精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期期末考试 数学试题 命题人：孙娟 审题人：许志城 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算化简即可求得在复平面内对应的点坐标，进而确定其所在象限. 【详解】由题意得，在复平面内对应的点为，位于第三象限. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，可得集合A，进而可得，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由题意可得，等价于，解得， 所以，故或， 所以， 故选：B. 3. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况，写出曲线所对应圆的标准方程，求出其圆心和半径，即可求得面积. 【详解】当时，，即.曲线表示以为圆心，为半径的圆，围成的面积为. 当时，，即.曲线表示以为圆心，为半径的圆，围成的面积为. 所以曲线围成的图形的面积为. 故选：B. 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，再利用等比数列的通项公式和求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得， 整理可得，即，解得， 所以. 故选：A. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知，都是第二象限角，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和余弦和角公式得到，结合角的范围，得到. 【详解】，即， 所以，， 又，都是第二象限角，故， ，故， 所以 故选：A 7. 设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】，结合条件，利用双曲线的定义可得，，由构成三角形的条件可得，即可求解. 【详解】如图，设， 由双曲线的定义知，所以，又，所以 又，，则，在中，， 由，得到，又，所以， 结合各个选项，A正确，B、C、D错误， 故选：A. 8. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法结合三角函数图象的列出限制条件可得答案. 【详解】令, 则等价于有两个根， 由于时，有唯一个根, 而时，有两个根； ∴函数在区间恰有2个零点， 等价于与有一个公共点，如图， 则且，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 B. 展开式的系数和为0 C. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等． D. 若X是随机变量，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用分步乘法原理，明确是10个乘客每人独立面临5种选择，得出总方式为种， 对于B，利用赋值法，直接令多项式中的变量，即可计算出展开式的全部系数之和，对于C，利用等差数列的对称性，说明其平均数和中位数在数值上必然重合并等于首末两项和的一半，对于D，利用方差非负的性质，结合方差计算公式移项即可证明. 【详解】对于A， 由分步乘法原理得乘客下车的可能方式有种，故A错误， 对于B，令得，故B正确， 对于C，对于等差数列，其平均数为， 若项数为奇数，设为正整数，此时中位数为， 则，即，整理得，此时中位数等于平均数， 若项数为偶数，设，此时中位数为， ，代入中位数得中位数为， 此时中位数等于平均数，故C正确， 对于D，因为，即，故D正确. 10. 如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于30° 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆台的基本概念，线面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由母线的概念可知，不是母线，所以A错误； 如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点， 连接， 可知，因为，所以， 因为为中点，为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面，所以， 因为为中点，所以，所以B正确； 因为平面，所以，因为， 又因为面，面，， 所以平面，所以，所以C正确； 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以面， 所以平行于平面与平面的交线， 因为平面，， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 可知，所以D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过导数求切线方程，进而可得，所以A正确；对于B，需要构造，再用导数证明可得结果；对于C，根据两点间的距离公式，再结合不等式即可判断；对于D，先计算，再结合等差数列的性质即可得结果. 【详解】由函数，得. 对于A：过点作曲线的切线为：. 又因为切线交x轴于，代入上述切线，得， 即， 故数列是等差数列，所以A正确； 对于B：由上可知，即.又， 所以，. 要证，只需证明：， 令，. 当时，单调递减；当时，单调递增； 所以函数，所以恒成立， 故成立，所以B正确； 对于C：， 同理，. 由数列是等差数列，设公差为，. 所以，，. 所以 . 即，故C错误； 对于D：因为中，， 所以三角形底边长为，高为， 所以三角形的面积， 同理，且数列是等差数列，. 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从中任取两个数字，从中任取两个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数． 【答案】756 【解析】 【分析】利用加法原理，分为不取0与取0两种，然后分别讨论能够组成没有重复数字的四位数的个数即可. 【详解】若不取0，则可以组成个没有重复数字的四位数； 若取0，则可以组成个没有重复数字的四位数， 于是可以组成个没有重复数字的四位数. 13. 设函数，若，则的取值集合为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的单调性分析得出两函数的零点必须重合才能满足题意，于是即可求解. 【详解】由题可得函数定义域为 因为，所以需同号. 因为两个函数均单调增，且值域为， 所以的零点必须重合，设此时零点为， 所以，即，解得. 14. 已知为抛物线上两个不同的动点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点、在抛物线上，化为，设出直线方程，利用韦达定理化简得到一元二次函数，即可求出最小值. 【详解】由在抛物线上可知：， 所以； 同理可得：， 故①， 设直线方程为，直线与抛物线联立，有： 消去整理有：， 由韦达定理有：，又， 故①式化为：，故： 的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：要求的最小值，关键在于结合点在曲线上，化为，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出双曲线的方程，再与直线联立，结合韦达定理求解即可； （2）由，可得，分别代入双曲线方程，求出点的坐标，再将点的坐标代入直线，求解即可. 【小问1详解】 由题意可知在双曲线中，，解得， 又因为，解得， 所以， 所以双曲线的方程为， 所以右焦点， 则直线方程为， ，得， 设且， 由韦达定理可得， 所以，即， 解得或； 【小问2详解】 因为， 即， 所以， 从而得， 又因为，， 所以， 整理得①， 又因为②， 由①②可得，， 即或， 将点代入直线方程， 得； 将点代入直线方程， 得； 综上，. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将向量数量积转化为，结合已知条件化简，利用正弦定理将边化为角，结合与三角恒等变换求，进而解得角. （2）由三角形内角和求角，用面积公式得的关系，结合正弦定理将用表示，代入化简求即可. 【小问1详解】 由已知得，且三角形边长大于零，则， 又由正弦定理（为外接圆半径）， 所以，而在中， 所以， 即，整理得， 又，所以，则，所以. 【小问2详解】 由已知，，则， 由三角形的面积公式，已知，， 则，即. 又由正弦定理，可得， 而，， 所以， 解得或（边长不能为负，舍去）， 所以. 17. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【小问1详解】 由题意， 得. 【小问2详解】 由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 【小问3详解】 设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 18. 如图，在四面体中，，． （1）求证：； （2）已知点在平面内，直线平面，，过点作平面分别与棱交于点，且四边形为平行四边形． （ⅰ）求证：三棱锥为正三棱锥; （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点，连接，因为， 所以三角形为等腰三角形，故， 因为，所以三角形为等腰三角形，故， 因为，， 平面， 所以平面， 又因为平面，所以有． （2）（i）因为平面，平面， 所以，由（1）知， 又因为平面且, 故平面， 所以平面和平面是同一平面， 所以点在平面内， 过点作线段于点， 由,可知三角形为等腰三角形， 所以为中点，在线段的垂直平分线上， 又由于在线段的垂直平分线上， 所以为的外心， 由余弦定理有， 故，故由圆心角性质知， 所以为等边三角形，为的中心， 所以点在底面的投影为底面中心， 故由正棱锥定义有为正三棱锥， （ii） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由线面垂直的判断定理可得平面，再由性质定理即可得证明； （2）（ⅰ）由线面垂直的判定定理可得点在平面内，由,可得为的外心，利用余弦定理可求得，从而可得点在底面的投影为底面中心，即可得证；（ⅱ）以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）略； （ⅱ）由（i）可知， 因为，故， 同理可得两两垂直． 以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 由题有，且， 因此平面，平面， 设平面的一个法向量为， 则，取， 故所求正弦值即为． 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； （3）若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出切点，再求导求出斜率，写出点斜式方程，即可求出a的值； （2）赋予一个a的值，使得导函数仅有一个零点即可； （3）由题目条件可知 恒成立 ，通过分析的取值范围得到 的最大值，进而求出使不等式对任意的成立时b的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 切点，斜率， 切线方程：， 代入，解得：. 【小问2详解】 取，存在唯一的极值点在存在唯一的变号零点， 当时，记， 又， 所以在存在唯一的变号零点， 当时，，无零点， 故在存在唯一的变号零点. 【小问3详解】 恒成立 ，下面研究 的最大值． 当 时， 由（2）知存在唯一的 使得 ， 且 在 上单调递增， 上单调递减，即 ， 当 时， 若 ，则 ，当 时， ， 当 时， ，而 ， 若 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，而 ， 结合知 ， 所以 ， 因为与是对应关系，故存在实数满足不等式恒成立， 即满足存在实数，使，即， 记， 有，当时，单调递减， 当时，单调递增，即， 故的最小值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省泰州中学高三上学期期末考试 数学试题 命题人：孙娟 审题人：许志城 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是第二象限角，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 B. 展开式的系数和为0 C. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等． D. 若X是随机变量，则 10. 如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（ ） A. 为母线 B. C. D. 平面与平面的夹角等于30° 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从中任取两个数字，从中任取两个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数． 13. 设函数，若，则的取值集合为______． 14. 已知为抛物线上两个不同的动点，且满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 17. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 （1）经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; （2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; （3）在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 18. 如图，在四面体中，，． （1）求证：； （2）已知点在平面内，直线平面，，过点作平面分别与棱交于点，且四边形为平行四边形． （ⅰ）求证：三棱锥为正三棱锥; （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线过点，求a的值； （2）试给出a的一个整数值，使存在唯一的极值点，并说明理由； （3）若存在，使不等式对任意的成立，求b的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $