边长的取值范围为正实数 正比例函数中，自变量的取值范围为全体实数 是否相同 均满足函数定义，无法判断是否相同 要解决这一问题，就需要进一步学习函数概念． 环节二 新课探究 问题3：某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程(单位：)与运行时间(单位：)的关系如何表示？ 这是一个函数吗？ 这里，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有确定的路程的值与之对应，所以 是的函数. 思考：有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到后，运行1h就前进了”，你认为这个说法正确吗？ 不正确，时间有取值范围 环节二 新课探究 问题4： S和的取值集合是怎么样的？如何更加精准地集合语言来表述 S与t 的函数关系？ 的变化范围是数集 S=350t 自变量的集合 函数值的集合 对应关系 对于数集中的任一时刻，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程和它对应. 的变化范围是数集 环节二 新课探究 问题5：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资(单位：元)是他工作天数的函数吗？ 显然，工资是一周工作天数的函数，其对应关系是 ② 其中，的变化范围是数集 的变化范围是数集 对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系， 在数集中都有唯一确定的工资与它对应. 追问：你能仿照问题4中对S和t的对应关系的精准刻画，给出这个问题中w与d的精准表示吗？ 环节二 新课探究 的变化范围是数集 思考：问题4和问题5中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 的变化范围是数集 S=350t 的变化范围是数集 的变化范围是数集 自变量取 值范围不同 对应关系相同 函数值的取 值范围不同 故不是同一个函数 环节二 新课探究 问题6：下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数()变化图.你认为这里的是的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述和的对应关系吗？ 的变化范围是数集 在数集 对于数集中的任一时刻，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定与之对应.因此，这里的是的函数. 环节二 新课探究 问题7：国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况.你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ : ； : 对于数集中的任意一个年份，根据表所给定的对应关系， 在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应.所以，是的函数. } 环节二 新课探究 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合 问题4 问题5 问题6 图象 问题7 表格 } 环节二 新课探究 问题8：上述问题１～问题４中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 上述问题的共同特征有： (1) 都包含两个非空数集，用，来表示； (2) 都有一个对应关系； (3) 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应. 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系. 环节二 新课探究 函数的概念 设，是非空的实数集，如果对于集合内的任意一个数，按照某种确定的关系，在集合中有唯一确定的数与它对应，那么就称为从集合到集合上的一个函数，记作： 自变量 x的取值范围A: 函数的定义域 与x的值相对应的y值: 函数值 函数值的集合函数的值域 值域是集合B的子集 我们把函数的定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. 环节二 新课探究 1.函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以当函数的定义域和对应关系相同时,值域也必定相同. 2.理解函数的概念应关注三点: 说明： ① 函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集中的任意一个(任意性)数,在非空数集中都有(存在性)唯一(唯一性)的数与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数; ②仅仅是函数关系的符号表示,不是表示“等于与的乘积”, f(x)也不一定就是解析式; ③除外,有时还用等符号来表示函数. 环节三 应用新知 例1 用新的函数定义重新刻画初中所学的一次函数、二次函数与反比例函数，刻画时需要注意什么？ 定义域与值域均为： 对应关系为： 对于R中的任意一个数x,在对应关系下， 在实数R存在唯一实数与之对应 也就是说：对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax+b． 环节三 应用新知 例1 用新的函数定义重新刻画初中所学的一次函数、二次函数与反比例函数，刻画时需要注意什么？ 也就是说：对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数 定义域 值域 对于R中的任意一个数x,在对应关系下， 在集合B中存在唯一实数与之对应 环节三 应用新知 例1 用新的函数定义重新刻画初中所学的一次函数、二次函数与反比例函数，刻画时需要注意什么？ 定义域 值域均为： 对应关系为： 对于中的任意一个数x,在对应关系下， 在内存在唯一实数与之对应 也就是说：对应关系 f 把中的任意一个数x， 对应到中唯一确定的数． 例2 环节三 应用新知 解：把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是 对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数. 如果对的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么 其中，的取值范围是，的取值范围是. 对应关系把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积. 规律小结 环节三 应用新知 构建问题情境的步骤： (1)综合考虑构建具体的实际问题． (2)赋予每个变量具体的实际意义． (3)根据变量关系，设计出所求的实际问题． 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 环节四 新知拓展——函数关系的判断 例3 环节四 变式训练 新知拓展——函数关系的判断 【答案】AC 环节四 变式训练 新知拓展——函数关系的判断 【答案】ABC 环节四 新知拓展——函数关系的判断 例4 【答案】C 环节四 变式训练 新知拓展——函数关系的判断 【答案】B 环节四 变式训练 新知拓展——函数关系的判断 【答案】AB 环节四 新知拓展——函数关系的判断 规律小结 (1)根据函数的概念判断 (2)根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 判断一个对应关系是否为函数的方法 环节五 归纳小结 环节六 作业布置 巩固作业：教科书第P63-64页练习第1,2,3,4题 教科书第73页习题3.1第8,10,14题 感谢聆听 函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等． 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述 下列变量关系． 解：(1)设矩形的一边长为，另一边长为，那么. 其中的取值范围，的取值范围， 对应关系把每一个矩形的一边长，对应到唯一确定的另一边长. 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述 下列变量关系． 解：(2)设矩形的一边长为，周长为，那么. 其中的取值范围，的取值范围， 对应关系把每一个矩形的一边长，对应到唯一确定的另一边长. 已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述 下列变量关系． 解：(3)设矩形的一边长为，对角线长为，那么. 其中的取值范围，的取值范围， 对应关系把每一个矩形的一边长，对应到唯一确定的另一边长. 下列对应关系是否为A到B的函数？ (1) ，；(2) ， ； (3) ； (4) . 解：（1） 中的任一元素按照对应关系，在 中都有唯一确定的元素与之对应， 故此对应关系是集合 到集合 的函数． （2） 中的元素 在 中没有对应元素，故此对应关系不是集合 到集合B的函数． （3） 中元素负数没有平方根，故在 中没有对应的元素，且 不一定是整数， 故此对应关系不是集合 到集合 的函数． （4）对于集合 中任意一个实数 ，按照对应关系 ， 在集合 中都有唯一一个确定的数 与它对应，故是集合 到集合 的函数． 1、下列对应中是函数的是（    ）． A． ，其中， ， B． ，其中 ， ， C． ，其中y为不大于x的最大整数， ， D． ，其中 ， ， 2、已知集合 ，集合，则下列对应关系中，可看作是从 到 的函数关系的是（    ） A． ： B． ： C． ： D． ： 设集合 ，，那么下列四个图形中，能表示集合 到集合 的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 1、下列图形中，不能表示以 为自变量的函数图象的是（    ） A．B．C． D． 2、下列从集合 到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f： 为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 定义域 _ x _的取值范围是A 值域 与x的值相对应的y值的集合是 $