河南省信阳高级中学(贤岭校区)2026-2027学年高一上学期9月阶段检测（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高一上期09月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A C B C D C AB AD ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可. （2）根据得到是的子集，分和两种情况计算，取并集即可. 【详解】（1）当时，，又或， 所以. （2）因为，所以是的子集. 当时，，解得. 当时，，解得，所以， 综上，. 16．(1) (2)． 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【详解】（1）由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 17．（1）；（2）. 【分析】将已知条件化简为，则通过分离常量和构造基本不等式可得，，借助基本不等式计算可得结果. 【详解】由，得， 则，，． （1） ， 当且仅当时取等号， 的取值范围是． （2）， 当且仅当时等号成立， 又，，，则， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查基本不等式法求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．(1)证明：设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． (2)①； ②存在，且最大值为. 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）①设，，则，，，在中，利用勾股定理可得出，再由三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，由求出函数的定义域，即可得出答案； ②利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，再验证成立，即可得出结论. 【详解】（1）设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以．    （2）①由题意可知矩形的周长为． 设，，则，，． 因为为直角三角形，所以，即， 解得， 从而， 所以， 由得可得， 因此，； ②因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，满足， 故当时，的面积取得最大值，最大值为. 19．(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【详解】（1），故， ， 故； （2）是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； （3）由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2026-2027学年高一上期09月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（     ）. A． B． C． D． 2．命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 3．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（     ） A．25 B．36 C．49 D．64 5．已知命题：，，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．已知，，都是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．8 D．9 7．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．设不大于的最大整数为，如.已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为2 C．的最小值为3 D．的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设集合，，且，则________. 13．关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是__________. 14．已知，为正实数，且满足，则的最大值为______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知集合，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17．（15分）已知，，，求： （1）的取值范围． （2）的取值范围． 18．（17分）已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 19．（17分）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $