专题26 双曲线与抛物线的标准方程与几何性质 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题26　双曲线与抛物线 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题26　双曲线与抛物线的标准方程与几何性质 一、核心知识 1．双曲线的定义：平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 2a（）的点的轨迹；这两个定点叫焦点，两焦点间的距离叫焦距。 2．标准方程（中心在原点）：焦点在 轴上为 （，）；焦点在 轴上为 。 3．参数关系：，其中 是实半轴长、 是虚半轴长、 是半焦距，且 、。 4．几何性质：顶点为 ，焦点为 ，实轴长 2a、虚轴长 2b、焦距 2c。 5．离心率 ； 越接近 1 开口越小， 越大开口越阔； 时为等轴双曲线，。 6．渐近线：焦点在 轴上时为 ；焦点在 轴上时为 ；等轴双曲线的渐近线为 。 7．抛物线的定义：平面内到一个定点 F 和一条定直线 （F 不在 上）距离相等的点的轨迹；F 叫焦点， 叫准线。 8．标准方程四种形式（）： 开口向右、 开口向左、 开口向上、 开口向下。 9． 的几何意义：焦点到准线的距离； 的焦点为 ，准线为 。 10．焦半径公式：抛物线 上一点 满足 ； 上满足 。 11．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为 2p，是抛物线最短的焦点弦；焦点弦长可写成 （ 为直线的倾斜角）。 12．位置关系的判定：联立直线与曲线方程消元，二次项系数不为 0 时用判别式判断；二次项系数为 0 时要单独讨论，此时常只有一个公共点但并非相切。 二、题型精练 题型一　双曲线的定义与标准方程 【方法与技巧】 用定义求方程：先由 2a、2c 确定 、，再由 求 ，最后按焦点位置写出标准方程。 焦点位置看正项： 项系数为正时焦点在 轴上， 项系数为正时焦点在 轴上。 已知渐近线求方程可用待定系数法：设 （），再代入已知点求 。 【例题精讲】 1．双曲线 的实半轴长为（　　） A．3 B．4 C．9 D．5 2．双曲线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．已知双曲线的焦点为 、，且经过点 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．双曲线 的虚轴长为（　　） A．6 B．3 C．8 D．4 2．双曲线 的焦点在（　　） A． 轴上 B． 轴上 C．坐标原点 D．无法确定 3．双曲线 的焦距为（　　） A．10 B．5 C．8 D．6 4．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 5．若方程 表示双曲线，则 应满足（　　） A． B． C． D． 6．已知双曲线的渐近线方程为 ，且经过点 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．双曲线 的焦距为（　　） A．6 B．3 C．2 D．4 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 的实轴长为（　　） A．6 B．3 C．8 D．4 4．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 5．中心在原点、焦点在 轴上，且 、 的双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 6．双曲线 的两焦点间的距离为 10，且 ，则 （　　） A．3 B．6 C． D．9 7．已知双曲线 的离心率为 ，则 （　　） A．4 B．3 C．5 D． 8．若双曲线经过点 和 ，且其焦点在 轴上，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 题型二　双曲线的几何性质与离心率 【方法与技巧】 离心率 ，结合 得 ，故 且由 唯一确定。 求离心率的通法：由题设列出 、、 的齐次关系式，代入 后化为关于 的方程，再在 内求解。 渐近线斜率的绝对值给出 ，从而 ；反过来由 也可求渐近线方程。 【例题精讲】 1．双曲线 的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 2．焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 3．已知双曲线 （，）的一条渐近线为 ，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．若双曲线的离心率为 ，则它是（　　） A．等轴双曲线 B．焦点在 轴上的双曲线 C．开口很小的双曲线 D．不存在的曲线 3．等轴双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4．双曲线 的离心率为 2，则 （　　） A． B．3 C． D． 5．双曲线 的渐近线与实轴所成的角为 ，则其离心率为（　　） A．2 B． C． D． 6．双曲线 的焦距为（　　） A． B．2 C． D．4 【巩固练习】 1．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 4．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．若双曲线 的离心率为 3，则 （　　） A． B．8 C． D．2 6．双曲线 的一条渐近线为 ，则 （　　） A．3 B．2 C．6 D． 7．已知双曲线 的离心率为 ，且 ，则 （　　） A．3 B．4 C．5 D． 8．双曲线 的两条渐近线的斜率之积为（　　） A． B． C． D． 题型三　抛物线的定义与标准方程 【方法与技巧】 由定义可知抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离，常用来把“到焦点的距离”转化为“到准线的距离”。 标准方程有四种形式： 与 （），看一次项是 还是 确定对称轴，看系数正负确定开口方向。 焦点在对称轴正向上： 的焦点为 、准线为 ； 的焦点为 、准线为 。 【例题精讲】 1．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 3．焦点为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B．1 C．4 D．8 4．若抛物线的准线方程为 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 （）上一点 P 到焦点的距离为 5，且 P 的横坐标为 3，则 （　　） A．4 B．2 C．6 D．10 6．抛物线 上横坐标为 1 的点到焦点的距离为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【巩固练习】 1．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 4．焦点为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 的通径长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 6．抛物线 上一点到焦点的距离为 9，则该点的横坐标为（　　） A．6 B．3 C．9 D．12 7．抛物线 上一点到焦点的距离为 3，则该点的纵坐标为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 8．若抛物线 （）的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．1 题型四　抛物线的几何性质与焦点弦 【方法与技巧】 焦半径公式： 上一点 满足 ； 上满足 。 通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，长为 2p，是抛物线所有焦点弦中最短的一条。 焦点弦常用“设直线 韦达定理”处理：设 与过焦点的直线联立，可得 、，且弦长 。 【例题精讲】 1．抛物线 的通径长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 2．过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线被抛物线截得的弦长为（　　） A．8 B．4 C．6 D．2 3．过抛物线 （）焦点的弦 AB，若 、，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．抛物线 上一点的横坐标为 2，则它到焦点的距离为（　　） A．4 B．2 C．6 D．8 2．抛物线 上两点 A、B 的横坐标之和为 6，若 AB 过焦点，则 （　　） A．8 B．6 C．10 D．4 3．抛物线 的焦点弦长为 8，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 上一点到准线的距离为 5，则该点的纵坐标为（　　） A．4 B．1 C．5 D．3 5．抛物线 的一条焦点弦的两个端点的横坐标之积为（　　） A．1 B．4 C． D．2 6．抛物线 （）上一点到焦点与到准线的距离之比为（　　） A．1 B．2 C． D． 【巩固练习】 1．抛物线 的通径长为（　　） A．6 B．3 C．12 D．2 2．抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 3，则 P 的横坐标为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 3．过抛物线 焦点的弦长为 8，则该弦中点的横坐标为（　　） A．3 B．2 C．4 D．1 4．抛物线 上一点到准线的距离为 2，则该点到焦点的距离为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 5．抛物线 （）的焦点弦长的最小值为（　　） A．2p B． C．4p D． 6．抛物线 上一点 ，则 （　　） A．2 B．1 C．3 D． 7．过抛物线 的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A、B，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．1 8．抛物线 的焦点弦 AB 满足 ，则弦 AB 的中点到准线的距离为（　　） A． B． C．3 D．4 题型五　直线与双曲线、抛物线的位置关系 【方法与技巧】 联立直线与圆锥曲线的方程消元，若二次项系数不为 0，用判别式 判断公共点个数： 两个、 一个、 没有。 消元后二次项系数为 0 时要单独讨论：此时常只有一个公共点，但直线并非切线（多与渐近线平行或与对称轴平行）。 弦长用 ，其中两根之和与积由韦达定理给出。 【例题精讲】 1．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 2．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 3．直线 与抛物线 只有一个公共点，则 （　　） A．0 或 1 B．1 C．0 D． 【变式训练】 1．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．没有公共点 B．有一个公共点 C．有两个公共点 D．有无数个公共点 2．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．无数 3．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．无数 4．与抛物线 只有一个公共点且平行于其对称轴的直线有（　　） A．无数条 B．1 条 C．2 条 D．0 条 5．直线 与抛物线 有两个公共点，则 满足（　　） A． B． C． D． 6．直线 与抛物线 相切，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 【巩固练习】 1．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 2．直线 与抛物线 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．过焦点 3．直线 与抛物线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 4．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 5．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 6．直线 与双曲线 只有一个公共点，则 （　　） A． 或 B． C． D．0 7．抛物线 与直线 相交于 A、B 两点，则 （　　） A．8 B． C．4 D． 8．抛物线 与直线 相交于 A、B 两点，则弦 AB 中点的横坐标为（　　） A．3 B．2 C．4 D．1 题型六　双曲线与抛物线的综合应用 【方法与技巧】 求最值常用函数思想：设参数把目标量化为二次函数（或关于参数的函数），再在允许的取值范围内求最值。 利用定义转化距离：抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离；双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为 2a。 “到焦点距离 到定点距离”的最小值常借助定义转化为“到准线距离 到定点距离”，再用几何关系（垂线段最短）求解。 【例题精讲】 1．抛物线 上一点 P 到点 的距离的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 2．抛物线 上一点 P 到焦点 F 与到点 的距离之和的最小值为（　　） A．4 B．3 C．5 D． 3．已知双曲线 上一点 P 到右焦点的距离为 2，则 P 到左焦点的距离为（　　） A．8 B．4 C．6 D．10 【变式训练】 1．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 2．抛物线 的焦点为 F，点 为定点，则 的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 3．抛物线 上一点到焦点的距离为 4，则该点到 轴的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．1 4．双曲线 上一点 P 到两焦点距离之差的绝对值为（　　） A．4 B．2 C．6 D．5 5．抛物线 （）上横坐标为 1 的点到焦点的距离为 3，则 （　　） A．4 B．2 C．6 D．1 6．若抛物线 的弦 AB 过焦点，且 ，则弦 AB 的中点到 轴的距离为（　　） A．3 B．2 C．4 D． 【巩固练习】 1．抛物线 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．6 2．抛物线 上纵坐标为 2 的点到准线的距离为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 3．抛物线 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 4．双曲线 的两焦点为 、，点 P 在双曲线上且 ，则 （　　） A．1 或 9 B．9 C．1 D．5 5．抛物线 上一点 P 到焦点 F 的距离为 2，则 P 的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，若 ，则 AB 中点的横坐标为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 7．抛物线 的顶点到准线的距离为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 8．抛物线 上一点 P 到准线的距离为 3，则 P 到焦点的距离为（　　） A．3 B．1 C．4 D．2 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 4．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 5．抛物线 上横坐标为 3 的点到焦点的距离为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 6．双曲线 的焦距为（　　） A．8 B．4 C．16 D．12 7．等轴双曲线 的离心率为（　　） A． B．2 C．1 D． 8．直线 与抛物线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【多项选择题】 9．关于双曲线 （，），下列说法正确的有（　　） A． B． C．渐近线为 D．实轴长为 2a 10．关于抛物线 （），下列说法正确的有（　　） A．焦点为 B．准线为 C．通径长为 2p D．开口向右 11．关于直线与圆锥曲线的位置关系，下列说法正确的有（　　） A．联立方程后可用判别式判断公共点个数 B．消元后二次项系数为 0 时需单独讨论 C．弦长可写成 D．与抛物线只有一个公共点的直线一定是切线 【填空题】 12．双曲线 的渐近线方程为　　　　。 13．抛物线 的焦点到准线的距离为　　　　。 14．抛物线 上一点到焦点的距离为 5，则该点的横坐标为　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题26　双曲线与抛物线 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题26　双曲线与抛物线的标准方程与几何性质 一、核心知识 1．双曲线的定义：平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 2a（）的点的轨迹；这两个定点叫焦点，两焦点间的距离叫焦距。 2．标准方程（中心在原点）：焦点在 轴上为 （，）；焦点在 轴上为 。 3．参数关系：，其中 是实半轴长、 是虚半轴长、 是半焦距，且 、。 4．几何性质：顶点为 ，焦点为 ，实轴长 2a、虚轴长 2b、焦距 2c。 5．离心率 ； 越接近 1 开口越小， 越大开口越阔； 时为等轴双曲线，。 6．渐近线：焦点在 轴上时为 ；焦点在 轴上时为 ；等轴双曲线的渐近线为 。 7．抛物线的定义：平面内到一个定点 F 和一条定直线 （F 不在 上）距离相等的点的轨迹；F 叫焦点， 叫准线。 8．标准方程四种形式（）： 开口向右、 开口向左、 开口向上、 开口向下。 9． 的几何意义：焦点到准线的距离； 的焦点为 ，准线为 。 10．焦半径公式：抛物线 上一点 满足 ； 上满足 。 11．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为 2p，是抛物线最短的焦点弦；焦点弦长可写成 （ 为直线的倾斜角）。 12．位置关系的判定：联立直线与曲线方程消元，二次项系数不为 0 时用判别式判断；二次项系数为 0 时要单独讨论，此时常只有一个公共点但并非相切。 二、题型精练 题型一　双曲线的定义与标准方程 【方法与技巧】 用定义求方程：先由 2a、2c 确定 、，再由 求 ，最后按焦点位置写出标准方程。 焦点位置看正项： 项系数为正时焦点在 轴上， 项系数为正时焦点在 轴上。 已知渐近线求方程可用待定系数法：设 （），再代入已知点求 。 【例题精讲】 1．双曲线 的实半轴长为（　　） A．3 B．4 C．9 D．5 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 2．双曲线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，焦点在 轴上，故为 。选 A。 3．已知双曲线的焦点为 、，且经过点 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上，；点 在实轴上说明 ，故 ，方程为 。选 A。 【变式训练】 1．双曲线 的虚轴长为（　　） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，虚轴长为 。选 A。 2．双曲线 的焦点在（　　） A． 轴上 B． 轴上 C．坐标原点 D．无法确定 【答案】A 【详解】 项系数为正，故焦点在 轴上。选 A。 3．双曲线 的焦距为（　　） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【详解】，焦距为 。选 A。 4．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上时渐近线为 ，即 。选 A。 5．若方程 表示双曲线，则 应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两项系数异号才是双曲线，，故需 。选 A。 6．已知双曲线的渐近线方程为 ，且经过点 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，代入 得 ，故 ，即 。选 A。 【巩固练习】 1．双曲线 的焦距为（　　） A．6 B．3 C．2 D．4 【答案】A 【详解】，，焦距为 。选 A。 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，渐近线为 。选 A。 3．双曲线 的实轴长为（　　） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，实轴长为 。选 A。 4．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上时渐近线为 ，即 。选 A。 5．中心在原点、焦点在 轴上，且 、 的双曲线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上时标准方程为 ，代入得 。选 A。 6．双曲线 的两焦点间的距离为 10，且 ，则 （　　） A．3 B．6 C． D．9 【答案】A 【详解】 得 ，，。选 A。 7．已知双曲线 的离心率为 ，则 （　　） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【详解】， 得 ，，。选 A。 8．若双曲线经过点 和 ，且其焦点在 轴上，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 在实轴上说明 ；设 ，代入 得 ，即 ，。故为 。选 A。 题型二　双曲线的几何性质与离心率 【方法与技巧】 离心率 ，结合 得 ，故 且由 唯一确定。 求离心率的通法：由题设列出 、、 的齐次关系式，代入 后化为关于 的方程，再在 内求解。 渐近线斜率的绝对值给出 ，从而 ；反过来由 也可求渐近线方程。 【例题精讲】 1．双曲线 的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。选 A。 2．焦点在 轴上的双曲线，其渐近线方程为 ，则它的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上时 ，故 。选 A。 3．已知双曲线 （，）的一条渐近线为 ，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由渐近线知 ，故 。选 A。 【变式训练】 1．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，。选 A。 2．若双曲线的离心率为 ，则它是（　　） A．等轴双曲线 B．焦点在 轴上的双曲线 C．开口很小的双曲线 D．不存在的曲线 【答案】A 【详解】 得 ，故为等轴双曲线。选 A。 3．等轴双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等轴双曲线中 ，故渐近线为 。选 A。 4．双曲线 的离心率为 2，则 （　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】，得 ，。选 A。 5．双曲线 的渐近线与实轴所成的角为 ，则其离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】渐近线斜率 ，故 。选 A。 6．双曲线 的焦距为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】，，，焦距为 。选 A。 【巩固练习】 1．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，。选 A。 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，渐近线为 。选 A。 3．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上时渐近线为 。选 A。 4．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、、，。选 A。 5．若双曲线 的离心率为 3，则 （　　） A． B．8 C． D．2 【答案】A 【详解】 得 ，。选 A。 6．双曲线 的一条渐近线为 ，则 （　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【详解】， 得 。选 A。 7．已知双曲线 的离心率为 ，且 ，则 （　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【详解】，，。选 A。 8．双曲线 的两条渐近线的斜率之积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两条渐近线斜率分别为 与 ，其积为 。选 A。 题型三　抛物线的定义与标准方程 【方法与技巧】 由定义可知抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离，常用来把“到焦点的距离”转化为“到准线的距离”。 标准方程有四种形式： 与 （），看一次项是 还是 确定对称轴，看系数正负确定开口方向。 焦点在对称轴正向上： 的焦点为 、准线为 ； 的焦点为 、准线为 。 【例题精讲】 1．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，焦点为 。选 A。 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】准线为 。选 A。 3．焦点为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴负半轴上，开口向下， 得 ，方程为 。选 A。 【变式训练】 1．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，准线为 。选 A。 2．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，开口向左，焦点为 。选 A。 3．抛物线 的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】A 【详解】焦点到准线的距离就是 ，由 得 。选 A。 4．若抛物线的准线方程为 ，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】准线 说明 、，且开口向左，方程为 。选 A。 5．抛物线 （）上一点 P 到焦点的距离为 5，且 P 的横坐标为 3，则 （　　） A．4 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【详解】由焦半径公式 ，即 ，得 。选 A。 6．抛物线 上横坐标为 1 的点到焦点的距离为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，。选 A。 【巩固练习】 1．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，焦点为 。选 A。 2．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，开口向下时准线为 。选 A。 3．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，准线为 。选 A。 4．焦点为 的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴负半轴上， 得 ，开口向左，方程为 。选 A。 5．抛物线 的通径长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 【答案】A 【详解】通径长为 2p，由 得通径长为 4。选 A。 6．抛物线 上一点到焦点的距离为 9，则该点的横坐标为（　　） A．6 B．3 C．9 D．12 【答案】A 【详解】，，得 。选 A。 7．抛物线 上一点到焦点的距离为 3，则该点的纵坐标为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】，，得 。选 A。 8．若抛物线 （）的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．1 【答案】A 【详解】双曲线中 ，，右焦点为 ；故 ，。选 A。 题型四　抛物线的几何性质与焦点弦 【方法与技巧】 焦半径公式： 上一点 满足 ； 上满足 。 通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，长为 2p，是抛物线所有焦点弦中最短的一条。 焦点弦常用“设直线 韦达定理”处理：设 与过焦点的直线联立，可得 、，且弦长 。 【例题精讲】 1．抛物线 的通径长为（　　） A．4 B．2 C．8 D．1 【答案】A 【详解】通径长为 2p，由 得通径长为 4。选 A。 2．过抛物线 的焦点且斜率为 1 的直线被抛物线截得的弦长为（　　） A．8 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【详解】焦点为 ，直线为 ；代入得 ，即 ，故 、。弦长为 。选 A。 3．过抛物线 （）焦点的弦 AB，若 、，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设过焦点的直线为 ，代入 得 ，由韦达定理 。选 A。 【变式训练】 1．抛物线 上一点的横坐标为 2，则它到焦点的距离为（　　） A．4 B．2 C．6 D．8 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．抛物线 上两点 A、B 的横坐标之和为 6，若 AB 过焦点，则 （　　） A．8 B．6 C．10 D．4 【答案】A 【详解】焦点弦长 。选 A。 3．抛物线 的焦点弦长为 8，则该弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 即 得 ，故 或 ，斜率为 。选 A。 4．抛物线 上一点到准线的距离为 5，则该点的纵坐标为（　　） A．4 B．1 C．5 D．3 【答案】A 【详解】到准线距离为 ，得 。选 A。 5．抛物线 的一条焦点弦的两个端点的横坐标之积为（　　） A．1 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】，焦点弦满足 。选 A。 6．抛物线 （）上一点到焦点与到准线的距离之比为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线的定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，故比值为 1。选 A。 【巩固练习】 1．抛物线 的通径长为（　　） A．6 B．3 C．12 D．2 【答案】A 【详解】通径长为 。选 A。 2．抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 3，则 P 的横坐标为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 得 。选 A。 3．过抛物线 焦点的弦长为 8，则该弦中点的横坐标为（　　） A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【详解】 得 ，中点横坐标为 3。选 A。 4．抛物线 上一点到准线的距离为 2，则该点到焦点的距离为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即为 2。选 A。 5．抛物线 （）的焦点弦长的最小值为（　　） A．2p B． C．4p D． 【答案】A 【详解】最短的焦点弦是通径，其长为 2p。选 A。 6．抛物线 上一点 ，则 （　　） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 7．过抛物线 的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于 A、B，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．1 【答案】A 【详解】该弦即为通径，长为 。选 A。 8．抛物线 的焦点弦 AB 满足 ，则弦 AB 的中点到准线的距离为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】 得 ，中点横坐标为 ，它到准线 的距离为 。选 B。 题型五　直线与双曲线、抛物线的位置关系 【方法与技巧】 联立直线与圆锥曲线的方程消元，若二次项系数不为 0，用判别式 判断公共点个数： 两个、 一个、 没有。 消元后二次项系数为 0 时要单独讨论：此时常只有一个公共点，但直线并非切线（多与渐近线平行或与对称轴平行）。 弦长用 ，其中两根之和与积由韦达定理给出。 【例题精讲】 1．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，，只有一个公共点（此时直线与抛物线相切）。选 A。 2．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】C 【详解】代入得 ，即 ，，故没有公共点。选 C。 3．直线 与抛物线 只有一个公共点，则 （　　） A．0 或 1 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】代入得 ，即 。当 时方程化为 ，只有一个解；当 时令 得 。故 或 1。选 A。 【变式训练】 1．直线 与双曲线 的位置关系是（　　） A．没有公共点 B．有一个公共点 C．有两个公共点 D．有无数个公共点 【答案】A 【详解】代入得 ，无解，故没有公共点（该直线与渐近线平行）。选 A。 2．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．无数 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，只有一个公共点（直线与对称轴平行）。选 A。 3．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．无数 【答案】A 【详解】代入得 ，，有两个公共点。选 A。 4．与抛物线 只有一个公共点且平行于其对称轴的直线有（　　） A．无数条 B．1 条 C．2 条 D．0 条 【答案】A 【详解】平行于对称轴（ 轴）的直线 与抛物线只有一个交点 ，故有无数条。选 A。 5．直线 与抛物线 有两个公共点，则 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，令 得 。选 A。 6．直线 与抛物线 相切，则 （　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，令 得 。选 A。 【巩固练习】 1．直线 与抛物线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，，只有一个公共点。选 A。 2．直线 与抛物线 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．过焦点 【答案】A 【详解】代入得 ，，故相离。选 A。 3．直线 与抛物线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【详解】代入得 ，，故相交（有两个公共点），该直线过焦点但不相切。选 B。 4．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】C 【详解】代入得 ，即 ，，故没有公共点。选 C。 5．直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】代入得 ，即 ，只有一个公共点（直线与渐近线平行）。选 A。 6．直线 与双曲线 只有一个公共点，则 （　　） A． 或 B． C． D．0 【答案】A 【详解】代入得 。当 即 时方程化为一次方程，只有一个解；当 时令 得 。故 或 。选 A。 7．抛物线 与直线 相交于 A、B 两点，则 （　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】联立得 ，、，故 。选 A。 8．抛物线 与直线 相交于 A、B 两点，则弦 AB 中点的横坐标为（　　） A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【详解】由 得中点横坐标为 3。选 A。 题型六　双曲线与抛物线的综合应用 【方法与技巧】 求最值常用函数思想：设参数把目标量化为二次函数（或关于参数的函数），再在允许的取值范围内求最值。 利用定义转化距离：抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离；双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为 2a。 “到焦点距离 到定点距离”的最小值常借助定义转化为“到准线距离 到定点距离”，再用几何关系（垂线段最短）求解。 【例题精讲】 1．抛物线 上一点 P 到点 的距离的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】设 ，由 （），，当 时取最小值 8，故最小距离为 。选 A。 2．抛物线 上一点 P 到焦点 F 与到点 的距离之和的最小值为（　　） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【详解】由定义 等于 P 到准线 的距离 ，故 ，其最小值即 A 到准线的距离 。选 A。 3．已知双曲线 上一点 P 到右焦点的距离为 2，则 P 到左焦点的距离为（　　） A．8 B．4 C．6 D．10 【答案】A 【详解】由定义 ；又右支上点到右焦点的最小距离为 ，故 P 为右顶点，。选 A。 【变式训练】 1．抛物线 上一点到直线 的距离的最小值为（　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线上点的横坐标 ，到直线 的距离为 ，其最小值为 2。选 A。 2．抛物线 的焦点为 F，点 为定点，则 的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【详解】 等于 P 到准线 的距离，故 的最小值为 A 到准线的距离 。选 A。 3．抛物线 上一点到焦点的距离为 4，则该点到 轴的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．1 【答案】A 【详解】， 得 ，故到 轴的距离为 2。选 A。 4．双曲线 上一点 P 到两焦点距离之差的绝对值为（　　） A．4 B．2 C．6 D．5 【答案】A 【详解】由定义该值为 2a，而 ，故为 4。选 A。 5．抛物线 （）上横坐标为 1 的点到焦点的距离为 3，则 （　　） A．4 B．2 C．6 D．1 【答案】A 【详解】由焦半径公式 ，得 。选 A。 6．若抛物线 的弦 AB 过焦点，且 ，则弦 AB 的中点到 轴的距离为（　　） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】 得 ，中点横坐标为 3，即到 轴的距离为 3。选 A。 【巩固练习】 1．抛物线 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【详解】。选 A。 2．抛物线 上纵坐标为 2 的点到准线的距离为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【详解】 时 ，该点到准线 的距离为 2。选 A。 3．抛物线 上一点到点 的距离的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】设 ，由 （），，当 时取最小值 8，故最小距离为 。选 A。 4．双曲线 的两焦点为 、，点 P 在双曲线上且 ，则 （　　） A．1 或 9 B．9 C．1 D．5 【答案】A 【详解】由 得 或 9；又 ，最短距离为 ，故两值都可取。选 A。 5．抛物线 上一点 P 到焦点 F 的距离为 2，则 P 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，代入得 ，，故 P 为 。选 A。 6．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，若 ，则 AB 中点的横坐标为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【详解】 得 ，中点横坐标为 2。选 A。 7．抛物线 的顶点到准线的距离为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】顶点为 ，准线为 ，故距离为 1。选 A。 8．抛物线 上一点 P 到准线的距离为 3，则 P 到焦点的距离为（　　） A．3 B．1 C．4 D．2 【答案】A 【详解】由抛物线的定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即为 3。选 A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．双曲线 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】、，。选 A。 2．双曲线 的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】焦点在 轴上时渐近线为 。选 A。 3．抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，准线为 。选 A。 4．抛物线 的焦点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 得 ，焦点为 。选 A。 5．抛物线 上横坐标为 3 的点到焦点的距离为（　　） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【详解】。选 A。 6．双曲线 的焦距为（　　） A．8 B．4 C．16 D．12 【答案】A 【详解】，，焦距为 。选 A。 7．等轴双曲线 的离心率为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】等轴双曲线中 ，。选 A。 8．直线 与抛物线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】联立得 ，只有一个公共点，故相切。选 A。 【多项选择题】 9．关于双曲线 （，），下列说法正确的有（　　） A． B． C．渐近线为 D．实轴长为 2a 【答案】ABCD 【详解】A 是双曲线的参数关系，B 是离心率及其范围，C 是渐近线方程，D 是实轴长公式，四项都正确。故选 ABCD。 10．关于抛物线 （），下列说法正确的有（　　） A．焦点为 B．准线为 C．通径长为 2p D．开口向右 【答案】ABCD 【详解】由标准方程的性质，焦点、准线、通径长与开口方向分别如 A、B、C、D 所述，四项都正确。故选 ABCD。 11．关于直线与圆锥曲线的位置关系，下列说法正确的有（　　） A．联立方程后可用判别式判断公共点个数 B．消元后二次项系数为 0 时需单独讨论 C．弦长可写成 D．与抛物线只有一个公共点的直线一定是切线 【答案】ABC 【详解】D 错误：与对称轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点，但不是切线；A、B、C 分别是判定方法、特殊情形与弦长公式，均正确。故选 ABC。 【填空题】 12．双曲线 的渐近线方程为　　　　。 【答案】 【详解】、，渐近线为 。 13．抛物线 的焦点到准线的距离为　　　　。 【答案】6 【详解】焦点到准线的距离就是 ，由 得 。 14．抛物线 上一点到焦点的距离为 5，则该点的横坐标为　　　　。 【答案】4 【详解】由焦半径公式 ，得 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $