07 椭圆与直线位置关系问题 专项训练—2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线与椭圆位置关系，融合近5年高考真题与教材基础题，系统覆盖方程求解、离心率、轨迹、定点定值等核心题型，构建从概念到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考真题|20道|含方程求法、离心率计算、轨迹推导及定点定值证明，强调几何关系代数化|以椭圆定义为起点，通过联立方程、韦达定理实现几何问题坐标化，体现从基础计算到综合证明的递进| |回归教材|7道|侧重位置关系判断、弦长计算及中点轨迹基础问题|立足教材例题，强化判别式应用、中点坐标公式等通性通法，为综合题奠定方法基础|

2027届高三一轮复习圆锥曲线教材+真题版专项练习 ——07 直线与椭圆的位置关系 专项练习： 1. 【2026年全国II卷数学第18题】已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． （1）求的离心率； （2）设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【答案】（1） （2）（i）的方程为； （ii）当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程；（ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【解析】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ，那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ，所以 ，由于截线段长为 ，解得 ，故 ，离心率 . （2）(i) 方法一：由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ，那么当时，点，点与点重合；当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即，联立，解得，即点， 设，则由，代入椭圆方程得，即，两边乘以得， 整理得，把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率；设直线方程为，，那么点，由于轴，则，由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为， 即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 2、【2026年天津卷数学第18题】已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的离心率可知，，然后将代入椭圆方程即可求解； （2）根据直线与圆相切即可求出，分类讨论即可. 【解析】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即，由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为，设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得，椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 3. 【2025年天津卷数学第18题】已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【解析】（1）依题意，设椭圆的半焦距为，则左焦点，右顶点，离心率，即，因为为上一点，设，又直线的斜率为，则，即，所以，解得，则，即，因为的面积为，，高为，所以，解得， 则，，所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，，易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以，即，则，解得，则，所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ，则，又，所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又，所以，即平分. 法三：则，， 故，又， 所以，即平分. 法四：则，所以直线的方程为，即，则点到直线的距离为，又点到直线的距离也为，所以平分. 4. 【2024年北京卷数学第19题】已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D． （1）求椭圆方程和离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）说明直线斜率存在，设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【解析】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为； （2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，，联立， 化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以，此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 5．【2024年全国甲卷（文）数学第18题】设椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故，又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 6. 【2023年全国乙卷理科第20题】已知椭圆C：的离心率为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【解析】(1)由题意可得，解得，所以椭圆方程为. (2)由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得，因为，则直线， 令，解得，即,同理可得， 则 ，所以线段的中点是定点. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 7. 【2023年北京高考数学卷第19题】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【解析】（1）依题意，得，则，又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，所以，即，则，所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即，显然，与不重合，所以. 8.已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________． 【答案】 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】解：令的中点为，因为，所以，设，， 则，，所以， 即，所以， 即，设直线，，，令得，令得， 即，，所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 9. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【解析】（1）依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为； （2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得， 所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得，所以 ，所以， 即 即 即 整理得，解得 10．已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于 点．若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)． 解析：(1)易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为； (2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为． 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即． 11.设椭圆的左焦点为，上顶点为，已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆在第一象限内的交点为，且与直线交于点， 若(为原点)，求的值． 【解析】(1)设椭圆的焦距为，由已知有，又有，可得．由已知可得，，由，可得，从而．所以，椭圆的方程为． (2)设，由已知有，故，又因为 ，而，故，由，可得． 由方程组，消去，可得． 易知直线的方程为， 由方程组，消去，可得，由，可得， 两边平方，整理得，解得，或．所以，的值为． 12、已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程; (2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点． 【答案】(1);(2)． 【分析】(1)根据两点关于轴对称,由椭圆的对称性可知经过,另外知,不经过点,所以在上,因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出的方程;(2)先设直线与直线的斜率分别为,再设直线的方程,当与轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设(),将代入,写出判别式,根与系数的关系,表示出,根据列出等式,表示出和的关系,判断出直线恒过定点． 【解析】(1)由于,两点关于轴对称,故由题设知经过,两点． 又由知, 不经过点,所以点在上． 因此,解得． 故的方程为． (2)设直线与直线的斜率分别为, 如果与轴垂直,设,由题设知,且,可得的坐标分别为,． 则,得,不符合题设． 从而可设:()． 将代入得 由题设可知． 设,则,． 而． 由题设,故． 即．解得．当且仅当时,, 欲使:,即,所以过定点． 法二:求点代点法 设,直线的方程为:,直线的方程为 联立,消去可得,得, 即,同理,由题意可知 所以 于是的直线方程为 令,得,所以直线过定点． (为什么令?用特殊法!直线方程中令,得两直线,求这两直线交点即可．) 法三:齐次方程 设,的直线方程为, 设 则 化齐次得: 即,显然以上方程代表以,为根的方程 又,所以 于是的直线方程为,所以直线过定点． 13、已知椭圆的离心率为，的面积为1． (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证： 为定值． 【答案】(1)；(2) 【官方解答】(Ⅰ)由题意得解得．所以椭圆的方程为． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，，设，则． 当时，直线的方程为． 令，得．从而．直线的方程为． 令，得．从而． 所以 ． 当时，，所以． 综上，为定值． 【民间解答】⑴由已知，，又，解得 ∴椭圆的方程为． ⑵方法一：设椭圆上一点，则． 直线：,令，得．∴ 直线：,令，得．∴ 将代入上式得，故为定值． 方法二：设椭圆 上一点， 直线:,令，得．∴ 直线:,令，得．∴ 故为定值． 14.已知椭圆()的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆由且只有一个公共点． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，的直线平行椭圆交于不同的两点，且与直线交于，证明：存在常数，使得，并求的值． 【答案】【官方解答】(1)由题意知，则椭圆 由所以 此时方程(1)的解为，所以求椭圆的方程为，点的坐标为． (2)法一：设，直线：， 由方程组，即， 所以，由， ， 由韦达定理知，则， 同理可得， 所以，则， 故存在此时，使得成立． 【民间解析】(1)由题意知，由， 所以，所以求椭圆的方程为，点， (2)设点，直线的参数方程为为参数) 代入椭圆的方程，则有 设 对应的参数分别为，则． 15．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或． 解析：（Ⅰ）设直线，，，． 将代入得，故， ．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形能为平行四边形． 因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，． 由（Ⅰ）得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此． 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是 ．解得，．因为，，，所以当的斜率为 或时，四边形为平行四边形． 16、如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，Q点的坐标为． 解析：(1)由已知，点在椭圆E上． 因此，解得．所以椭圆的方程为． (2)当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点． 如果存在定点Q满足条件，则，即． 所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为． 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点．则， 由，有，解得或． 所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为． 下面证明：对任意的直线，均有． 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为． 联立得．其判别式， 所以，．因此． 易知，点B关于y轴对称的点的坐标为． 又， 所以，即三点共线．所以． 故存在与P不同的定点，使得恒成立． 17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若，求直线的方程． 𝐹 B A O x y l P C 【答案】(1)(2)或． 【分析】(1)求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程组即得(2)因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量．首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程． 解析：(1)由题意，得且，解得，，则， 所以椭圆的标准方程为． (2)当轴时，，又，不合题意． 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，， 将的方程代入椭圆方程，得， 则，的坐标为，且 ． 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意． 从而，故直线的方程为， 则点的坐标为，从而． 因为，所以，解得． 此时直线方程为或． 18．已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点． (Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)； (Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)存在点． 解析：(Ⅰ)由于椭圆：过点且离心率为，，，椭圆的方程为． ,直线的方程为，令，； (Ⅱ)，直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则． 设，, , , 则，所以，(注：点在椭圆上，)，则，存在点使得． 19.已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记得到的平行四边形的面积为． （1）设，．用坐标表示点到直线的距离，并证明； (2)设与的斜率之积为，求面积的值． 【答案】(1)到直线的距离为；证明见解析；(2)； 解析：(1)由题易知两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况 ①当两点的横坐标有一个为零时，不妨设，不失一般性，此时与轴重合，到直线的距离为，平行四边形的面积为； ②当两点的横坐标均不为0时，即和的斜率均存在时，设的方程为，其中，由可得， 所以弦长 点到直线的距离，所以四边形的面积为 综合①②点到直线的距离为，平行四边形的面积为． (2)易知两直线的斜率分别为：，，由与的斜率之积为可得： ，又，， 所以，即， 化简得，所以平行四边形的面积为． 20.设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为．已知． (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切．求直线的斜率． 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或． 解析:(Ⅰ)设椭圆右焦点的坐标为．由,可得, 又,则．所以,椭圆的离心率． (Ⅱ)由(Ⅰ)知．故椭圆方程为．设．由, 有,．由已知,有,即． 又,故有①．又因为点在椭圆上,故②． 由①和②可得．而点不是椭圆的顶点,故, 代入①得,即点的坐标为．设圆的圆心为, 则,,进而圆的半径． 设直线的斜率为,依题意,直线的方程为． 由与圆相切,可得,即,整理得,解得． 所以,直线的斜率为或． 回归教材： 1、【人教A版选择性必修一第3.1.2节例7】如图3.1-13，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？ 图3.1-13 分析：直线l与椭圆C的公共点的个数与方程组 解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答． 解：由方程组，消去y，得． ① 方程①的根的判别式． 由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 2、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第2题】经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 【答案】 【分析】求出椭圆的左焦点，根据点斜式设出方程，联立直线方程与椭圆方程消去，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦的长． 【详解】椭圆方程为，焦点分别为，，直线过左焦点倾斜角为，直线的方程为，将方程与椭圆方程消去，得，设，，，，可得，，， 因此，． 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 3、【人教A版选择性必修一习题3.1第14题】已知椭圆，一组平行直线的斜率是． （1）这组直线何时与椭圆相交？ （2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】（1）纵截距在，时与椭圆相交；（2）证明见解析 【分析】（1）设出平行直线的方程：，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围； （2）运用中点坐标公式和参数方程，消去，即可得到所求的结论． 【详解】（1）设一组平行直线的方程为，代入椭圆方程，可得，即为，由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在，，与椭圆相交； （2） 证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得，即有，代入直线方程可得截得弦的中点为，，由，消去，可得．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 4、【人教B版选择性必修一复习题03C组第6题】过椭圆的中心作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，求的周长的最小值。 【答案】 【解析】由椭圆对称性：中心弦满足，设椭圆另一焦点为，连接， 四边形为平行四边形，故，周长， 由椭圆定义：，因此，只需最小化弦长，过椭圆中心的弦， 最短为短轴长，所以周长最小值。 5、【人教B版选择性必修一复习题03B组第15题】已知直线与椭圆相交于A，B两点，当m变化时，求的最大值。 【答案】 【解析】联立，消去得：。设。 。韦达定理：。 由弦长公式知，当时，最大，。 6、【人教B版选择性必修一复习题03A组第18题】已知直线与椭圆相交于不同的两点，求的取值范围。 【答案】或 【解析】联立，代入得：，相交于两个不同点： ，解得或。 7、【人教B版选择性必修一习题2—8A第4题】已知直线和椭圆，分别求直线与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围。 【答案】两个公共点：或；一个公共点：；无公共点：。 【解析】联立，整理：。 （1），两个交点； （2），相切，一个交点； （3），无交点。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习圆锥曲线教材+真题版专项练习 ——07 直线与椭圆的位置关系 专项练习： 1. 【2026年全国II卷数学第18题】已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． （1）求的离心率； （2）设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 2、【2026年天津卷数学第18题】已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 3. 【2025年天津卷数学第18题】已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 4. 【2024年北京卷数学第19题】已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D． （1）求椭圆方程和离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t． 5．【2024年全国甲卷（文）数学第18题】设椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 6. 【2023年全国乙卷理科第20题】已知椭圆C：的离心率为，点在C上. （1）求C的方程； （2）过点的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 7. 【2023年北京高考数学卷第19题】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 8.已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________． 9. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 10．已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为，且． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于 点．若，求直线的方程． 11.设椭圆的左焦点为，上顶点为，已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆在第一象限内的交点为，且与直线交于点， 若(为原点)，求的值． 12、已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程; (2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点． 13、已知椭圆的离心率为，的面积为1． (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证： 为定值． 14.已知椭圆()的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆由且只有一个公共点． (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，的直线平行椭圆交于不同的两点，且与直线交于，证明：存在常数，使得，并求的值． 15．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 16、如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，，若，求直线的方程． 𝐹 B A O x y l P C 18．已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点． (Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)； (Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 19.已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记得到的平行四边形的面积为． （1）设，．用坐标表示点到直线的距离，并证明； (2)设与的斜率之积为，求面积的值． 20.设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为．已知． (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切．求直线的斜率． 回归教材： 1、【人教A版选择性必修一第3.1.2节例7】如图3.1-13，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？ 图3.1-13 2、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第2题】经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长. 3、【人教A版选择性必修一习题3.1第14题】已知椭圆，一组平行直线的斜率是． （1）这组直线何时与椭圆相交？ （2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 4、【人教B版选择性必修一复习题03C组第6题】过椭圆的中心作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，求的周长的最小值。 5、【人教B版选择性必修一复习题03B组第15题】已知直线与椭圆相交于A，B两点，当m变化时，求的最大值。 6、【人教B版选择性必修一复习题03A组第18题】已知直线与椭圆相交于不同的两点，求的取值范围。 7、【人教B版选择性必修一习题2—8A第4题】已知直线和椭圆，分别求直线与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $