精品解析：陕西咸阳市秦都区咸阳彩虹学校2026-2027学年度第一学期课后综合作业(一) 八年级数学(北师大版)

2026-2027学年度第一学期课后综合作业（一） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像…等有这样规律的数． 【详解】解：A、3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根， 算术平方根定义为非负数的非负平方根，因此9的算术平方根应为非负数． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选：B． 3. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 4. 下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据勾股定理的逆定理和三角形三边关系，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，本选项符合题意； C、，不能构成三角形，本选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，本选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； B选项，，计算错误； C选项，，计算正确； D选项，，计算错误． 6. 如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．利用勾股定理求得的长，再根据数形结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴点所表示的数为． 故选：C． 7. “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 【答案】A 【解析】 【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 8. 如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 10 D. 19.2 【答案】B 【解析】 【分析】判定 为直角三角形，利用等面积法求解． 【详解】解：， ， ， ， 在 中，， ， 且 ， ， ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 若是无理数，且，则可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，题目要求为无理数且满足， ∴只需写出一个符合范围的无理数即可， ∵，满足，且是无理数， ∴可以取． 11. 如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，算术平方根，由题意可知：，，代入计算正方形的面积，然后利用算术平方根即可求解，熟练勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：，， ∵正方形、、的面积依次为，，， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 12. 王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 13. 如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数． 【详解】解：在中，，，， ∵，即， ∴为直角三角形且． 过点C作交AB于点M，则，如下图所示， ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 14. 如图，四边形中，，，，连接，，垂足为，，是边上的一动点，则的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理求出的长，等角的余角相等，得到，垂线段最短结合角平分线的性质，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的一动点， ∴当时，最小， ∵，，， ∴； 故答案为：4． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可． 【详解】解： ． 18. 如图，三角形的三个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）的长为_________，的长为_________； （2）判断是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）， （2）是直角三角形， 由题意得，， 由（1）可得， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 略 19. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个数的立方根． 【答案】 这个数的立方根为 【解析】 【分析】由正数的两个平方根互为相反数列方程求，再计算该正数的立方根.． 【详解】解： ∵ 一个正数的两个不同平方根分别是和，且正数的两个平方根互为相反数 ∴ 解得 ∴ ∴ 这个正数为 ∴ 这个数的立方根为 ． 20. 如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，求正方形的面积． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，即可求出正方形的面积． 【详解】解：， ， 正方形的面积． 21. 小悦和小西利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小西从40米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度（单位：m）和下落时间（单位：s）可以用公式来表示． （1）请利用公式，求的值； （2）实验后，小西对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”请通过计算说明小西的说法是否正确． 【答案】（1） （2） 解：小西的说法不正确， 计算说明如下： 将代入，得， ，， ，即小西的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）将代入给定公式计算； （2）先计算的值，再与比较，判断说法是否正确． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 略 22. 2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，．，．如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】小亮跑的路线更短 【解析】 【分析】由勾股定理求得，的长度，求和的长度，比较即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 而， ∵， ∴， ∴小亮跑的路线更短． 23. 某班将在学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图①样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积是2，每个B类正方形的面积是4． （1）A类正方形的边长是_________； （2）求图①长方形邀请函的周长； （3）小李建议将图①正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含义，如图②所示，求修改后的阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，则长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解即可； （3）利用大长方形面积减去A和B的面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是； 【小问2详解】 解：∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴长方形邀请函的周长为； 【小问3详解】 解： ． 24. 如图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成的．连接，，若，． （1）求线段的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】（1） （2）不是直角三角形，理由如下： 中，， ． 在中，， ． 又由（1）知， ． ，即， 不是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，再根据勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理求出，，由（1）知，继而推导出，即可解答． 【小问1详解】 解：四个直角三角形全等，且， ， ， 在中，由勾股定理得： ； 【小问2详解】 略 25. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； （2）推算出的长； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的数字规律探索及二次根式的运算．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． （1）利用的值和变化规律直接得出答案即可； （2）根据勾股定理，结合（1）中规律即可求出； （3）根据总结的规律计算，得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， 在中，， …… ∴； 【小问3详解】 解： ． 26. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）． 则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________． （2）利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）． （3）若，且均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）， （2）4，2，1，1（答案不唯一） （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得解； （2）令，，则，，由此即可得解； （3）由（1）可得：，，从而得出，且，为正整数，计算可得，或，，再分情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：令，，则，， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）可得：，， ∵， ∴，且，为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期课后综合作业（一） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 3. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列以，，为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（ ） A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺 8. 如图，在中，，，，为边延长线上一点，．若，则的长为（ ） A. 4.8 B. 9.6 C. 10 D. 19.2 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：___________． 10. 若是无理数，且，则可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 11. 如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为______． 12. 王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 13. 如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________． 14. 如图，四边形中，，，，连接，，垂足为，，是边上的一动点，则的最小值是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 计算：． 18. 如图，三角形的三个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． （1）的长为_________，的长为_________； （2）判断是直角三角形吗？请说明理由． 19. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个数的立方根． 20. 如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，求正方形的面积． 21. 小悦和小西利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小西从40米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度（单位：m）和下落时间（单位：s）可以用公式来表示． （1）请利用公式，求的值； （2）实验后，小西对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”请通过计算说明小西的说法是否正确． 22. 2025年是“全运年”，第十五届全运会将于2025年11月9日~21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，．，．如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 23. 某班将在学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了图①样式的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积是2，每个B类正方形的面积是4． （1）A类正方形的边长是_________； （2）求图①长方形邀请函的周长； （3）小李建议将图①正中间的正方形去掉，以中间的“工”形代表“工作之星”的含义，如图②所示，求修改后的阴影部分的面积． 24. 如图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成的．连接，，若，． （1）求线段的长度； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由． 25. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； （2）推算出的长； （3）求的值． 26. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）． 则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________． （2）利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）． （3）若，且均为正整数，求a的值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $