精品解析：江苏徐州市第三中学2026届高三上学期12月学情调研数学试题

2026届高三上学期12月学情调研 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数为虚数单位)的共轭复数为，则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. -i D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求z，再根据共轭复数写出虚部. 【详解】因为，所以它的共轭复数，其虚部为1. 故选：B. 2. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若“”，则两边平方得，即， 所以，充分性不成立； 若“”，则、同号，故“”，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解. 【详解】由题意得， ，所以展开式的通项为 令 ，所以展开式中的常数项为． 故选：A. 4. 已知直线与抛物线相切，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，得到一个一元二次方程，根据，即可求出答案. 【详解】联立，可得， 因为直线与抛物线相切，所以有，解得． 故选：D． 5. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质：等比数列的片断和成等比数列求解． 【详解】设，则， 因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为， 所以，即， 所以. 故选：B. 7. 已知平面向量满足：，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据可知垂直，为单位向量，设出向量的坐标，借助坐标及三角函数恒等变换求解. 【详解】因为，所以，为单位向量， 故可设， 则， 两式相加得， 即（其中）， 所以，解得， 所以. 8. 已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】设弦的中点为，连接，依题意，可得如下图形， 由圆的性质可知，则即为二面角的平面角， 故， 四面体的体积为 ， 其中 ，当且仅当时取等号， 由球的截面性质，，， 所以四点共圆，则有外接圆直径， 从而， . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为 C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递减区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出的解析式，根据三角函数的性质即可逐一判断各选项. 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后可得 函数的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度， 得到函数的图象. 对于A，的最小正周期为,A错误； 对于B，令，可得，解得，B正确； 对于C，令，解得，C正确； 对于D，令，解得，D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递减 C. 有且仅有三个零点 D. 有5个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断A；讨论、并写出对应解析式，应用导数研究单调性判断B；根据及其单调性画出草图，数形结合判断C；由题设有或0或1，结合，，数形结合判断D. 【详解】由函数定义域为，则为奇函数，A正确； 当时，，， 所以，故在，上单调递增； 当时，，， 所以，令，解得， 则当，， 则在，内单调递减，在内单调递增，B错误； 根据函数解析式，易得，结合B分析函数大致图象如下， 结合图象，知有且仅有三个零点，C正确； 若，则或0或1，又，， 结合函数的图象，有1个解，有3个解，有1个解，共有5个解，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D，复合函数判断解的个数问题，需要逐层分析，结合，问题化为或0或1，共有5个解，再应用数形结合判断． 11. 已知正方体的棱长为，为的中点，点满足，则（ ） A. 存在点使得 B. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 C. 当时，平面截正方体所得截面的面积为 D. 与平面所成的角等于 【答案】BC 【解析】 【分析】假设，由线面垂直的判定与性质可知，显然不成立，知A错误；根据线面平行关系可知，得B正确；作出截面矩形，可求得C正确；将问题转化为与平面所成角求解，利用体积桥可求得到平面的距离，由此可得D错误. 【详解】对于A，假设存在点，使得， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，显然与不垂直， 假设错误，即不存在点，使得，A错误； 对于B，分别为中点，， 平面，平面，平面， ，， 为定值，点到平面的距离为定值，为定值， 即三棱锥的距离为定值，B正确； 对于C，延长交于点， ，，，即为中点，与重合； 取中点，连接， ，四点共面，又， 平面即为平面， 则平面截正方体所得截面为， 截面面积，C正确； 对于D，，与平面所成角即为与平面所成角， 设点到平面的距离为，与平面所成角为， ，，， ，解得：， ，则，D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的动点问题，B选项判断三棱锥体积是否为定值的基本求解思路是根据线面平行关系，利用体积桥将所求三棱锥体积转化为顶点确定的三棱锥体积问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________． 【答案】92 【解析】 【分析】利用百分位数的定义规则计算. 【详解】这组数据从小到大排列为， ，所以这组数据的第70百分位数是第6个数据，即92. 故答案为：92 13. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 【答案】5 【解析】 【分析】先分析出的可能取值，再利用超几何分布求每个取值的概率，再用数学期望公式求出，进而求得. 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 14. 双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线定理、、双曲线的定义可得，再由切线长定理、双曲线的定义得点为双曲线的右顶点，过点作轴于点，根据相似比可得，再利用面积得出，将点坐标代入双曲线方程中即可. 【详解】设双曲线的半焦距为c，I是的内心，连接，则平分， 因，则， 由角平分线定理得，同理可得， ，， ，得， 又，所以，，， 设的内切圆分别切边，，于点D，E，G， 则由切线长定理得，，， 所以， 又因为，所以，， 即点为双曲线的右顶点，则轴， 过点作轴于点，连，得， ，所以， 又因为，所以，即， 所以，得，解得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可 （2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，可得， 又由， 得，即， 进而有，即 可得， 又因为，可得； 【小问2详解】 由题意得，解得， 所以， 所以， . 故的取值范围为 16. 已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用得出的通项公式，再结合基本量运算得出的通项公式； （2）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 ，， 当时，，可得， 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为q的等比数列，， 可得，，则，即，∴， 所以； 【小问2详解】 ， 前n项和为． 17. 如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 连接，，则且为的中点， 又∵为的中点，∴， 又平面，平面， 故平面． （2）. 【解析】 【详解】（1）略； （2）由平面，得，． 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，，， ，，． 取平面的一个法向量为， 由，得： ，令，得 同理可得平面的一个法向量为 ∵平面平面，∴ 解得，得，又， 设直线与平面所成角为，则 . 所以，直线与平面所成角的正弦值是． 18. 已知椭圆的右顶点为M，左、右焦点分别为，离心率为为E上任意一点，且． （1）求E的方程． （2）设过点的直线l与E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合）．以线段为直径的圆恒过点M，求t的值； （3）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似此．已知椭圆与椭圆相似．若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值； 【答案】（1） （2） （3）证明：对于椭圆，则长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 由相似比可知，，解得，所以椭圆， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以． 又点在椭圆上，所以，所以， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意易求得，进而可求得椭圆方程； （2）设直线l的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系可求得，，由，可得，求解即可； （3）由题意可得，从而得到椭圆，设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据，即可求得结论. 【小问1详解】 椭圆的半焦距为， 因为为E上任意一点，且，所以，解得， 又因为椭圆的离心率为，所以，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线l的方程为，， 由，消去，得， 所以， ，，所以， ， 因为以线段为直径的圆恒过点， 所以，即， 所以， 即，即， 解得或（舍去），满足，所以； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，增区间为；减区间为；； 当时，增区间为； 当时，增区间为；减区间为； 当时，增区间为；减区间为． （3） 【解析】 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性； （3）计算的两个极值点，由韦达定理结合可解出两个极值点的范围，构造函数计算的最小值，从而求出k的取值范围. 【小问1详解】 因为，∴切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； 【小问2详解】 ∵＝， 当时，增区间为；减区间为； ①当，即时，，增区间为． ②当，即时，， 令得，或；令得，． 所以当时，增区间为；减区间为； ③当，即时，令得，或； 令得，． 所以，增区间为；减区间为； 综上，当时，增区间为；减区间为；； 当时，增区间为； 当时，增区间为；减区间为； 当时，增区间为；减区间为． 【小问3详解】 函数， 所以，由，得， 依题意方程有两不相等的正实根， ∴， ∴，又，则，解得或， 因为且，所以， ∴， 构造函数， ， ∴F（x）在上单调递减； 当时，， 所以． 【点睛】关键点点睛：含有参数的函数计算极值点时，常借助于韦达定理，由韦达定理表示两根与参数的关系，可减少变量，也可消参，代入所求从而减少变量构造函数，以达到可计算的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三上学期12月学情调研 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数为虚数单位)的共轭复数为，则的虚部是（ ） A. -1 B. 1 C. -i D. i 2. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若二项式的展开式中二项式系数和为 64 ，那么该展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 20 4. 已知直线与抛物线相切，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量满足：，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为 C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递减区间为 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递减 C. 有且仅有三个零点 D. 有5个实数解 11. 已知正方体的棱长为，为的中点，点满足，则（ ） A. 存在点使得 B. 若为的中点，则三棱锥体积为定值 C. 当时，平面截正方体所得截面的面积为 D. 与平面所成的角等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________． 13. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 14. 双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 16. 已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的右顶点为M，左、右焦点分别为，离心率为为E上任意一点，且． （1）求E的方程． （2）设过点的直线l与E有两个不同的交点A，B（均不与点M重合）．以线段为直径的圆恒过点M，求t的值； （3）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似此．已知椭圆与椭圆相似．若椭圆与椭圆的相似比为，设P为上异于其左、右顶点的一点．当时，过P分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值； 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $