解析几何的方法体系之双曲线专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“定义-性质-应用”为逻辑链，系统整合双曲线核心方法，通过对比椭圆强化认知，突出通法与易错点，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与标准方程|3例6练|定义不等式判断轨迹，焦点位置看正负号，共渐近线用λ系方程|从定义推导标准方程，关联基本量a,b,c关系| |渐近线|3例6练|1换0求渐近线，e与b/a双向换算，焦点到渐近线距离=b|渐近线与离心率、基本量的几何关联| |几何性质与离心率|3例11练|齐次式求e，焦点三角形面积=b²cot(θ/2)，内切圆圆心定直线|离心率与a,b,c关系，结合三角、圆的性质应用| |焦点弦与焦半径|3例7练|焦半径公式分左右支，焦点弦分两支/同一支，最值用定义转化|焦半径与准线关系，焦点弦长与韦达定理结合| |直线与双曲线|3例5练|联立判二次项系数，点差法求中点弦，中点重合突破三等分点|直线与双曲线位置关系，弦长、中点轨迹的代数化|

双曲线的方法体系 从定义到渐近线的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　双曲线的定义与标准方程 ★ 第一定义：平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫做双曲线。 与椭圆只差一个字，含义却完全不同：椭圆是「距离之和」，双曲线是「距离之差的绝对值」。那个绝对值不能丢——丢掉它，轨迹只剩一支。把「之差的绝对值等于 」拆开就是两条式子：（右支）与 （左支）。 定义里的不等式 要求比椭圆更细： 时轨迹是双曲线； 时轨迹是两条射线（以 、 为端点，分别向两侧伸出）； 时没有轨迹。注意 得到的不是线段——因为差为零的点集是线段 的垂直平分线，但差为 的点必须落在射线 的延长线或射线 的延长线上，两条射线的并集才是轨迹。 ★ 标准方程有两种，取决于焦点在哪条坐标轴上： 焦点在 轴上时 （，），焦点为 ； 焦点在 轴上时 （，），焦点为 。 ★ 基本量关系是 ——这里 最大，与椭圆的 （ 最大）正好相反。判断焦点位置的办法也跟着变了：椭圆看「两个分母谁大」，双曲线看「哪一项前面是正号」—— 项带正号，焦点就在 轴上。两者混记是这一章最常见的失误。 ★ 方程 表示双曲线的充要条件是 。整理成 即可看出：两个分母必须异号，才能把其中一项移到另一边变成减法。 ★ 标准方程是怎么来的：设焦点为 ，动点满足 。移项后平方两次，整理得 。由 知 ，记 ，两边同除 即得标准方程。所以 是化简时自然出现的正数，它的几何含义要往后推到渐近线才看得清。 ★ 两种特殊的双曲线： 实轴与虚轴等长的叫等轴双曲线，此时 ，方程可写成 （），离心率恒为 ，两条渐近线互相垂直； 把 的 、 对调，得到 ，两者互为共轭双曲线。它们有相同的渐近线、相同的焦距，四个焦点共圆（半径都是 ），离心率满足 。 ★ 反比例函数 的图象本质是等轴双曲线：把 绕原点逆时针旋转 ，横纵坐标代换后得到 。同理 、 的图象都能由某条双曲线旋转得到——这也解释了为什么它们也带两条渐近线（ 与 ）。 ★ 拿到双曲线方程，第一步永远是化成标准形，看哪一项带正号定焦点位置，再用 算 。 知识点二　渐近线 ★ 渐近线是双曲线区别于椭圆、抛物线的最显眼特征。求法只有一句：把标准方程右边的 换成 ，解出来就是。 即 ； 即 。 记住「焦点在 轴时，斜率是 」这句话就够，另一支的情形把 、 的地位对调即可。 ★ 渐近线的几何来历：以实轴 、虚轴 为邻边作矩形，它的两条对角线所在的直线就是渐近线。所以渐近线的「陡峭程度」由 单独决定，而 又与离心率一对一： ，反过来 。若渐近线与 轴的夹角为 ，则 ，——把「夹角」与「离心率」直接连起来，遇到夹角条件就不用绕。 ★ 焦点到渐近线的距离恒等于 ：以 与 为例，。这个结论与 无关，是填空与选择里出现频率最高的一个。 顺着这条还能得到垂足的坐标：从焦点向渐近线作垂线，垂足为 ，由 、 及 构成直角三角形 。 这句话等价于「垂足同时在圆 上」——很多题里那个圆不是额外条件，而是这句话的转写。 ★ 与两条渐近线有关的定值：双曲线上任意一点 到两条渐近线的距离之积为定值 。推导只用一步：两条渐近线是 与 ，距离之积 。等轴双曲线时它简化为 。 ★ 共渐近线的双曲线系：与 有相同渐近线的双曲线，一律可以写成 （）—— 取正时焦点在 轴上，取负时焦点在 轴上。这是「已知渐近线求双曲线」的标准设法，比先定 、 再代点少一半方程。 ⚠ 渐近线只由 决定，它定不出 、 各自的大小。所以题目只给「一条渐近线」时，还需要另一个条件（过一个点、给焦距或给离心率）才能锁定曲线。 ★ 见到「焦点到渐近线的距离」，直接写 ；见到「渐近线与坐标轴夹角」，转成 再算 。 知识点三　几何性质与离心率 ★ 三个基本量：实半轴 、虚半轴 、半焦距 ，关系式只有 。实轴长 、虚轴长 、焦距 。顶点是 （焦点在 轴时），顶点只有一个方向——这是与椭圆「四个顶点」的又一处不同。 ★ 离心率 ，取值范围 。与椭圆恰好互补：椭圆是 （越接近 1 越扁），双曲线是 （越接近 1 越「瘦」， 越大开口越张开）。 是等轴双曲线，是这条数轴上的分界点。 ★ 求离心率只有一条通法：凑出一个关于 、、 的齐次关系式，两边同除 （或同除 ）化成一元方程，解出 。式子不齐次，说明还有具体的坐标值没换成 、、，要先把这些坐标算出来再代入。 ★ 求离心率的范围，除了等式还要用不等式。常见的不等式来源有四个： 顶点与实轴的约束 、；直线与双曲线有两个交点（或有两个同支交点）要求的 与根的符号；角的条件（如 是某角的倍数）转成的边长不等式；「存在点 」型的题，把条件改写成关于 的坐标或斜率的方程有解。 ★ 焦点三角形（ 在右支，，记 、）： 定义给 ；余弦定理给 。把 代入，整理得 。 于是面积 。 时 、。注意与椭圆对照：椭圆是 ，双曲线是 ——一正一余，根源就在定义里一个是「和」、一个是「差」。 由 还可以看出： 越靠近顶点 越接近 、面积越小； 沿渐近线走远时 趋于 、面积无限增大。所以双曲线的焦点三角形面积没有最大值——这一点也与椭圆的 不同。 ★ 焦点三角形的内切圆有一条很干净的结论：设内切圆与边 相切于点 ，由切线长相等可推出 ，再配上 ，解得 ，于是 的横坐标恰为 。所以 在右支时， 的内切圆圆心恒在定直线 上； 在左支时恒在 上。半径照常用面积法：， 是焦点三角形的半周长。 ★ 「不存在以某点为中点的弦」这类题，落脚点是点差法给出的斜率 （见知识点五）加上位置检验，不要另起炉灶。 ★ 光学性质：双曲线上一点处的切线，平分该点两条焦半径所成的角。与椭圆对照着记：椭圆那里平分的是两条焦半径所成角的外角，两者恰好互为补角关系。从双曲线的一个焦点射出的光线经反射后，看起来像是从另一个焦点射来的（方向是发散的，不是会聚）。高中阶段这一条考得少，见到「反射」「光线」这类条件时先想起它。 ★ 离心率题的检查办法：把答案代回，验证 与题干的几何条件是否同时成立。 知识点四　焦点弦与焦半径 ★ 焦半径公式： 在右支上时 ，； 在左支上时 ，。 记忆口诀：右焦点配「减」，左焦点配「加」，负号整体由 的符号决定。公式的来历是第二定义（点到焦点与到相应准线的距离之比为 ，准线 ），也可以由定义与两点间距离联立直接消根号得到。 ★ 准线：焦点在 轴上时两条准线为 ，左焦点配左准线、右焦点配右准线。与椭圆相比有一处要特别留意：这里 ，所以 ，准线落在两支之间；椭圆的准线则落在曲线之外。两册的公式形式完全相同，位置正好相反，靠 与 谁大谁小分辨。 第二定义的验证只需一步：以右支上的点为例，，点 到右准线的距离是 ，两者相除得 。 焦半径公式最大的用处，是把「点到焦点的距离」压成「横坐标的一次函数」——凡是涉及焦半径的等式与不等关系，代进去立刻降成一次式。 由 可得 （最小值在右顶点取到），。所以右支上一点到两个焦点的距离之和没有最大值，最小值是 。 ★ 通径：过焦点且垂直于实轴的弦，长度为 。形式与椭圆一致，但它在两类弦里的地位不同，见下条。 ★ 过焦点的弦要分成两类，这是双曲线独有的麻烦： 设过 的直线斜率为 ，代入后二次项系数是 ，两个交点的横坐标之积为 。 时乘积为负，两个交点分居两支； 时乘积为正，两个交点在同一支上； 时直线与渐近线平行，只有一个交点。 两支情形的弦长最小值是 ，在直线就是实轴所在直线时取到；同一支情形的弦长最小值是通径 ，在直线垂直于实轴时取到。两者谁大取决于 与 的大小关系，所以「过焦点的弦最短是多少」必须先问清是哪一类。 ★ 与圆结合的弦：以 为直径的圆是 ，它与双曲线恒有四个交点（把 代入可解）。所以「双曲线焦点三角形为直角三角形」这种点在双曲线上总是存在，不需要额外条件——这也与椭圆「要 才存在」不同。 ★ 距离之和的最值：遇到 型（ 在双曲线上、 是定点、 是某焦点），先用定义把离 远的那个焦半径换成「另一个焦半径 」，把两段距离挪到同一条折线上，再用三角形不等式收口。换哪一个、加还是减 ，取决于 在哪一支、 在哪一侧。 ★ 内切圆与焦半径的分工：设 的内切圆与 、 的切点分别为 、，则 。这类切线长等式是把「内切圆」翻译成「线段长度」的通用步骤。 ★ 见到「过焦点的弦」，先判断它与双曲线交于两支还是同一支——这一步定下来，后面用哪条公式才不会错。 知识点五　直线与双曲线 ★ 联立仍是通用套路：把 代入 ，整理得 。 ⚠ 二次项系数 可能是 。当 ，即直线与渐近线平行时，方程退化成一次方程，直线与双曲线恰有一个公共点——这与「相切」是两回事。椭圆里「一个公共点」与「相切」等价，双曲线里不等价，这是本章最容易掉进去的坑。 ★ 交点个数的完整判断：先看 是否等于 。相等时直线平行于渐近线，至多一个公共点；不等时方程是二次的，再看 ： 两个公共点， 相切， 无公共点。 ★ 两支还是同一支，看两根的符号： 两根之积为负 两个交点分居两支 ； 两根之积为正且两根之和与 、 配合，得到两个交点同在右支或同在左支。「与右支交于两点」比「与双曲线交于两点」多了这一层限制，很多范围题的额外条件就出在这里。 ★ 弦长公式照旧：，用 设直线时改用 。设直线时优先用 ，它能自动包含竖直直线，不会漏解。 ★ 点差法（中点弦）：设弦的两端 、 都在双曲线上，两式相减因式分解得 ，用中点 与斜率 写就是 。 ⚠ 与椭圆对照：椭圆的对应式子是 ，双曲线没有那个负号。差别来自标准方程两个二次项符号相反。另外当 时这个式子失效，此时中点弦只能是竖直的，要单独讨论。 ⚠ 点差法只用到了「两端都在双曲线上」，并没有保证这条弦真的存在。所以用它求出斜率之后，必须回代检验 ，或者用「中点必须落在能取到弦的区域」来筛。 ★ 直线与两支相交时有一条漂亮的中点事实：直线 与双曲线交于 、 两点，与两条渐近线交于 、 两点，则 的中点与 的中点重合。因为两组横坐标之和都是 。于是 、 是线段 的三等分点，等价于 ；这类题的突破口全在这个「中点重合」上，不必逐点求坐标。 ★ 与渐近线有关的面积：直线与双曲线交于 、，与两渐近线交于 、，则 与 的面积满足 （两组点在同一直线上，高相同）。 ★ 中点弦的轨迹：把点差法给出的 与「弦过定点 」的斜率表达式联立，消去 就得到中点 的轨迹方程。注意最终的轨迹往往只是完整曲线上的一段，要把 或交点所在支的限制翻译成 、 的范围写到答案里。 ★ 切线与切点弦用同一个式子：把 里的 换成 、 换成 ，得 —— 在双曲线上时它是点 处的切线， 在双曲线外时它是两条切线的切点弦。 ⚠ 用切线时不要把「一个公共点」当成相切的判据：与渐近线平行的直线也只交于一个点，却与双曲线并不相切，这与判断交点个数时的道理是同一条。所以要写切线方程，一律代公式或令判别式 去解，不要靠数交点个数反推。 ★ 直线与双曲线的题，动笔前先算 与 的大小关系——它同时决定交点个数、所在支和后面能用的公式。 二、方法突破 方法一　定义与标准方程 双曲线的定义与椭圆只差一个字：椭圆是到两个定点距离之和为定值，双曲线是距离之差的绝对值为定值。差的绝对值带来两个后果——轨迹是两支而不是一圈，基本量关系式里最大的变成了 。这一节先把这两件事理清。 ★ 定义里的不等式 要比椭圆记得更仔细： 是双曲线， 是两条射线（不是线段）， 无轨迹。含参数的「距离之差的绝对值为 」型问题，卡点就在这个不等式。 ★ 判断焦点位置只看哪一项带正号。椭圆看分母大小，双曲线看正负号——这是两章之间最容易被混记的一处。 ★ 求标准方程有两条路：条件给的是「距离」的，优先用定义，把 直接读出来；条件给的是「离心率」「渐近线」或「过一个点」的，先由 与 化成 、 的方程，再用坐标条件补第二个方程。 ★ 与同渐近线的曲线打交道时，用系 去设，一个未知量配一个坐标条件就够，比常规设法少一半计算。 ★ 基本量的运算只有一条链：、。题目给什么就往这条链上靠，别急着设点、设直线。 ★ 等轴双曲线（）与共轭双曲线是两个特例，各自都有成套的固定结论，见到「等轴」「互为共轭」先默写这些结论再动笔。 ★ 拿到含参的双曲线方程，第一步永远是化成标准形，看哪一项带正号定焦点位置，再用 算 。这一步能同时定出参数的隐含范围。 例题 例 1-1 （广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题 · 第12题） 【填空】焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为_______. 【解析】 第 1 步　焦点位置决定设哪一种形式 ◈ 两个已知焦点都在 轴上，所以设 ，不能设成 项在前面的形式。焦点坐标顺带给出 ，于是 是已知条件，待定字母只剩一个。 第 2 步　 是筛根的依据 ◈ 解出 与 之后要回到 检验： 会让 。含参的二次方程出现两个正根时，几何意义常常只允许其中一个。 答　 例 1-2 （江门市2026届高考适应性测试 · 第8题） 【单选】若 的中线 ，且 ，，，在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，则 的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　中线长公式把三条边连起来 ◈ 三条边与中线混在一起，中线长公式 是能一次消掉未知角的工具。也可以对 与 分别用余弦定理，再用两角互补相加，得到同一结果。 第 2 步　「点 在曲线上」就是把坐标代入 ◈ 得到 之后不必再想几何，它本身就是 的方程。注意 是横坐标、 是纵坐标，所以 是 项系数的倒数。 答　B 例 1-3 （广东省汕尾市2025-2026学年高三上学期综合测试（一）数学试题 · 第4题） 【单选】双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 【解析】 第 1 步　夹角转成余弦，直接代数求解 ◈ 两条渐近线是 ，各取一个方向向量 、，夹角余弦就是 。把 代进去，得到的方程只含 ，不需要先设出角的记号再绕一圈。 第 2 步　绝对值要分两种情形讨论 ◈ 中， 给 ， 给 ，对应 与 两批解。只算一支就漏掉一半可能。 第 3 步　无解的那一支也要写出来 ◈ 两支都算完之后，一支给出 ，另一支让方程左边恒负而无解。把无解的一支摆出来，才能说明选项里的「不存在」为什么被排除。 答　C 练习 1-1. 【单选】若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 1-2. 【单选】已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 1-3. 【填空】与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______． 1-4. 【多选】若 ， 是两个不相等的正实数，则双曲线 与双曲线 的（　　） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 1-5. 【单选】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 1-6. 【填空】函数 的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是 ______，焦距是 ______. 方法二　渐近线 渐近线是双曲线独有的特征。这一节的全部内容可以压缩成一句话：双曲线的形状由 一个数决定，渐近线是 的几何化身，离心率是 的另一种写法。 ★ 求渐近线只有一句口诀：把标准方程右边的 换成 。焦点在 轴时得 ，焦点在 轴时得 。 ★ 渐近线与离心率的双向换算要熟到不用推：，。若渐近线与 轴的夹角是 ，还有 、。 ★ 焦点到渐近线的距离恒等于 ，与 无关。这是本节出现频率最高的一个结论，见到「过焦点作渐近线的垂线」就直接写 。 ★ 那条垂线还会把直角三角形 摆出来：、、。题里若出现圆 与渐近线的交点，那个交点其实就是垂足 ，不是另外算出来的。 ★ 双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为定值 。这个结论的用处是把「距离之积」类条件直接换成 、、 的等式，不必设点。 ★ 共渐近线的双曲线用系 设；反过来，只给一条渐近线的条件定不出曲线，必须再有一个点或一个焦点的信息。 ★ 遇到「渐近线与某条直线（或某个圆）相切、相交」的条件，先把渐近线方程写出来，再用点到直线距离或联立的判别式去接——不要把渐近线留在口头上。 例题 例 2-1 （2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题 · 第4题） 【单选】若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　渐近线只认比值 ◈ 焦距、实轴长给的是 与 的关系，渐近线的斜率却是 ，中间要靠 搭桥。先把 用 表示出来，再回头算 。 答　B 例 2-2 （衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第12题） 【填空】已知双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线 的渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为 ______. 【解析】 第 1 步　焦点到渐近线的距离恒为 ◈ 把渐近线写成 ，用点到直线的距离公式，分母是 ，分子是 ，约掉 之后恰好剩 。这个结果与焦点在左在右、取哪条渐近线都无关，所以凡见「过焦点作渐近线的垂线」，第一步就能把 读出来。 第 2 步　垂足到原点的距离是 ◈ 同一个直角三角形里 、（ 为垂足），由勾股定理 ，且 。把 、、 三条边放进这个直角三角形的题很多，记住它常能省下一段计算。 答　 例 2-3 （濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第13题） 【填空】已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆 交于 ， 两点，则 ______. 【解析】 第 1 步　两条渐近线要分别验一遍 ◈ 离心率只给出 ，正负两支都可能，而题里只说「一条渐近线与圆交于两点」。算出弦心距后， 的 、 的 ，才确定是哪一条，这一步不能跳过。 答　 练习 2-1. 【填空】已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 2-2. 【单选】若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2-3. 【单选】双曲线的右焦点为，过右顶点向轴引垂线与的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ） A. B. C. D. 2-4. 【填空】已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则C的离心率为_______. 2-5. 【单选】若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 2-6. 【填空】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过点 作直线分别交两条渐近线于点 ，，交 轴于点 ， 为坐标原点。若 的面积是 的面积的 倍，则 ______. 方法三　几何性质与离心率 这一册最厚的一节，也是高考双曲线题的主战场。题目条件千变万化，落脚点只有一个：凑出一个关于 、、 的齐次关系式。 ★ 求离心率的通法：写出齐次式，同除 ，解关于 的一元方程。式子不齐次，说明还有坐标没换成 、、——先把那些坐标算出来。 ★ 求离心率的范围，除了等式还要用不等式。四个常见来源：点在双曲线上要求 ；直线与双曲线有交点的判别式与根的符号；角与边长条件给出的不等式；「存在点 」型的题要求某个方程有解。 ★ 两类条件要会翻译： 「垂直」翻译成向量数量积为零，或翻译成「点在以某条线段为直径的圆上」；「角平分线」先想角平分线定理（把角的两边与截出的线段连起来），再想能不能用对称点。 ★ 焦点三角形的三条现成结论：（、 是两条焦半径， 是 ）；面积 ； 时 。注意双曲线面积是 、椭圆是 ，别串。 ★ 内切圆的定直线结论： 在右支时 的内切圆圆心恒在 上，半径用 。见到「内切圆与 轴相切」「内切圆圆心在某条直线上」，直接用这句话。 ★ 与圆结合的题，先把圆心、半径算清楚。圆与渐近线相切、圆与双曲线相交，给出的都是圆心到直线（或到点）的距离与半径的关系，写成等式之后往往直接就是 、、 的关系。 ★ 条件多的离心率题，先把每个条件单独翻译成 、、 或坐标的关系写在一旁，再挑出能凑成齐次式的几条联立——一次翻译、一次联立，比边读边算稳得多。 例题 例 3-1 （嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第7题） 【单选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，左、右顶点分别为 ，，点 为右支上异于 的一点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，若 的面积 ，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两块几何量都化成坐标 ◈ 面积用底乘高、 用 ，两个条件都变成只含 、 的式子，再用曲线方程把 换掉，未知量就只剩 。 第 2 步　约去 靠的是「异于 」 ◈ 题设「 为右支上异于 的一点」保证了 。若 取 ，这个因子为零，两边同时为零，等式退化成恒等式，关于 的信息就全丢了。这类排除条件往往是约分的前提。 答　B 例 3-2 （赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第7题） 【单选】已知双曲线 左、右焦点分别为 ，，若过点 的直线 与圆 相切于点 ， 与双曲线 的右支交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　切线段长恒等于 ◈ 从焦点向圆 引切线，切线段 的长是 ，与切线方向无关。于是向量等式 可以翻译成长度 。 第 2 步　把向量倍数翻译成坐标 ◈ 说明 在射线 上、离 四倍远，故 。这一步把几何条件接到了焦半径公式上，是本题的枢纽。 答　D 例 3-3 （张家口市2026届高三下学期一模 · 第8题） 【单选】已知双曲线 左、右两个焦点分别为 ，，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，且满足 ，（ 为坐标原点），，则双曲线 的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两个三角形各用一次余弦定理 ◈ 条件分散在 与 里：前者用 ，后者用 。两次都能把 、 按定义换成 与 的式子，于是两个三角形各贡献一条关于 、、 的方程。 第 2 步　 提供 ◈ 使 成为直角三角形，。把它代入余弦定理的一次项，正好与 约去一个 ，否则式子里会多出 这样的交叉项。 答　C 练习 3-1. 【单选】已知 ， 分别是双曲线 的左、右两个焦点，、 是双曲线上的两点，，，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 3-2. 【单选】等轴双曲线 的左、右焦点分别为 ，，以 为直径的圆 与双曲线 交于 ，，， 四点。设四边形 的面积为 ，圆 的面积为 ， 为坐标原点，则（　　） A. B. C. D. 3-3. 【单选】已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则椭圆 的离心率 （　　） A. B. C. D. 3-4. 【单选】已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 的离心率取值范围是（　　） A. B. C. D. 3-5. 【单选】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在 的渐近线上，且满足 ，，则 的离心率为（　　） A. B. C. D. 3-6. 【单选】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3-7. 【单选】若双曲线 不存在以点 为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（　　） A. B. C. D. 3-8. 【单选】已知点 为双曲线 的右顶点，点 的坐标为 ，若 上存在一点 （不与点 重合），使得 ，则 的离心率的取值范围为（　　） A. B. C. D. 3-9. 【单选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过点 且斜率为 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，若 ，则双曲线 的离心率为（　　） A. B. C. 或 D. 或 3-10. 【单选】已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 3-11. 【填空】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 方法四　焦点弦与焦半径 题目里出现焦点、过焦点的弦、两个焦半径的夹角，就一定有比联立更快的路子。这一节要做的是把几条现成结论用到条件反射的程度。 ★ 焦半径公式： 在右支时 、；在左支时整体取负。它把「点到焦点的距离」压成横坐标的一次函数，凡涉及焦半径的等式立刻降次。 ★ 过焦点的弦必须分两类。设过 的直线斜率为 ，则 时弦的两端分居两支， 时落在同一支上， 时与渐近线平行、只有一个交点。两类弦的最短长度不同：两支情形是 ，同一支情形是通径 。 ★ 焦点三角形的工具全部来自两个式子：定义给 ，余弦定理给 。由此得到 与 。 ★ 内切圆半径用面积法：。把 、 用焦半径公式算出来， 就确定了，不必求面积——这条在「内切圆半径之比」「内切圆半径之和」类的题里最省事。 ★ 距离之和的最值：先把离得远的那个焦半径用定义换掉（换成另一条焦半径 ），让两段距离接成一条折线，再用三角形不等式。换哪一条、加减 ，取决于 在哪一支、定点在哪一侧。 ★ 与圆结合的弦：以 为直径的圆 与双曲线恒有交点，所以「焦点三角形是直角三角形」这种点在双曲线上总存在——这与椭圆需要额外条件不同。 ★ 见到「过焦点的弦」，先判断它交于两支还是同一支；见到「内切圆」，先写切线长等式把线段长度翻译出来。 例题 例 4-1 （南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第10题） 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 作垂直于 轴的直线交 于 ， 两点，若直线 的斜率是 ， 的周长是 ，则（　　） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是 C. 面积是 D. 的外接圆半径是 【解析】 第 1 步　通径两端写坐标，斜率条件直接给基本量 ◈ 、 的坐标是 ，把它们代进斜率公式，得到的是只含 、 的齐次方程，不必设点也不必联立。 第 2 步　周长与面积都要先定出 ◈ 周长 给出 ，此后 、、面积才能算出具体数。凡是把几个几何量打包成条件给出的题，第一步都是找这样的一个「定标尺」方程。 答　BCD 例 4-2 （福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷 · 第9题） 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，，过 的直线交 于 ， 两点，则下列结论正确的是（　　） A. B. 渐近线方程为 C. 的最小值为4 D. 内切圆圆心在直线上 【解析】 第 1 步　焦点弦长要分「两支」与「同一支」两类 ◈ 设过焦点的直线斜率为 ， 时弦的两端分居两支， 时落在同一支上。本题的 是负、正的分界，对应到 与 的大小，两种情形的最短长度不同，都要算到。 第 2 步　内切圆圆心的横坐标由切线长定出 ◈ 在 的表达式里，两条焦半径的 恰好抵消，只剩 ，于是 与 的位置无关，恒为顶点。这就是「内切圆圆心在 上」这条结论的来源。 答　ACD 例 4-3 （佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第14题） 【填空】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，， 两点均在双曲线 上，且满足 （），，则 的内切圆半径为 ______. 【解析】 第 1 步　向量等式先翻译成「 在线段 上」 ◈ 表明 与 同向， 夹在 、 之间，于是 等于两条焦半径之和。这一步定下整个式子的形状。 第 2 步　用反证排除「两支」情形 ◈ 两支时两条焦半径一条要减 、一条要加 ，代进余弦定理会得到 ，与几何条件冲突。排除掉之后，后面的式子才是齐整的。 第 3 步　半径用面积比半周长，整体约去 ◈ ，而 与 都含因子 ，再用 把分子换掉，、 被整体消去，不问 也能定出半径。 答　 练习 4-1. 【多选】已知双曲线 的左、右焦点为 ，，且 到双曲线渐近线的距离为 ，则（　　） A. B. 若过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，则 C. 若 为双曲线上一点，且 ，则 或 D. 若第一象限的点 在双曲线上，且 ，则点 的坐标为 4-2. 【填空】已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，若 ，则 的外接圆的半径为 ______. 4-3. 【多选】已知 ， 是双曲线 上两个不同的点， 是 的左顶点，则（　　） A. 的焦距为 B. 当 轴时， 与 可能垂直 C. 当 时，， 的横坐标之和的取值集合为 D. 当 ， 的纵坐标异号时，对任意的点 ，都存在点 ，使得 4-4. 【多选】在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，，过 的直线 与双曲线的右支交于 ， 两点（ 在第一象限），与 轴交于点 ， 为 的中点，，， 分别为 、 内切圆的半径，则（　　） A. 的离心率为 B. 与 上点的距离的最小值为 C. D. 4-5. 【单选】设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4-6. 【填空】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为______． 4-7. 【填空】已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 的右支交于 ， 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 和 于点 ，。若 ，则 的离心率为 ______. 方法五　直线与双曲线 直线与双曲线相交的计算量不比椭圆小，麻烦在于多了一层分类：交于两支还是同一支。这一节要练的是把设直线、联立、看根号、用韦达这套流程固定下来，并且不漏掉与渐近线平行的那条直线。 ★ 四步流程：设直线、联立、写韦达、把要求的量用 与 表示。第四步能写成对称式，计算量就可控。 ★ 设直线优先用 ，它天然包含竖直直线，不会漏解；过 轴定点、过焦点的情形尤其要用它。 ★ 联立后先看二次项系数 。它为零（直线与渐近线平行）时方程退化成一次方程，直线与双曲线只有一个公共点——这不是相切。椭圆里「一个公共点」与「相切」等价，双曲线里不等价，这是本节最容易掉的坑。 ★ 两根之积的符号决定交点在不在同一支：乘积为负就是两支，乘积为正还要看两根之和的符号才能定是右支还是左支。「与右支交于两点」比「与双曲线交于两点」多一层限制，许多范围题的隐含条件就出在这里。 ★ 点差法在中点弦上的形式是 ，没有负号（椭圆才有负号）。 时公式失效，中点弦只能是竖直的，要单独讨论。用完必须回代检验 。 ★ 直线与两支相交时，它被两条渐近线截出的线段与它被双曲线截出的线段中点重合。这个「中点重合」是三等分点、定长比这类题的通用突破口。 ★ 面积一律拆成「底乘高」：过 轴上定点的用 ，其余的先算弦长再乘高。选哪种写法，看哪一种能让式子更干净。 ★ 动笔前先比较 与 ——它同时决定交点个数、所在支、后面能用的公式，以及最值能不能取到。 例题 例 5-1 （石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第15题） 【解答】已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 在双曲线上。（1）求双曲线 的焦距；（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，求 。 【解析】 第 1 步　渐近线定 与 的比例 ◈ 渐近线 与基本量的关系是 ，写成 之后 的方程退化成 ，代入一个已知点就直接定出 ，不用再借助 。 第 2 步　倾斜角先换成斜率 ◈ ，斜率为负说明这条弦的两端同在右支。求弦长只需要 ，端点坐标不必具体解出。 答　（1）；（2） 例 5-2 （湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第17题） 【解答】已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 。（1）求 的标准方程；（2）若过点 的直线 与 交于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹方程。 【解析】 第 1 步　双曲线的点差法没有负号 ◈ 椭圆 的中点是，双曲线两项之间是减号，同样的推导出来的却是。本题 ，于是直接得到 。 第 2 步　轨迹方程只是必要条件 ◈ 消元得到 之后， 那条是渐近线，必须剔掉；剩下的 还要配上 给出的 的范围，才换算出 的两段区间。凡「求中点轨迹」，最后一步都要回到判别式。 答　（1）；（2）（ 或 ） 例 5-3 （山东省淄博市2025届高三下学期模拟考试数学试题 · 第16题） 【解答】已知双曲线，离心率，点在双曲线上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）点，分别是双曲线C的左右焦点，过点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为12，求直线l的方程. 【解析】 第 1 步　把两段焦半径接成整条弦 ◈ 、 都在右支，用定义把 、 各减去 ，剩下的两段焦半径首尾相接就是 。于是周长等于 ，与直线怎么放无关——这正是「过焦点作弦」类问题里周长的标准处理。 第 2 步　弦长与 的关系 ◈ 联立后二次项系数 不能为零，否则方程退化成一次方程，直线与渐近线平行，只有一个公共点。整理出的弦长 在 处断开：这一侧的弦落在两支上，那一侧落在同一支上，最小值分别是 与通径。本题最后解出 ，属于同一支的情形。 答　（1）；（2） 或 练习 5-1. 【单选】双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 5-2. 【多选】已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，，过 的直线与 的右支相交于 ， 两点，则下列结论错误的有（　　） A. 的方程为 B. C. 的渐近线方程为 D. 当 时（ 为原点）， 的面积为 5-3. 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，离心率为 ，点 在双曲线上，则下列说法正确的是（　　） A. 双曲线 的渐近线方程为 B. 若 ，则 C. 的最小值为 D. 点 到 的两条渐近线的距离之积为定值 5-4. 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，左、右顶点分别为 ，，过 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点（ 在第一象限内）， 为原点。若 ，点 到两条渐近线的距离之积为 ，则（　　） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为 C. 面积的最小值为 D. 直线 、 的倾斜角之和为 5-5. 【多选】以坐标轴为对称轴的双曲线 过点 ，其一条渐近线过点 ，且两焦点为 ，。若直线 分别与 的两支交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 双曲线 的方程为 B. 若 ，则点 在直线 上 C. 若 ，则 的取值范围为 D. 若 ，则 与 的内切圆的半径之比为 或 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双曲线的方法体系 从定义到渐近线的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　双曲线的定义与标准方程 ★ 第一定义：平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫做双曲线。 与椭圆只差一个字，含义却完全不同：椭圆是「距离之和」，双曲线是「距离之差的绝对值」。那个绝对值不能丢——丢掉它，轨迹只剩一支。把「之差的绝对值等于 」拆开就是两条式子：（右支）与 （左支）。 定义里的不等式 要求比椭圆更细： 时轨迹是双曲线； 时轨迹是两条射线（以 、 为端点，分别向两侧伸出）； 时没有轨迹。注意 得到的不是线段——因为差为零的点集是线段 的垂直平分线，但差为 的点必须落在射线 的延长线或射线 的延长线上，两条射线的并集才是轨迹。 ★ 标准方程有两种，取决于焦点在哪条坐标轴上： 焦点在 轴上时 （，），焦点为 ； 焦点在 轴上时 （，），焦点为 。 ★ 基本量关系是 ——这里 最大，与椭圆的 （ 最大）正好相反。判断焦点位置的办法也跟着变了：椭圆看「两个分母谁大」，双曲线看「哪一项前面是正号」—— 项带正号，焦点就在 轴上。两者混记是这一章最常见的失误。 ★ 方程 表示双曲线的充要条件是 。整理成 即可看出：两个分母必须异号，才能把其中一项移到另一边变成减法。 ★ 标准方程是怎么来的：设焦点为 ，动点满足 。移项后平方两次，整理得 。由 知 ，记 ，两边同除 即得标准方程。所以 是化简时自然出现的正数，它的几何含义要往后推到渐近线才看得清。 ★ 两种特殊的双曲线： 实轴与虚轴等长的叫等轴双曲线，此时 ，方程可写成 （），离心率恒为 ，两条渐近线互相垂直； 把 的 、 对调，得到 ，两者互为共轭双曲线。它们有相同的渐近线、相同的焦距，四个焦点共圆（半径都是 ），离心率满足 。 ★ 反比例函数 的图象本质是等轴双曲线：把 绕原点逆时针旋转 ，横纵坐标代换后得到 。同理 、 的图象都能由某条双曲线旋转得到——这也解释了为什么它们也带两条渐近线（ 与 ）。 ★ 拿到双曲线方程，第一步永远是化成标准形，看哪一项带正号定焦点位置，再用 算 。 知识点二　渐近线 ★ 渐近线是双曲线区别于椭圆、抛物线的最显眼特征。求法只有一句：把标准方程右边的 换成 ，解出来就是。 即 ； 即 。 记住「焦点在 轴时，斜率是 」这句话就够，另一支的情形把 、 的地位对调即可。 ★ 渐近线的几何来历：以实轴 、虚轴 为邻边作矩形，它的两条对角线所在的直线就是渐近线。所以渐近线的「陡峭程度」由 单独决定，而 又与离心率一对一： ，反过来 。若渐近线与 轴的夹角为 ，则 ，——把「夹角」与「离心率」直接连起来，遇到夹角条件就不用绕。 ★ 焦点到渐近线的距离恒等于 ：以 与 为例，。这个结论与 无关，是填空与选择里出现频率最高的一个。 顺着这条还能得到垂足的坐标：从焦点向渐近线作垂线，垂足为 ，由 、 及 构成直角三角形 。 这句话等价于「垂足同时在圆 上」——很多题里那个圆不是额外条件，而是这句话的转写。 ★ 与两条渐近线有关的定值：双曲线上任意一点 到两条渐近线的距离之积为定值 。推导只用一步：两条渐近线是 与 ，距离之积 。等轴双曲线时它简化为 。 ★ 共渐近线的双曲线系：与 有相同渐近线的双曲线，一律可以写成 （）—— 取正时焦点在 轴上，取负时焦点在 轴上。这是「已知渐近线求双曲线」的标准设法，比先定 、 再代点少一半方程。 ⚠ 渐近线只由 决定，它定不出 、 各自的大小。所以题目只给「一条渐近线」时，还需要另一个条件（过一个点、给焦距或给离心率）才能锁定曲线。 ★ 见到「焦点到渐近线的距离」，直接写 ；见到「渐近线与坐标轴夹角」，转成 再算 。 知识点三　几何性质与离心率 ★ 三个基本量：实半轴 、虚半轴 、半焦距 ，关系式只有 。实轴长 、虚轴长 、焦距 。顶点是 （焦点在 轴时），顶点只有一个方向——这是与椭圆「四个顶点」的又一处不同。 ★ 离心率 ，取值范围 。与椭圆恰好互补：椭圆是 （越接近 1 越扁），双曲线是 （越接近 1 越「瘦」， 越大开口越张开）。 是等轴双曲线，是这条数轴上的分界点。 ★ 求离心率只有一条通法：凑出一个关于 、、 的齐次关系式，两边同除 （或同除 ）化成一元方程，解出 。式子不齐次，说明还有具体的坐标值没换成 、、，要先把这些坐标算出来再代入。 ★ 求离心率的范围，除了等式还要用不等式。常见的不等式来源有四个： 顶点与实轴的约束 、；直线与双曲线有两个交点（或有两个同支交点）要求的 与根的符号；角的条件（如 是某角的倍数）转成的边长不等式；「存在点 」型的题，把条件改写成关于 的坐标或斜率的方程有解。 ★ 焦点三角形（ 在右支，，记 、）： 定义给 ；余弦定理给 。把 代入，整理得 。 于是面积 。 时 、。注意与椭圆对照：椭圆是 ，双曲线是 ——一正一余，根源就在定义里一个是「和」、一个是「差」。 由 还可以看出： 越靠近顶点 越接近 、面积越小； 沿渐近线走远时 趋于 、面积无限增大。所以双曲线的焦点三角形面积没有最大值——这一点也与椭圆的 不同。 ★ 焦点三角形的内切圆有一条很干净的结论：设内切圆与边 相切于点 ，由切线长相等可推出 ，再配上 ，解得 ，于是 的横坐标恰为 。所以 在右支时， 的内切圆圆心恒在定直线 上； 在左支时恒在 上。半径照常用面积法：， 是焦点三角形的半周长。 ★ 「不存在以某点为中点的弦」这类题，落脚点是点差法给出的斜率 （见知识点五）加上位置检验，不要另起炉灶。 ★ 光学性质：双曲线上一点处的切线，平分该点两条焦半径所成的角。与椭圆对照着记：椭圆那里平分的是两条焦半径所成角的外角，两者恰好互为补角关系。从双曲线的一个焦点射出的光线经反射后，看起来像是从另一个焦点射来的（方向是发散的，不是会聚）。高中阶段这一条考得少，见到「反射」「光线」这类条件时先想起它。 ★ 离心率题的检查办法：把答案代回，验证 与题干的几何条件是否同时成立。 知识点四　焦点弦与焦半径 ★ 焦半径公式： 在右支上时 ，； 在左支上时 ，。 记忆口诀：右焦点配「减」，左焦点配「加」，负号整体由 的符号决定。公式的来历是第二定义（点到焦点与到相应准线的距离之比为 ，准线 ），也可以由定义与两点间距离联立直接消根号得到。 ★ 准线：焦点在 轴上时两条准线为 ，左焦点配左准线、右焦点配右准线。与椭圆相比有一处要特别留意：这里 ，所以 ，准线落在两支之间；椭圆的准线则落在曲线之外。两册的公式形式完全相同，位置正好相反，靠 与 谁大谁小分辨。 第二定义的验证只需一步：以右支上的点为例，，点 到右准线的距离是 ，两者相除得 。 焦半径公式最大的用处，是把「点到焦点的距离」压成「横坐标的一次函数」——凡是涉及焦半径的等式与不等关系，代进去立刻降成一次式。 由 可得 （最小值在右顶点取到），。所以右支上一点到两个焦点的距离之和没有最大值，最小值是 。 ★ 通径：过焦点且垂直于实轴的弦，长度为 。形式与椭圆一致，但它在两类弦里的地位不同，见下条。 ★ 过焦点的弦要分成两类，这是双曲线独有的麻烦： 设过 的直线斜率为 ，代入后二次项系数是 ，两个交点的横坐标之积为 。 时乘积为负，两个交点分居两支； 时乘积为正，两个交点在同一支上； 时直线与渐近线平行，只有一个交点。 两支情形的弦长最小值是 ，在直线就是实轴所在直线时取到；同一支情形的弦长最小值是通径 ，在直线垂直于实轴时取到。两者谁大取决于 与 的大小关系，所以「过焦点的弦最短是多少」必须先问清是哪一类。 ★ 与圆结合的弦：以 为直径的圆是 ，它与双曲线恒有四个交点（把 代入可解）。所以「双曲线焦点三角形为直角三角形」这种点在双曲线上总是存在，不需要额外条件——这也与椭圆「要 才存在」不同。 ★ 距离之和的最值：遇到 型（ 在双曲线上、 是定点、 是某焦点），先用定义把离 远的那个焦半径换成「另一个焦半径 」，把两段距离挪到同一条折线上，再用三角形不等式收口。换哪一个、加还是减 ，取决于 在哪一支、 在哪一侧。 ★ 内切圆与焦半径的分工：设 的内切圆与 、 的切点分别为 、，则 。这类切线长等式是把「内切圆」翻译成「线段长度」的通用步骤。 ★ 见到「过焦点的弦」，先判断它与双曲线交于两支还是同一支——这一步定下来，后面用哪条公式才不会错。 知识点五　直线与双曲线 ★ 联立仍是通用套路：把 代入 ，整理得 。 ⚠ 二次项系数 可能是 。当 ，即直线与渐近线平行时，方程退化成一次方程，直线与双曲线恰有一个公共点——这与「相切」是两回事。椭圆里「一个公共点」与「相切」等价，双曲线里不等价，这是本章最容易掉进去的坑。 ★ 交点个数的完整判断：先看 是否等于 。相等时直线平行于渐近线，至多一个公共点；不等时方程是二次的，再看 ： 两个公共点， 相切， 无公共点。 ★ 两支还是同一支，看两根的符号： 两根之积为负 两个交点分居两支 ； 两根之积为正且两根之和与 、 配合，得到两个交点同在右支或同在左支。「与右支交于两点」比「与双曲线交于两点」多了这一层限制，很多范围题的额外条件就出在这里。 ★ 弦长公式照旧：，用 设直线时改用 。设直线时优先用 ，它能自动包含竖直直线，不会漏解。 ★ 点差法（中点弦）：设弦的两端 、 都在双曲线上，两式相减因式分解得 ，用中点 与斜率 写就是 。 ⚠ 与椭圆对照：椭圆的对应式子是 ，双曲线没有那个负号。差别来自标准方程两个二次项符号相反。另外当 时这个式子失效，此时中点弦只能是竖直的，要单独讨论。 ⚠ 点差法只用到了「两端都在双曲线上」，并没有保证这条弦真的存在。所以用它求出斜率之后，必须回代检验 ，或者用「中点必须落在能取到弦的区域」来筛。 ★ 直线与两支相交时有一条漂亮的中点事实：直线 与双曲线交于 、 两点，与两条渐近线交于 、 两点，则 的中点与 的中点重合。因为两组横坐标之和都是 。于是 、 是线段 的三等分点，等价于 ；这类题的突破口全在这个「中点重合」上，不必逐点求坐标。 ★ 与渐近线有关的面积：直线与双曲线交于 、，与两渐近线交于 、，则 与 的面积满足 （两组点在同一直线上，高相同）。 ★ 中点弦的轨迹：把点差法给出的 与「弦过定点 」的斜率表达式联立，消去 就得到中点 的轨迹方程。注意最终的轨迹往往只是完整曲线上的一段，要把 或交点所在支的限制翻译成 、 的范围写到答案里。 ★ 切线与切点弦用同一个式子：把 里的 换成 、 换成 ，得 —— 在双曲线上时它是点 处的切线， 在双曲线外时它是两条切线的切点弦。 ⚠ 用切线时不要把「一个公共点」当成相切的判据：与渐近线平行的直线也只交于一个点，却与双曲线并不相切，这与判断交点个数时的道理是同一条。所以要写切线方程，一律代公式或令判别式 去解，不要靠数交点个数反推。 ★ 直线与双曲线的题，动笔前先算 与 的大小关系——它同时决定交点个数、所在支和后面能用的公式。 二、方法突破 方法一　定义与标准方程 双曲线的定义与椭圆只差一个字：椭圆是到两个定点距离之和为定值，双曲线是距离之差的绝对值为定值。差的绝对值带来两个后果——轨迹是两支而不是一圈，基本量关系式里最大的变成了 。这一节先把这两件事理清。 ★ 定义里的不等式 要比椭圆记得更仔细： 是双曲线， 是两条射线（不是线段）， 无轨迹。含参数的「距离之差的绝对值为 」型问题，卡点就在这个不等式。 ★ 判断焦点位置只看哪一项带正号。椭圆看分母大小，双曲线看正负号——这是两章之间最容易被混记的一处。 ★ 求标准方程有两条路：条件给的是「距离」的，优先用定义，把 直接读出来；条件给的是「离心率」「渐近线」或「过一个点」的，先由 与 化成 、 的方程，再用坐标条件补第二个方程。 ★ 与同渐近线的曲线打交道时，用系 去设，一个未知量配一个坐标条件就够，比常规设法少一半计算。 ★ 基本量的运算只有一条链：、。题目给什么就往这条链上靠，别急着设点、设直线。 ★ 等轴双曲线（）与共轭双曲线是两个特例，各自都有成套的固定结论，见到「等轴」「互为共轭」先默写这些结论再动笔。 ★ 拿到含参的双曲线方程，第一步永远是化成标准形，看哪一项带正号定焦点位置，再用 算 。这一步能同时定出参数的隐含范围。 例题 例 1-1 （广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题 · 第12题） 【填空】焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为_______. 【解析】 设所求双曲线的标准方程为 （，）。 两个焦点 、 都在 轴上，所以焦点在 轴，且 ， 曲线过点 ，代入方程得 记 ，则 ，上式成为 。 两边同乘 ： 即 ，整理得 解得 或 。 时 ，不符合 ，舍去； 时 ，合乎要求。 所以 、，双曲线的标准方程为 第 1 步　焦点位置决定设哪一种形式 ◈ 两个已知焦点都在 轴上，所以设 ，不能设成 项在前面的形式。焦点坐标顺带给出 ，于是 是已知条件，待定字母只剩一个。 第 2 步　 是筛根的依据 ◈ 解出 与 之后要回到 检验： 会让 。含参的二次方程出现两个正根时，几何意义常常只允许其中一个。 答　 例 1-2 （江门市2026届高考适应性测试 · 第8题） 【单选】若 的中线 ，且 ，，，在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，则 的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 先把 的边与中线放进中线长公式。 是 边上的中线，、、，由 代入 得 两边乘 ：，整理得 点 的坐标满足这条方程，两边同除以 ，即 所以 就是以 轴为实轴的双曲线，、， 离心率 选 B。 第 1 步　中线长公式把三条边连起来 ◈ 三条边与中线混在一起，中线长公式 是能一次消掉未知角的工具。也可以对 与 分别用余弦定理，再用两角互补相加，得到同一结果。 第 2 步　「点 在曲线上」就是把坐标代入 ◈ 得到 之后不必再想几何，它本身就是 的方程。注意 是横坐标、 是纵坐标，所以 是 项系数的倒数。 答　B 例 1-3 （广东省汕尾市2025-2026学年高三上学期综合测试（一）数学试题 · 第4题） 【单选】双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ） A. B. 不存在 C. D. 【解析】 双曲线 （，）的两条渐近线由 给出，即 记 ，两条渐近线就是 与 ，它们关于 轴对称，所成的锐角就是题中的夹角。 求夹角不必先设出角。在这两条直线上各取一个方向向量： 于是 两条直线的夹角 满足 （方向向量取反向不改变夹角，所以分子加绝对值，这样算出的 就是两条直线所成的锐角。） 由 得 ，所以 去绝对值要分两种情形。 若 （即 ）： 此时 ，即 。 若 （即 ）： 此时 ，即 。 （ 时 ，得 ，，不是 ，所以 本来就不在这两种情形之内。） 曲线过点 ，代入 得 两种情形分别代进去。 时，，所以 ，，合乎 。 时，，而 使左边恒为负，右边是 ，无解。 所以只有 、 一种情形，双曲线方程为 ，选 C。 第 1 步　夹角转成余弦，直接代数求解 ◈ 两条渐近线是 ，各取一个方向向量 、，夹角余弦就是 。把 代进去，得到的方程只含 ，不需要先设出角的记号再绕一圈。 第 2 步　绝对值要分两种情形讨论 ◈ 中， 给 ， 给 ，对应 与 两批解。只算一支就漏掉一半可能。 第 3 步　无解的那一支也要写出来 ◈ 两支都算完之后，一支给出 ，另一支让方程左边恒负而无解。把无解的一支摆出来，才能说明选项里的「不存在」为什么被排除。 答　C 练习 1-1. 【单选】若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 解析　答：B 双曲线 中 、， 题中的 、 恰好是两个焦点，。 先判断 在哪一支。右支上 ，到右焦点 的距离为 ，在顶点处取最小值 ；左支上 ，到右焦点的距离为 ，最小值为 。 已知 ，落在 与 之间，所以 在右支上。 右支上的点满足 ，于是 选 B。 1-2. 【单选】已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 解析　答：B 右焦点 在 轴上，所以双曲线形如 ，且 ， 轴说明 在过焦点且垂直于实轴的直线上。这条直线被双曲线截出的弦是通径，长为 ，而 恰是它的一半： 把 代入得 ，即 解得 或 ，取 。 实轴长 ，选 B。 1-3. 【填空】与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程为______． 解析　答： 与 有共同渐近线的双曲线，都可以写成 当 时焦点在 轴上，当 时焦点在 轴上，但渐近线始终是 ，因为渐近线只由 的比值决定。 曲线过点 ，代入得 所以曲线为 ，两边除以 化成标准形式 1-4. 【多选】若 ， 是两个不相等的正实数，则双曲线 与双曲线 的（　　） A. 实轴长相等 B. 焦距相等 C. 离心率相同 D. 渐近线相同 解析　答：BD 两条曲线的参数对照着看。 的实半轴为 、虚半轴为 ， 的实半轴为 、虚半轴为 ， A 项：实轴长分别为 与 ，题设 ，不相等，A 错。 B 项：，半焦距相同，焦距都是 ，B 对。 C 项：，，两式相等要求 ，与 矛盾，C 错。 D 项： 的渐近线由 给出，； 的渐近线由 给出，同样是 ，D 对。 选 BD。 1-5. 【单选】设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先把 的 、、 全部定位。实轴长 给出 ；再由离心率 于是 ， 的两个焦点为 、。 上的点到这两个定点的距离之和恒为 ，这是椭圆的定义，所以 是椭圆， 它的两个焦点仍是 ，故 ， 的标准方程为 写成平方形式即 ，选 D。 1-6. 【填空】函数 的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是 ______，焦距是 ______. 解析　答：； 把解析式拆成两部分看。 由一次项与反比例项相加而成：当 趋于无穷时反比例项趋于 ， 贴着直线 ；当 趋于 时反比例项趋于无穷， 贴着 轴。 所以这条双曲线的两条渐近线是 的倾斜角为 ，它与 轴的夹角为 。 实轴是平分这个角的那条直线，方向角为 ，即 （另一条角平分线 与曲线没有交点，可排除）。 求曲线与实轴 的交点： 取 ，交点为 ，它到原点的距离就是实半轴， 实轴方向角 、渐近线方向角 ，两者夹角 。在以实轴为横轴的坐标系里渐近线斜率等于 ，所以 离心率 ，焦距 。 方法二　渐近线 渐近线是双曲线独有的特征。这一节的全部内容可以压缩成一句话：双曲线的形状由 一个数决定，渐近线是 的几何化身，离心率是 的另一种写法。 ★ 求渐近线只有一句口诀：把标准方程右边的 换成 。焦点在 轴时得 ，焦点在 轴时得 。 ★ 渐近线与离心率的双向换算要熟到不用推：，。若渐近线与 轴的夹角是 ，还有 、。 ★ 焦点到渐近线的距离恒等于 ，与 无关。这是本节出现频率最高的一个结论，见到「过焦点作渐近线的垂线」就直接写 。 ★ 那条垂线还会把直角三角形 摆出来：、、。题里若出现圆 与渐近线的交点，那个交点其实就是垂足 ，不是另外算出来的。 ★ 双曲线上任一点到两条渐近线的距离之积为定值 。这个结论的用处是把「距离之积」类条件直接换成 、、 的等式，不必设点。 ★ 共渐近线的双曲线用系 设；反过来，只给一条渐近线的条件定不出曲线，必须再有一个点或一个焦点的信息。 ★ 遇到「渐近线与某条直线（或某个圆）相切、相交」的条件，先把渐近线方程写出来，再用点到直线距离或联立的判别式去接——不要把渐近线留在口头上。 例题 例 2-1 （2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题 · 第4题） 【单选】若双曲线的焦距是其实轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 焦距是实轴长的 倍，即 由 反解 ： 渐近线方程为 选 B。 第 1 步　渐近线只认比值 ◈ 焦距、实轴长给的是 与 的关系，渐近线的斜率却是 ，中间要靠 搭桥。先把 用 表示出来，再回头算 。 答　B 例 2-2 （衡阳市2026届高三下学期第二次联考 · 第12题） 【填空】已知双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线 的渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为 ______. 【解析】 右焦点 到渐近线 的距离为 这是一个可以直接引用的结论：焦点到任一条渐近线的距离恒等于虚半轴 。 题设 ，所以 ， 第 1 步　焦点到渐近线的距离恒为 ◈ 把渐近线写成 ，用点到直线的距离公式，分母是 ，分子是 ，约掉 之后恰好剩 。这个结果与焦点在左在右、取哪条渐近线都无关，所以凡见「过焦点作渐近线的垂线」，第一步就能把 读出来。 第 2 步　垂足到原点的距离是 ◈ 同一个直角三角形里 、（ 为垂足），由勾股定理 ，且 。把 、、 三条边放进这个直角三角形的题很多，记住它常能省下一段计算。 答　 例 2-3 （濮阳市2026年高三第二次模拟考试 · 第13题） 【填空】已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆 交于 ， 两点，则 ______. 【解析】 由离心率先求渐近线的斜率： 两条渐近线为 与 。 圆 的圆心为 ，半径为 。 圆心到直线 的距离 圆心到直线 的距离 所以只有 与圆有两交点， 与圆没有公共点，题中说的那条渐近线就是 。 由弦长公式 第 1 步　两条渐近线要分别验一遍 ◈ 离心率只给出 ，正负两支都可能，而题里只说「一条渐近线与圆交于两点」。算出弦心距后， 的 、 的 ，才确定是哪一条，这一步不能跳过。 答　 练习 2-1. 【填空】已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 解析　答： 离心率 给出 渐近线方程为 像这样实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，两条渐近线互相垂直，离心率恒为 。 2-2. 【单选】若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 设 是双曲线上异于两个顶点 、 的动点，由方程得 两条直线的斜率分别为 相乘并把 代入： 这个结果与 的位置无关。题设乘积为 ，所以 渐近线方程为 ，选 C。 2-3. 【单选】双曲线的右焦点为，过右顶点向轴引垂线与的渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线斜率为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 右顶点 ，右焦点 。过 且垂直于 轴的直线是 ，它与渐近线 的交点为 在直角三角形 中，、，，所以 即 。又 ，代入得 因 ，两边约去 ： 于是 ，，渐近线斜率为 ，选 D。 2-4. 【填空】已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则C的离心率为_______. 解析　答：2 焦点 到渐近线 的距离为 题设这个距离为 ，所以 离心率为 。 2-5. 【单选】若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 解析　答：D 表示双曲线，要求 与 异号，这样化成标准形式后 项与 项的系数才会一正一负。 渐近线只需把右边的 换成 ： 题设一条渐近线为 ，即 ， 选 D。 2-6. 【填空】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过点 作直线分别交两条渐近线于点 ，，交 轴于点 ， 为坐标原点。若 的面积是 的面积的 倍，则 ______. 解析　答： 设 、。两条渐近线分别是 与 。 过 的直线记为 ，设它与 交于 、与 交于 ，交 轴于 。 先求两个交点的纵坐标。把 与 联立： 与 联立： 再看面积。 以 为底，高是 ，面积为 ； 以 为底，高是 ，面积为 。 由题设 ，即 取 （直线斜向上），此时两个纵坐标同为正号，代入上式： 解得 ，即 。 把 代回两个交点的横坐标： 又 。、、 三点共线，线段长度之比等于横坐标之差之比，而 落在 、 之间，所以 方法三　几何性质与离心率 这一册最厚的一节，也是高考双曲线题的主战场。题目条件千变万化，落脚点只有一个：凑出一个关于 、、 的齐次关系式。 ★ 求离心率的通法：写出齐次式，同除 ，解关于 的一元方程。式子不齐次，说明还有坐标没换成 、、——先把那些坐标算出来。 ★ 求离心率的范围，除了等式还要用不等式。四个常见来源：点在双曲线上要求 ；直线与双曲线有交点的判别式与根的符号；角与边长条件给出的不等式；「存在点 」型的题要求某个方程有解。 ★ 两类条件要会翻译： 「垂直」翻译成向量数量积为零，或翻译成「点在以某条线段为直径的圆上」；「角平分线」先想角平分线定理（把角的两边与截出的线段连起来），再想能不能用对称点。 ★ 焦点三角形的三条现成结论：（、 是两条焦半径， 是 ）；面积 ； 时 。注意双曲线面积是 、椭圆是 ，别串。 ★ 内切圆的定直线结论： 在右支时 的内切圆圆心恒在 上，半径用 。见到「内切圆与 轴相切」「内切圆圆心在某条直线上」，直接用这句话。 ★ 与圆结合的题，先把圆心、半径算清楚。圆与渐近线相切、圆与双曲线相交，给出的都是圆心到直线（或到点）的距离与半径的关系，写成等式之后往往直接就是 、、 的关系。 ★ 条件多的离心率题，先把每个条件单独翻译成 、、 或坐标的关系写在一旁，再挑出能凑成齐次式的几条联立——一次翻译、一次联立，比边读边算稳得多。 例题 例 3-1 （嘉兴市2026届高三下学期4月二模教学测试 · 第7题） 【单选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，左、右顶点分别为 ，，点 为右支上异于 的一点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，若 的面积 ，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 设 是右支上异于 的点，则 。 过 作 轴的垂线，垂足为 ，于是 以 为底、高为 ，面积为 把两个式子代入题设 ： 两边都是非负数，可以平方，再用右支上的关系 ： 异于 ，故 ，，两边约去它： 把 、 代入： 解得 或 ，取 ，即 ，选 B。 第 1 步　两块几何量都化成坐标 ◈ 面积用底乘高、 用 ，两个条件都变成只含 、 的式子，再用曲线方程把 换掉，未知量就只剩 。 第 2 步　约去 靠的是「异于 」 ◈ 题设「 为右支上异于 的一点」保证了 。若 取 ，这个因子为零，两边同时为零，等式退化成恒等式，关于 的信息就全丢了。这类排除条件往往是约分的前提。 答　B 例 3-2 （赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第7题） 【单选】已知双曲线 左、右焦点分别为 ，，若过点 的直线 与圆 相切于点 ， 与双曲线 的右支交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 题目中出现「过 的直线与圆 相切」，先把切点的性质摆出来。 设切点为 ，则 且 。在直角三角形 中 ，由勾股定理 这个长度与切线的方向无关，恒等于虚半轴 。 题设 ，两向量同向，所以 在射线 上，且 记 ，在该直角三角形中 把 的横坐标写出来。 相对 沿横轴方向的位移是 ，而 的横坐标是 ，所以 在右支上，焦半径公式给出 ，与 联立： 两边同除以 。记 ，则 、，右边化简为 所以 两边平方并用 ，记 ，得 ， 选 D。 第 1 步　切线段长恒等于 ◈ 从焦点向圆 引切线，切线段 的长是 ，与切线方向无关。于是向量等式 可以翻译成长度 。 第 2 步　把向量倍数翻译成坐标 ◈ 说明 在射线 上、离 四倍远，故 。这一步把几何条件接到了焦半径公式上，是本题的枢纽。 答　D 例 3-3 （张家口市2026届高三下学期一模 · 第8题） 【单选】已知双曲线 左、右两个焦点分别为 ，，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点，且满足 ，（ 为坐标原点），，则双曲线 的离心率为（　　） A. B. C. D. 【解析】 设 ，则 。、 分别在左、右两支上，记 。 由 知 中 是直角，、，所以 在 中用余弦定理。 在左支上，，即 ： 展开整理： 在 中， 在右支上，，，余弦定理给出 把 与 代入： 式乘 与 式相减： 得 （ 不合题意）。代回 ： 选 C。 第 1 步　两个三角形各用一次余弦定理 ◈ 条件分散在 与 里：前者用 ，后者用 。两次都能把 、 按定义换成 与 的式子，于是两个三角形各贡献一条关于 、、 的方程。 第 2 步　 提供 ◈ 使 成为直角三角形，。把它代入余弦定理的一次项，正好与 约去一个 ，否则式子里会多出 这样的交叉项。 答　C 练习 3-1. 【单选】已知 ， 分别是双曲线 的左、右两个焦点，、 是双曲线上的两点，，，则双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析　答：B 由 知 在线段 上，且 。记 ，则 是左焦点，、 分居它的两侧。左支上 与 两段都属于左支，所以 、 都在左支上。 左支上的点到右焦点的距离比到左焦点的距离大 ，于是 在 中对 用余弦定理，： 代入得 其中 右边合并后为 两边乘 ：，即 取 （另一根为负）。 再补上 、、 三点共线的条件。设 与 轴正方向夹角为 ，由 、 得 两点都在双曲线上，把两条方程相减： 其中 代入并约去 ： 再把 的坐标代入双曲线方程，得另一条关系 由 解出 ，代入 ： 两边乘 ，记 ： 由 得 ，把 代入左端，即 两边除以 ，记 ： 又由 与 得 ，即 把 代入 消去 。先算出 于是 化为 两边乘 ，记 ： 展开：右边 ，左边 ，所以 ，解 得 （另一根为负）， 选 B。 3-2. 【单选】等轴双曲线 的左、右焦点分别为 ，，以 为直径的圆 与双曲线 交于 ，，， 四点。设四边形 的面积为 ，圆 的面积为 ， 为坐标原点，则（　　） A. B. C. D. 解析　答：B 等轴双曲线满足 ，取 ，此时 以 为直径的圆 的方程为 求圆与双曲线的交点，把两式联立。相加消去 ： 相减消去 ： 所以四个交点为 ，它们构成一个矩形，两条边长分别为 圆 的面积为 所以 选 B。 3-3. 【单选】已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则椭圆 的离心率 （　　） A. B. C. D. 解析　答：A 双曲线 的两条渐近线为 ，写成一般式是 。 圆 的圆心为 ，半径为 。 渐近线与圆相切，等价于圆心到渐近线的距离等于半径： 由 得 椭圆 中 ，焦点在 轴上，离心率为 选 A。 3-4. 【单选】已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 的离心率取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析　答：B 右焦点 ，倾斜角为 的直线斜率为 ，方程为 。 代入 ： 整理成关于 的方程 记二次项系数 ，按 的符号分三种情况。 若 ，两根之积为 ，两根异号，一个落在右支、一个落在左支，右支上恰有一个交点； 若 ，方程退化为一次方程，直线与渐近线平行，也只与右支交于一点； 若 ，两根之和 与两根之积 都是正数，两个交点都在右支上。 所以「与右支有且只有一个交点」等价于 ，即 取值范围为 ，选 B。 3-5. 【单选】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在 的渐近线上，且满足 ，，则 的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析　答：C 说明 在以 为直径的圆上，即 在这个直角三角形中，，又 ，所以 设 ，则 两式相除得 ，解得 所以 。 在渐近线上，渐近线斜率的绝对值等于 ： 选 C。 3-6. 【单选】已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 在第二象限且在渐近线上，设 ，其中 。 由 得 记 ，则 ，代入后 设 的中点为 ，则 在右支上，代入 ： 所以 与 中 只以比值出现，把 代入 后两边同除以 。记 ，则 ，，代入 ： 约去 ： 两边乘 ： 取 ，即 ，选 A。 3-7. 【单选】若双曲线 不存在以点 为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（　　） A. B. C. D. 解析　答：C 双曲线 中 ，离心率满足 。记 。 设存在以 为中点的弦，端点 、 都在双曲线上，则 两式相减： 记弦的斜率为 ，把 、 代入： 还要判断这条直线是否真与双曲线交于两点。把直线按参数写成 、（），代入后得到关于 的二次方程 是中点意味着两个根互为相反数，所以一次项系数为零，这正是上面求出的 。此时方程只剩两项，要有两个实根就需要二次项系数与常数项异号： 把第二个括号乘上 ，它等于 ，于是条件成为 用 计算第二个因子： 又 。两者相乘小于零，等价于 解得 或 。所以存在以 为中点的弦当且仅当 ，反过来「不存在」等价于 由 得 选 C。 3-8. 【单选】已知点 为双曲线 的右顶点，点 的坐标为 ，若 上存在一点 （不与点 重合），使得 ，则 的离心率的取值范围为（　　） A. B. C. D. 解析　答：B 等价于 ，即 ，所以 在以 为直径的圆上。 、，该圆的圆心为 ，半径为 ，方程为 把圆上的点写成 代入双曲线 ，记 ： 两边乘 ，并记 ： 恒是方程 的根，因为 。它对应 ，即 与 重合，已被题设排除。 由韦达定理，另一个根为 要使它对应圆上异于 的点，需要 。 解 ： 另一侧 恒成立，因为 。 所以 ，即 ， 又双曲线的离心率大于 ，所以 ，选 B。 3-9. 【单选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过点 且斜率为 的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，若 ，则双曲线 的离心率为（　　） A. B. C. 或 D. 或 解析　答：D 把直线 代入 ： 两个交点都在右支，要求两个根都为正，即 在这个前提下再看两根与 的位置。由韦达定理 说明两个交点分居 两侧，于是 。 设 、，则 。、 都在右支上，。由 得 设 的横坐标为 。 到 的距离是 ，而右支上的点都在 ，若 在 左侧，则 ，得 ，与 矛盾。所以 在 右侧，由 得 把 代入 并除以 。用 、， 化成 把 代入： 两边除以 ： 两边乘 ： 得 或 ，两个值都满足前提 ，所以 选 D。 3-10. 【单选】已知为双曲线的左右焦点，点的坐标为．若为等边三角形，则双曲线的离心率是（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 解析　答：C 、，。 是等边三角形，边长等于 ，所以 由两点间距离公式， 因此 结合 ，把 代入： 选 C。 3-11. 【填空】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 解析　答： 设 ，则 。在 中， 它是三角形的内角，须满足 由正弦定理，各边与所对角的正弦成比例： 所以 时 ，，从而 ，即 ，点 落在右支上。由双曲线定义 即 用和差化积化简： 代入得 由 得 ，且对区间内每个 都能由正弦定理确定对应的 ，所以离心率的取值范围为 。 方法四　焦点弦与焦半径 题目里出现焦点、过焦点的弦、两个焦半径的夹角，就一定有比联立更快的路子。这一节要做的是把几条现成结论用到条件反射的程度。 ★ 焦半径公式： 在右支时 、；在左支时整体取负。它把「点到焦点的距离」压成横坐标的一次函数，凡涉及焦半径的等式立刻降次。 ★ 过焦点的弦必须分两类。设过 的直线斜率为 ，则 时弦的两端分居两支， 时落在同一支上， 时与渐近线平行、只有一个交点。两类弦的最短长度不同：两支情形是 ，同一支情形是通径 。 ★ 焦点三角形的工具全部来自两个式子：定义给 ，余弦定理给 。由此得到 与 。 ★ 内切圆半径用面积法：。把 、 用焦半径公式算出来， 就确定了，不必求面积——这条在「内切圆半径之比」「内切圆半径之和」类的题里最省事。 ★ 距离之和的最值：先把离得远的那个焦半径用定义换掉（换成另一条焦半径 ），让两段距离接成一条折线，再用三角形不等式。换哪一条、加减 ，取决于 在哪一支、定点在哪一侧。 ★ 与圆结合的弦：以 为直径的圆 与双曲线恒有交点，所以「焦点三角形是直角三角形」这种点在双曲线上总存在——这与椭圆需要额外条件不同。 ★ 见到「过焦点的弦」，先判断它交于两支还是同一支；见到「内切圆」，先写切线长等式把线段长度翻译出来。 例题 例 4-1 （南通市2026届高三学业质量检测（一模） · 第10题） 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 作垂直于 轴的直线交 于 ， 两点，若直线 的斜率是 ， 的周长是 ，则（　　） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是 C. 面积是 D. 的外接圆半径是 【解析】 是过 且垂直于 轴的弦，也就是通径，两端关于 轴对称。设 、。 直线 的斜率为 即 。把 代入： 、 都是正数，所以 ，离心率 ，，渐近线为 ，A 错误。 通径长 再看 。 中 、，由勾股定理 把 、 代入： 由对称性 ，于是 的周长为 实轴长为 ，B 正确。 此时 、。底边 在直线 上，顶点 到这条直线的距离为 ，所以 C 正确。 的三边为 、、，面积 ，由外接圆半径公式 D 正确。 选 BCD。 第 1 步　通径两端写坐标，斜率条件直接给基本量 ◈ 、 的坐标是 ，把它们代进斜率公式，得到的是只含 、 的齐次方程，不必设点也不必联立。 第 2 步　周长与面积都要先定出 ◈ 周长 给出 ，此后 、、面积才能算出具体数。凡是把几个几何量打包成条件给出的题，第一步都是找这样的一个「定标尺」方程。 答　BCD 例 4-2 （福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷 · 第9题） 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，，过 的直线交 于 ， 两点，则下列结论正确的是（　　） A. B. 渐近线方程为 C. 的最小值为4 D. 内切圆圆心在直线上 【解析】 ，，，左焦点 ，A 正确。 渐近线由 得 ，即 ，与选项中的 不符，B 错误。 再看过焦点弦长的最小值。若 的斜率不存在， 为 ，代入得 ，，。 若 的斜率 存在，设 ，代入 并两边乘 ： 时二次项系数为零，方程退化成一次方程，直线与双曲线只有一个公共点，不成弦，不参与讨论。 设两根为 、，它们就是 、 的横坐标。由韦达定理 于是弦长 把它与 比大小。 时 ； 时 。两种情形都有 ，且 时取到等号（此时 、），再加上竖直情形的 ，最小值就是 ，C 正确。 最后看内切圆圆心。设 在右支上， 的内切圆与边 切于点 。由同一点引出的两条切线长相等， 由焦半径公式 、，又 ，代入得 的横坐标是 ，所以 的横坐标为 ，即 就是右顶点。内切圆在 处与 轴相切，圆心在过 且垂直于 轴的直线上，横坐标恒为 。点 在左支时同理，圆心在 上，D 正确。 选 ACD。 第 1 步　焦点弦长要分「两支」与「同一支」两类 ◈ 设过焦点的直线斜率为 ， 时弦的两端分居两支， 时落在同一支上。本题的 是负、正的分界，对应到 与 的大小，两种情形的最短长度不同，都要算到。 第 2 步　内切圆圆心的横坐标由切线长定出 ◈ 在 的表达式里，两条焦半径的 恰好抵消，只剩 ，于是 与 的位置无关，恒为顶点。这就是「内切圆圆心在 上」这条结论的来源。 答　ACD 例 4-3 （佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第14题） 【填空】已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，， 两点均在双曲线 上，且满足 （），，则 的内切圆半径为 ______. 【解析】 条件 （）说明 、 、 三点共线，且 在线段 上，于是 。 记 、。由方程得 、、，（记作 ）满足 。 先看 、 是否分居两支。若 在左支、 在右支，则 在 中对 用余弦定理： 展开两边并整理，得 这要求 或 。 使后者不成立； 时 ，更不可能。所以 、 不可能分居两支，只能同在右支。 同在右支时 同样对 用余弦定理： 展开两边： 把 代进 的面积与半周长。， 半周长 由 得 所以内切圆半径 第 1 步　向量等式先翻译成「 在线段 上」 ◈ 表明 与 同向， 夹在 、 之间，于是 等于两条焦半径之和。这一步定下整个式子的形状。 第 2 步　用反证排除「两支」情形 ◈ 两支时两条焦半径一条要减 、一条要加 ，代进余弦定理会得到 ，与几何条件冲突。排除掉之后，后面的式子才是齐整的。 第 3 步　半径用面积比半周长，整体约去 ◈ ，而 与 都含因子 ，再用 把分子换掉，、 被整体消去，不问 也能定出半径。 答　 练习 4-1. 【多选】已知双曲线 的左、右焦点为 ，，且 到双曲线渐近线的距离为 ，则（　　） A. B. 若过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，则 C. 若 为双曲线上一点，且 ，则 或 D. 若第一象限的点 在双曲线上，且 ，则点 的坐标为 解析　答：ABD 把 中的那条垂线摆出来。双曲线为 ，即 ，，渐近线为 。 到渐近线的距离 这个长度与 无关，只由 决定，故 ，A 正确。 过 且垂直于 轴的弦是通径，长度为 B 正确。 再看 C。若 在右支上，由定义 ，得 ； 若 在左支上，则 。但左支上的点到 的距离至少是 ，它大于 ，矛盾。所以 只能取 ，C 错误。 最后看 D。 说明 在以 为直径的圆上，即 把它与 （即 ）联立： 在第一象限，，，，D 正确。 选 ABD。 4-2. 【填空】已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，若 ，则 的外接圆的半径为 ______. 解析　答： 由方程得 、、，左顶点 ，右焦点 。 外接圆半径 ，分母里的 要先定下来，先算 。 若 为竖直直线 ，则 ，与题设 不合，故 的斜率 存在，且 （否则 与渐近线平行，只有一个交点）。 把 代入 并两边乘 ： 设两根为 、，则 、，且 于是 另一方面 所以 两式相加： 这说明 ，， 恰在以 为直径的圆上。而 、 在 的外接圆上，外接圆只有这一个，所以该圆就是 的外接圆，其半径为 4-3. 【多选】已知 ， 是双曲线 上两个不同的点， 是 的左顶点，则（　　） A. 的焦距为 B. 当 轴时， 与 可能垂直 C. 当 时，， 的横坐标之和的取值集合为 D. 当 ， 的纵坐标异号时，对任意的点 ，都存在点 ，使得 解析　答：AC 由方程得 ，，焦距 ，A 正确。左顶点 。 再看 B。 轴时 、 关于 轴对称，设 、，其中 。则 要使 ，需 ，此时 ，、 都与 重合，不是两个不同的点。B 错误。 再看 C。设 在 上且 ，则 ， 即 ，解得 所以 、 的横坐标各自只能取 或 ，两者之和的所有可能值为 C 正确。 最后看 D。选项说的是「对任意点 」，找出一个反例即可。取 ，它满足 ，在 上。 ，它与 轴正方向所成的角为 。过 且与射线 成 的射线只有两条，方向分别是 与 。 方向为 的射线上的点可写成 （）。代入 ： 解得 或 ，没有 的解。 方向为 的射线上的点可写成 （）。代入： 解得 或 ，同样没有 的解。 两条射线上都没有 上异于 的点，所以当 取 时，找不到满足 的点 。D 错误。 选 AC。 4-4. 【多选】在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，，过 的直线 与双曲线的右支交于 ， 两点（ 在第一象限），与 轴交于点 ， 为 的中点，，， 分别为 、 内切圆的半径，则（　　） A. 的离心率为 B. 与 上点的距离的最小值为 C. D. 解析　答：ACD 由 得 ，左、右焦点为 、。 设 。由 ： 与 都在直线 上，且到 的距离都是 ，所以 、 关于 对称，。若 ，则 落在第四象限，不合题意；故 ，，它确实在第一象限。 在右支上，用焦半径公式 ，又 ，代入得 所以 ，A 正确。此时 ，双曲线为 。 再看 B。 到 上一点 的距离平方为 把 代入： 时 ，等号能取到，所以最小距离为 ，不是 。B 错误。 再看 C。 过 与 ，斜率 设 ， 为 中点。把 在 、 两处相减： 左边正是 ，所以 ，C 正确。 最后看 D。在 中，底边 ，高为 ，面积 ；半周长为 所以内切圆半径 （右支上 、）。 对 ：。 对 ，把 代入双曲线，得 所以 ， 于是 D 正确。 选 ACD。 4-5. 【单选】设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 由方程得 、、。右焦点 ，左焦点 。 在右支上，由定义 ，所以 于是 这里用的是三角形不等式：、、 三点中， 不小于 。 计算 ： 所以 取等号要求 落在线段 上且在双曲线上。把 上的点写成 （），代入 并两边乘 ： 解得 或 ，两个值都在 内。其中 对应的点横坐标为 ，在右支上，正是所需的 。 所以最小值确实为 ，选 B。 4-6. 【填空】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为______． 解析　答：18 设 在左支上， 是 到某条渐近线的垂足。左支上的点到 的距离比到 的距离大 ，即 所以 设 是 到该渐近线的垂足。 在渐近线上，故 不小于点到直线的距离 ；再由三角形不等式 ，得 等号成立当且仅当 、、 三点共线且 在线段 上。此时 渐近线，。 于是 题设这个最小值为 ，所以 再看等号成立时 的位置。此时 就是垂足 。设渐近线为 ，则垂线 的斜率为 ，方程为 。它与渐近线联立： 代回渐近线得 ，即 。 以 为底，高为 ，面积 把 （）代入： 当 、 时等号成立，此时 ，最小值的条件也确实满足。所以面积的最大值为 。 4-7. 【填空】已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 的右支交于 ， 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 和 于点 ，。若 ，则 的离心率为 ______. 解析　答： 离心率与 无关，把 归一化为 。记 ，则 、，双曲线为 ，右焦点 。 直线 的方程为 ，代入并两边乘 ： 设两根为 、，由韦达定理 于是 通分： 直线 的斜率为 ，所以 的中点为 ，其横坐标 的垂直平分线斜率是 ，过 ，与直线 交于 。在斜率为 的直线上，两点距离等于横坐标之差的 倍，所以 括号内通分： 故 代入 ： 保证 ，两边约去 ，得 检验： 时 ，而直线的斜率为 ，，直线与右支确有两个交点，符合题意。故离心率为 。 方法五　直线与双曲线 直线与双曲线相交的计算量不比椭圆小，麻烦在于多了一层分类：交于两支还是同一支。这一节要练的是把设直线、联立、看根号、用韦达这套流程固定下来，并且不漏掉与渐近线平行的那条直线。 ★ 四步流程：设直线、联立、写韦达、把要求的量用 与 表示。第四步能写成对称式，计算量就可控。 ★ 设直线优先用 ，它天然包含竖直直线，不会漏解；过 轴定点、过焦点的情形尤其要用它。 ★ 联立后先看二次项系数 。它为零（直线与渐近线平行）时方程退化成一次方程，直线与双曲线只有一个公共点——这不是相切。椭圆里「一个公共点」与「相切」等价，双曲线里不等价，这是本节最容易掉的坑。 ★ 两根之积的符号决定交点在不在同一支：乘积为负就是两支，乘积为正还要看两根之和的符号才能定是右支还是左支。「与右支交于两点」比「与双曲线交于两点」多一层限制，许多范围题的隐含条件就出在这里。 ★ 点差法在中点弦上的形式是 ，没有负号（椭圆才有负号）。 时公式失效，中点弦只能是竖直的，要单独讨论。用完必须回代检验 。 ★ 直线与两支相交时，它被两条渐近线截出的线段与它被双曲线截出的线段中点重合。这个「中点重合」是三等分点、定长比这类题的通用突破口。 ★ 面积一律拆成「底乘高」：过 轴上定点的用 ，其余的先算弦长再乘高。选哪种写法，看哪一种能让式子更干净。 ★ 动笔前先比较 与 ——它同时决定交点个数、所在支、后面能用的公式，以及最值能不能取到。 例题 例 5-1 （石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二） · 第15题） 【解答】已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 在双曲线上。（1）求双曲线 的焦距；（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，求 。 【解析】 渐近线 说明 ，即 ，双曲线的方程可以写成 。把 代入： 所以 ，，焦距 右焦点为 。倾斜角 给出斜率 于是 。代入 ： 判别式 ， 与 确实交于两点。由韦达 两根之和与两根之积都为正，说明 、 落在同一支（右支）上， 夹在两者之间。于是 （1）焦距为 ；（2）。 第 1 步　渐近线定 与 的比例 ◈ 渐近线 与基本量的关系是 ，写成 之后 的方程退化成 ，代入一个已知点就直接定出 ，不用再借助 。 第 2 步　倾斜角先换成斜率 ◈ ，斜率为负说明这条弦的两端同在右支。求弦长只需要 ，端点坐标不必具体解出。 答　（1）；（2） 例 5-2 （湛江市2026届高三普通高考测试（二） · 第17题） 【解答】已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 。（1）求 的标准方程；（2）若过点 的直线 与 交于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹方程。 【解析】 离心率 即 ，于是，两条半轴相等。把 代入 ： 所以 ，也就是 设 、，中点 。把 、 的坐标分别代入 ： 两式相减，左边用平方差分解： 用中点坐标代入，、，得 时直线 的斜率 另一方面 、、 三点共线， 也在 上，所以 （）。两式相等： 把 放在一边，右边同样用平方差： 若 ，这条直线正是 的渐近线，与 没有公共点，不可能是弦 所在的直线，舍去。所以中点必在 上。 接着定出 的允许范围。设 ，即，代入 ： 要与 交于两点，需要 且 即 ，恰好把 与 两个退化的值排除在外。由韦达 时 ， 从 变到 ，故 ； 时 ， 从 变到 ，故 。 所以中点的轨迹方程是 ，其中 或 。 第 1 步　双曲线的点差法没有负号 ◈ 椭圆 的中点是，双曲线两项之间是减号，同样的推导出来的却是。本题 ，于是直接得到 。 第 2 步　轨迹方程只是必要条件 ◈ 消元得到 之后， 那条是渐近线，必须剔掉；剩下的 还要配上 给出的 的范围，才换算出 的两段区间。凡「求中点轨迹」，最后一步都要回到判别式。 答　（1）；（2）（ 或 ） 例 5-3 （山东省淄博市2025届高三下学期模拟考试数学试题 · 第16题） 【解答】已知双曲线，离心率，点在双曲线上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）点，分别是双曲线C的左右焦点，过点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若的周长为12，求直线l的方程. 【解析】 离心率 给出 ，于是 。 把 代入 ： 由 知第二项的分子分母同时缩了 倍，，于是 所以 ，，，、。 的周长由三边组成：弦 与两条焦半径。、 都在右支上，由定义 而 、、 共线， 在右支内部，正好夹在线段 上，所以 。周长 设 的斜率为 （竖直弦另算，见下），，代入 ： （ 即 时方程退化成一次方程，直线与渐近线平行，只有一个交点，不成为弦，直接排除。）设两根为 、，由韦达 于是 其中，所以 弦长 令它等于 ： 若 ，右边为 ，得 ，即 ，无解。 若 ，右边为 ，得 再验证交点确实在右支。 时方程化为 判别式 ，两根之和 、两根之积 ，两端点都在右支上，符合题意。 所求直线为 ，即 第 1 步　把两段焦半径接成整条弦 ◈ 、 都在右支，用定义把 、 各减去 ，剩下的两段焦半径首尾相接就是 。于是周长等于 ，与直线怎么放无关——这正是「过焦点作弦」类问题里周长的标准处理。 第 2 步　弦长与 的关系 ◈ 联立后二次项系数 不能为零，否则方程退化成一次方程，直线与渐近线平行，只有一个公共点。整理出的弦长 在 处断开：这一侧的弦落在两支上，那一侧落在同一支上，最小值分别是 与通径。本题最后解出 ，属于同一支的情形。 答　（1）；（2） 或 练习 5-1. 【单选】双曲线的方程为，直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，与两条渐近线分别交于E，F两点，若E，F是线段AB的三等分点，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 解析　答：D 即 ，两条渐近线都是 ，也就是 。 把 代入 ： 于是 、， 再把 代入 ： 由韦达，、 的纵坐标满足 ，而 、 的纵坐标满足 ——两条线段的中点纵坐标相同，又都在同一条直线上，所以中点完全重合。 中点重合，、 要成为 的三等分点，只差长度条件： 直线 上横坐标的差是纵坐标差的两倍，所以 于是 ，即 解得 ，。 回代检验：此时 ，两根为 与 ，对应、。、、 三段相等，确为三等分点，且 在左支、 在右支。 选 D。 5-2. 【多选】已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，，过 的直线与 的右支相交于 ， 两点，则下列结论错误的有（　　） A. 的方程为 B. C. 的渐近线方程为 D. 当 时（ 为原点）， 的面积为 解析　答：BC 焦点坐标给出 ，再由 得 ，于是 所以 ，与 A 中的式子一致，A 成立。 看渐近线。令 ，得，即 ，写成一般式是 。选项里的 相当于 ，斜率不对，C 不成立。 看弦长。通径（过焦点且垂直实轴的弦）长为 过 的直线只要与右支交于两点，弦长总不小于通径，所以 。选项写的是 ，把不等号的方向弄反了，B 不成立。 看面积。，条件 就是 。设 ，两个条件写成 第二式两边乘 得 。把 代入： ，满足 在右支上的要求。于是 焦点三角形的底边在 轴上，长为 ，高为 ： D 成立。 题目问的是错误结论，所以选 B、C。 5-3. 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，离心率为 ，点 在双曲线上，则下列说法正确的是（　　） A. 双曲线 的渐近线方程为 B. 若 ，则 C. 的最小值为 D. 点 到 的两条渐近线的距离之积为定值 解析　答：ACD 由 得 ，。渐近线为 ，A 正确。 看 B。设 ，则 ，由定义 得 。（若 在左支，定义给出的是，与 联立会得到，矛盾，所以 只能在右支。） 此时 、，。由余弦定理 所以 ，，B 错误。 看 C。由定义， 与 中较大的那个减去较小的恒为 。当 在右支上时 ，，所以 当 在左支上时两条焦半径互换角色，同样得。等号在顶点处取到，所以最小值就是 ，C 正确。 看 D。，渐近线为 。设 ，它到两条渐近线的距离之积 而 在 上，，两边乘 得 。代入上式，距离之积恒为 ，与 的位置无关，D 正确。 选 ACD。 5-4. 【多选】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，左、右顶点分别为 ，，过 的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点（ 在第一象限内）， 为原点。若 ，点 到两条渐近线的距离之积为 ，则（　　） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为 C. 面积的最小值为 D. 直线 、 的倾斜角之和为 解析　答：ACD ，所以 。 设 在 上。渐近线为，即 ， 到两条渐近线的距离之积 而 两边乘 得，所以这个乘积恒等于，与 的位置无关。 代入 与已知值 ： 于是 ，两条渐近线为 ，A 正确。离心率 ，B 错误。 看 C。设 。代入 ： 与左、右两支各交一点，要求两根异号，即，所以 。设 、， 的面积 把 代入括号： 于是 记 ，则 ，。求导： 所以 随 单调递减，最小值在 处取到，此时 ， 与 交于 ， C 正确。 看 D。记直线 的斜率为 、直线 的斜率为 。 在 上，过 且斜率为 的直线 与 联立： 是一个根，由韦达另一个根 代回直线得 。同理过 且斜率为 的直线与 的另一个交点为 、 与定点 共线，两点与 的连线斜率相等： 把坐标代入，两边分别是 与 ，交叉相乘并整理： 、 是不同两点，，所以 设这两条直线的倾斜角为 、，则 的解在每个 的区间内只有一个，即 （ 为整数）。只要把 框在一个完整的区间里， 就定下来了。 先看 的范围。 在第一象限且在右支上，所以 、，而 ，于是 又由 得 ， 时 ，即 。 再看倾斜角。正切在 上单调递增，而 ，所以由 得 ；同样正切在 上单调递增，而 ，所以由 得 。两式相加： 这个区间内满足 的只有，也就是 ，D 正确。 选 ACD。 5-5. 【多选】以坐标轴为对称轴的双曲线 过点 ，其一条渐近线过点 ，且两焦点为 ，。若直线 分别与 的两支交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 双曲线 的方程为 B. 若 ，则点 在直线 上 C. 若 ，则 的取值范围为 D. 若 ，则 与 的内切圆的半径之比为 或 解析　答：ACD 题目只说「以坐标轴为对称轴」，焦点可能在 轴上，也可能在 轴上，先排除后者。若 ，渐近线为 ，过 说明，即 。把 代入： 左边恒为负数，不可能等于 ，所以焦点只能在 轴上，设 。渐近线 过 ，得 再代入 ： 所以 ，，，A 正确。此时 ，，、。 看 B。 时 就是 ，代入 ： 由韦达 于是 ，中点 始终在直线 上，而不是 ，B 错误。 看 C。 时 经过原点，、 关于原点对称。设 ，则 。由 得 ，记 。两条焦半径之积 两个根号里的式子分别是 与 ，所以 用 代入： 所以 。又 ，故 ；而 要求 ，此时 是 轴，不在 （ 为实数）的范围里，所以 ，只能趋近于 。于是乘积的取值范围是，C 正确。 看 D。 时 过右焦点 ，设 （ 写成 时 有限，故 ，不会是 轴）。代入： 与两支各有一个交点，要求两根异号，即 。设 在右支、 在左支，记 、，由韦达 先算两个内切圆的半径。 在右支上，由焦半径公式 半周长，面积，所以 又 在 上，，于是 左支上的 同理，把 换成 即可：。两式相除并平方： 把韦达的结果代进去，分子 分母 所以 ，即一条半径是另一条的两倍，两个内切圆的半径之比为 或 ，D 正确。 选 ACD。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $