专题19 立体几何综合应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题19　立体几何综合 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题19　立体几何综合应用 一、核心知识 1．平行关系的转化链：线线平行 （判定定理）线面平行 （判定定理）面面平行；反过来由性质定理成立，解题时按需在这三者间来回转化。 2．线面平行的判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；性质：过该直线的平面与原平面相交，交线与该直线平行。 3．面面平行的性质：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得两条交线互相平行；夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。 4．线面垂直的判定：一条直线垂直于平面内两条相交直线；性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 5．面面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线；性质：在一个平面内作交线的垂线，则这条直线垂直于另一个平面。 6．直线与平面所成角：平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，取值范围是 ，它是该直线与平面内所有直线所成角中最小的角。 7．二面角：平面角的大小用“在棱上一点分别在两个半平面内作与棱垂直的射线”来度量；向量法中要注意由图形判断锐钝，不能只取绝对值。 8．点到平面的距离：常用等体积法——把该点与平面内三点组成三棱锥，换一个底面后用 反求高；也可用向量法 。 9．折叠问题的关键是抓住“折前折后不变量”：折线同侧的线段长度与夹角不变，折线两侧的相对位置随二面角改变；常在原图中作垂线构造直角三角形。 10．展开与最短路径：把空间曲面展开成平面，最短路径转化为平面上两点间的线段长；展开方式不唯一时必须逐一比较取最小值。 11．截面问题用交线法：先找截面与几何体各面的交线（平行则平行、不平行则延长找交点），再顺次连接得到截面多边形。 12．动点与最值问题：优先用几何法（对称性、三点共线、垂线段最短），必要时建立空间直角坐标系，把目标量写成参数的函数，在参数取值范围内求最值。 二、题型精练 题型一　平行与垂直关系的综合证明 【方法与技巧】 证线线平行的三条常用路子：三角形（或梯形）中位线定理、构造平行四边形、平行公理（同平行于第三条直线）。 证线面垂直的第一步是“找两条相交直线”，常用模型有：底面是矩形、正三角形的三线合一、直径所对的圆周角是直角。 证面面垂直通常转化为证线面垂直：在一个平面内找出（或作出）一条垂直于另一个平面的直线。 【例题精讲】 1．要证明直线 平面 ，下列方法中可行的是（　　） A．在 内找一条直线与 平行 B．证明 与 内的一条直线垂直 C．证明 垂直于 内两条相交直线 D．证明 与 相交于一点 2．证明两个平面平行时，下列条件中不充分的是（　　） A．一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 B．一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面 C．两个平面都垂直于同一条直线 D．一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 3．要证明平面 平面 ，可以转化为证明（　　） A． 内有一条直线垂直于 B． 内有两条平行直线垂直于 C． 与 内各有一条直线互相垂直 D． 与 相交成 角 【变式训练】 1．下列命题中正确的是（　　） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．平行于同一个平面的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．垂直于同一个平面的两个平面平行 2．设 、 为空间两条直线， 为一个平面，下列结论正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 3．正方体 中，与直线 AC 异面的棱共有（　　） A．6 条 B．4 条 C．8 条 D．2 条 4．已知直线 、 与平面 ，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 5．在四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，则 EF 与平面 ACD 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．EF 在平面内 D．无法确定 6．若三个平面两两相交且有三条交线，则这三条交线（　　） A．互相平行或交于一点 B．一定交于一点 C．一定互相平行 D．一定两两异面 【巩固练习】 1．用判定定理证明线面平行，必须同时满足的条件是（　　） A．直线在平面外且与平面内一条直线平行 B．直线与平面内一条直线平行 C．直线与平面没有公共点 D．直线与平面内两条直线平行 2．已知 、 是异面直线，则下列结论正确的是（　　） A．存在平面 使 且 在 内 B．不存在平面与 、 都平行 C． 与 不可能垂直 D．过 有且只有一个平面与 垂直 3．正方体 中，下列直线与 垂直的是（　　） A．BD B． C． D． 4．若平面 平面 ，直线 在 内，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C． 在 内 D．无法确定 5．已知直线 平面 ，直线 在 内，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．异面且不垂直 D．相交但不垂直 6．正方体 中，平面 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 7．设 、 是平面 内的两条相交直线，若直线 且 ，则（　　） A． B． C． 在 内 D． 与 斜交 8．空间中三条直线两两相交且不共点，则它们可以确定　　　　个平面。 题型二　空间角的综合求法 【方法与技巧】 求异面直线所成角：平移法（取中点作中位线、补形为平行六面体）或向量法 ，注意取绝对值。 求线面角：先找（或作）斜线在平面内的射影，关键是找垂足——过直线上一点作平面的垂线；向量法用 ，注意是正弦。 求二面角：定义法作棱的垂面、三垂线定理法、面积射影定理 射原、向量法（法向量夹角，符号由图形判断）。 【例题精讲】 1．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 2．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角为（　　） A． B． C． D． 3．正方体 中，二面角 的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 2．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 3．正方体 中，平面 与平面 ABCD 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．长方体 中，，，，则体对角线 的长为（　　） A． B．7 C．10 D． 5．若直线 与平面 所成角为 ，则 与 内任意一条直线所成角的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．正方体 中，异面直线 AC 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 2．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角为（　　） A． B． C． D． 3．正方体 中，二面角 的大小为（　　） A． B． C． D． 4．直线与平面所成角 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角为（　　） A． B． C． D． 6．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 7．若异面直线 、 的方向向量分别为 与 ，则 与 所成角的大小为　　　　。 8．长方体 中，，，则直线 与平面 ABCD 所成角的正切值为　　　　。 题型三　空间距离与体积的综合计算 【方法与技巧】 求点到平面的距离首选等体积法：把该点与平面内三点组成三棱锥，换一个底面后用 反求高，可避开作垂线的困难。 向量法求距离：，其中 A 为平面内任一点， 为平面的法向量。 求体积常用割补法：把不规则几何体分割（或补形）为若干个柱、锥；用 时务必注意底面与高的对应关系。 【例题精讲】 1．正方体 的棱长为 1，则点 A 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．棱长为 1 的正方体中，四面体 的体积为（　　） A． B． C． D． 3．三棱锥 中，平面 ABC，， 是边长为 2 的正三角形，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．棱长为 2 的正方体中，点 A 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 2．正四面体的棱长为 2，则其体积为（　　） A． B． C． D． 3．正方体的棱长为 1，则三棱锥 的体积为（　　） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则其体积为（　　） A． B． C． D． 5．正方体 的棱长为 1，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 6．已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 ，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．正方体 的棱长为 1，则点 到平面 ABCD 的距离为（　　） A．1 B． C． D． 2．正方体 的棱长为 1，则四棱锥 的体积为（　　） A． B． C． D． 3．正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 3，则其体积为（　　） A． B． C． D． 4．圆锥的底面半径为 1，高为 ，则其侧面积为（　　） A． B． C． D． 5．球的表面积为 ，则其体积为（　　） A． B． C． D． 6．正方体 的棱长为 1，则点 A 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 7．若三棱锥 的体积为 12，底面 的面积为 9，则其高为（　　） A．4 B．3 C．6 D．12 8．正方体 的棱长为 1，则三棱锥 的体积为　　　　。 题型四　折叠、展开与截面问题 【方法与技巧】 折叠问题要抓住“折前折后不变量”：折线同侧的线段长度与夹角保持不变，变化的是两个半平面的相对位置（即二面角）。 解题时常在原平面图形中作出垂直于折线的线段，折叠后这两条线段所成的角就是二面角的平面角，再用余弦定理求目标线段。 展开求最短路：把相邻的面摊平到同一平面内，最短路就是平面上两点间的线段；展开方式不唯一时要逐一算出再取最小值。 【例题精讲】 1．把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则折后 BD 的长为（　　） A．1 B． C． D． 2．棱长为 1 的正方体 中，一只蚂蚁沿表面从顶点 A 爬到顶点 ，最短路程为（　　） A． B． C． D．3 3．正方体 中，过 A、C、 三点的截面是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式训练】 1．把边长为 2 的正方形沿对角线折成直二面角，则折后另一条对角线的长为（　　） A．2 B． C． D．4 2．长、宽、高分别为 3、4、5 的长方体中，从一个顶点沿表面爬到相对的顶点，最短路程为（　　） A． B． C． D． 3．正方体 中，过 A、D、 三点的截面是（　　） A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．五边形 4．把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 的二面角，则折后 BD 的长为（　　） A． B．2 C． D．1 5．正方体 中，过 A、 且与直线 BD 平行的截面形状是（　　） A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形 6．将长为 4、宽为 3 的矩形卷成圆柱的侧面，则该圆柱的底面半径为（　　） A． 或 B． C． D． 【巩固练习】 1．把边长为 1 的正三角形 ABC 沿中线 AD 折成直二面角，则折后 BC 的长为（　　） A． B．1 C． D． 2．正方体 中，过 A、、 三点的截面形状是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则其侧面展开图的面积为（　　） A． B． C． D． 4．圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则其侧面展开图的圆心角为（　　） A． B． C． D． 5．半径为 1 的半球（含底面）的表面积为（　　） A． B． C． D． 6．把边长为 2 的正方形沿对角线折成 的二面角，则折后另一条对角线的长为（　　） A． B．2 C． D． 7．正方体 的棱长为 2，蚂蚁沿表面从 A 爬到 的最短路程为（　　） A． B． C． D． 8．圆锥的母线长为 4，底面半径为 1，则其侧面展开图的圆心角为　　　　。 题型五　动点问题、最值与范围 【方法与技巧】 先看能否用几何法：动点到两定点距离之和最小用展开（三点共线），动点到定点距离最小用垂线段最短，往往比代数法快得多。 不能用几何法时建立空间直角坐标系，把动点坐标写成参数 ，把目标量（长度、面积、体积）表示成 的函数，在 的取值范围内求最值。 求“定值”类问题常利用“动点所在直线平行于所求底面”这一特征，此时高不变、底面积不变，体积自然为定值。 【例题精讲】 1．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则三棱锥 的体积（　　） A．为定值 B．为定值 C．先增后减 D．随 P 变化而变化 2．正方体 的棱长为 1，点 P 在底面 ABCD 内运动且 ，则 P 的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 3．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 BC 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【变式训练】 1．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A．3 B． C． D． 2．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则 AP 的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 3．正方体 的棱长为 1，点 P 在底面 ABCD 内运动且 P 到直线 AB 与 AD 的距离相等，则 P 的轨迹是（　　） A．一条线段 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一个椭圆 4．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 面积的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 5．正方体 的棱长为 1，点 P 在侧面 内运动，则三棱锥 体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．长方体 中，，，，则沿表面从 A 到 的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D．2 2．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A．3 B． C． D． 3．正方体 的棱长为 1，点 P 为棱 AB 的中点，点 Q 在棱 上运动，则 PQ 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 BC 上运动，则直线 与平面 ABCD 所成角的正切值最大为（　　） A．1 B． C． D．2 5．正方体 的棱长为 2，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A． B．4 C． D． 6．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则 AP 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 BP 的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 8．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为　　　　。 题型六　立体几何综合应用与探究性问题 【方法与技巧】 经典结论要记牢：正方体中体对角线垂直于与它“错位”的截面（如 平面 、平面 ），这是探究垂直关系最快的抓手。 探究“是否存在点 P”时，设 P 的参数坐标，把条件写成关于参数的方程，看方程在取值范围内是否有解；有解则存在，无解则不存在。 存在性问题也可转化为几何位置来判断：例如“使 平面 ”等价于射线 OP 恰好落在过 O 且垂直于 的那条直线上。 【例题精讲】 1．正方体 中，与平面 垂直的体对角线是（　　） A． B． C． D． 2．正方体 中，若点 P 在平面 内运动，则 与 AP 所成角（　　） A．恒为 B．恒为 C．随 P 变化 D．恒为 3．正方体 中，M、N 分别是棱 、 的中点，则直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．正方体 中，与平面 垂直的体对角线是（　　） A． B． C． D． 2．正方体 中，若点 P 在平面 内，则直线 与直线 BP 所成角为（　　） A． B． C． D．不确定 3．正方体 中，E、F 分别为棱 AB、 的中点，则直线 EF 与直线 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．正方体 中，点 P 为棱 的中点，则平面 与平面 ABCD 所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 5．正方体 中，M 为棱 的中点，则三棱锥 的体积与正方体体积之比为（　　） A． B． C． D． 6．正方体 中，与三条棱 AB、AD、 所成角都相等的直线可以是（　　） A．体对角线 B．棱 BC C．面对角线 D．棱 【巩固练习】 1．正方体 中，垂直于平面 的直线一定（　　） A．平行于 B．平行于 AC C．在平面 内 D．垂直于 2．正方体 中，点 P 在棱 上运动，则直线 AP 与平面 ABCD 所成角的正切值（　　） A．随 P 远离 而减小 B．随 P 远离 而增大 C．为定值 D．先增后减 3．正方体 中，E 为棱 BC 的中点，则直线 与平面 ABCD 所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 4．正方体 中，M、N 分别为棱 、 的中点，则 MN 的长为（　　） A． B． C． D． 5．正方体 中，点 P 为棱 的中点，则三棱锥 的体积为（　　） A． B． C． D． 6．正方体 中，点 P 为底面 ABCD 的中心，则 与底面所成角的正切值为（　　） A． B． C．1 D．2 7．正方体 中，异面直线 与 AC 所成角为（　　） A． B． C． D． 8．正方体 的棱长为 1，则三棱锥 的体积为　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知直线 、 与平面 ，下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 2．正方体 的棱长为 1，则点 A 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 3．正方体 中，二面角 的大小为（　　） A． B． C． D． 4．正方体 的棱长为 1，一只蚂蚁沿表面从 A 爬到 的最短路程为（　　） A． B． C． D．3 5．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则三棱锥 的体积（　　） A．为定值 B．为定值 C．最大值为 D．随 P 的位置变化 6．正方体 中，与平面 垂直的体对角线是（　　） A． B． C． D． 7．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D．2 8．把边长为 1 的正方形沿对角线折成直二面角，则折后另一条对角线的长为（　　） A．1 B． C． D． 【多项选择题】 9．正方体 中，下列结论正确的是（　　） A． 平面 B． 平面 C． D． 10．下列命题中正确的有（　　） A．平行于同一个平面的两条直线可能异面 B．垂直于同一个平面的两条直线平行 C．一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行 11．正方体 的棱长为 1，下列说法正确的有（　　） A．四面体 的体积为 B．点 A 到平面 的距离为 C．异面直线 AC 与 所成角为 D．二面角 为 【填空题】 12．正方体 的棱长为 1，则四面体 的体积为　　　　。 13．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角的正弦值为　　　　。 14．把边长为 2 的正方形沿对角线折成直二面角，则折后另一条对角线的长为　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题19　立体几何综合 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题19　立体几何综合应用 一、核心知识 1．平行关系的转化链：线线平行 （判定定理）线面平行 （判定定理）面面平行；反过来由性质定理成立，解题时按需在这三者间来回转化。 2．线面平行的判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；性质：过该直线的平面与原平面相交，交线与该直线平行。 3．面面平行的性质：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得两条交线互相平行；夹在两个平行平面间的平行线段长度相等。 4．线面垂直的判定：一条直线垂直于平面内两条相交直线；性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 5．面面垂直的判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线；性质：在一个平面内作交线的垂线，则这条直线垂直于另一个平面。 6．直线与平面所成角：平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，取值范围是 ，它是该直线与平面内所有直线所成角中最小的角。 7．二面角：平面角的大小用“在棱上一点分别在两个半平面内作与棱垂直的射线”来度量；向量法中要注意由图形判断锐钝，不能只取绝对值。 8．点到平面的距离：常用等体积法——把该点与平面内三点组成三棱锥，换一个底面后用 反求高；也可用向量法 。 9．折叠问题的关键是抓住“折前折后不变量”：折线同侧的线段长度与夹角不变，折线两侧的相对位置随二面角改变；常在原图中作垂线构造直角三角形。 10．展开与最短路径：把空间曲面展开成平面，最短路径转化为平面上两点间的线段长；展开方式不唯一时必须逐一比较取最小值。 11．截面问题用交线法：先找截面与几何体各面的交线（平行则平行、不平行则延长找交点），再顺次连接得到截面多边形。 12．动点与最值问题：优先用几何法（对称性、三点共线、垂线段最短），必要时建立空间直角坐标系，把目标量写成参数的函数，在参数取值范围内求最值。 二、题型精练 题型一　平行与垂直关系的综合证明 【方法与技巧】 证线线平行的三条常用路子：三角形（或梯形）中位线定理、构造平行四边形、平行公理（同平行于第三条直线）。 证线面垂直的第一步是“找两条相交直线”，常用模型有：底面是矩形、正三角形的三线合一、直径所对的圆周角是直角。 证面面垂直通常转化为证线面垂直：在一个平面内找出（或作出）一条垂直于另一个平面的直线。 【例题精讲】 1．要证明直线 平面 ，下列方法中可行的是（　　） A．在 内找一条直线与 平行 B．证明 与 内的一条直线垂直 C．证明 垂直于 内两条相交直线 D．证明 与 相交于一点 【答案】A 【详解】线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。B 是垂直关系，C 是线面垂直的判定，D 与平行矛盾。选 A。 2．证明两个平面平行时，下列条件中不充分的是（　　） A．一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 B．一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面 C．两个平面都垂直于同一条直线 D．一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 【答案】B 【详解】面面平行的判定定理要求“两条相交直线”，仅有两条平行直线不能保证两个平面平行（两个相交平面也可能都含与交线平行的直线）。选 B。 3．要证明平面 平面 ，可以转化为证明（　　） A． 内有一条直线垂直于 B． 内有两条平行直线垂直于 C． 与 内各有一条直线互相垂直 D． 与 相交成 角 【答案】A 【详解】面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。C 只说明两条线垂直，不能推出面面垂直；D 是 不是 。选 A。 【变式训练】 1．下列命题中正确的是（　　） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．平行于同一个平面的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．垂直于同一个平面的两个平面平行 【答案】A 【详解】A 是平行公理；B 中两条直线还可能相交或异面；C 在空间中还可能异面；D 中两个平面还可能相交。选 A。 2．设 、 为空间两条直线， 为一个平面，下列结论正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】B 【详解】垂直于同一个平面的两条直线互相平行，B 正确。A 中 、 可相交或异面；C 中 还可能在 内；D 中 的位置无法唯一确定。选 B。 3．正方体 中，与直线 AC 异面的棱共有（　　） A．6 条 B．4 条 C．8 条 D．2 条 【答案】A 【详解】正方体共 12 条棱，其中与 AC 有公共端点的有 6 条（过 A 的 3 条与过 C 的 3 条），与 AC 平行的棱一条也没有，故异面的棱为 条。选 A。 4．已知直线 、 与平面 ，下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】B 【详解】A 中 还可能在 内；C 中 、 还可能相交或异面；D 中 可能在 内或与 平行。只有 B 是线面垂直的性质定理。选 B。 5．在四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，则 EF 与平面 ACD 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．EF 在平面内 D．无法确定 【答案】A 【详解】EF 是 的中位线，故 ；又 AC 在平面 ACD 内，EF 不在该平面内，由判定定理得 平面 ACD。选 A。 6．若三个平面两两相交且有三条交线，则这三条交线（　　） A．互相平行或交于一点 B．一定交于一点 C．一定互相平行 D．一定两两异面 【答案】A 【详解】三条交线要么共点（如三棱锥的三个侧面），要么两两平行（如三棱柱的三个侧面），不可能出现其他情形。选 A。 【巩固练习】 1．用判定定理证明线面平行，必须同时满足的条件是（　　） A．直线在平面外且与平面内一条直线平行 B．直线与平面内一条直线平行 C．直线与平面没有公共点 D．直线与平面内两条直线平行 【答案】A 【详解】判定定理要求“平面外”与“平行于平面内一条直线”两个条件缺一不可；B 少了“平面外”，C 是定义不是判定定理，D 不是必要条件。选 A。 2．已知 、 是异面直线，则下列结论正确的是（　　） A．存在平面 使 且 在 内 B．不存在平面与 、 都平行 C． 与 不可能垂直 D．过 有且只有一个平面与 垂直 【答案】A 【详解】过 上一点作 的平行线 ， 与 确定平面 ，则 且 在 内，A 正确；异面直线也可能互相垂直，C 错。选 A。 3．正方体 中，下列直线与 垂直的是（　　） A．BD B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ，BD 的方向向量为 ，点积为 ，故垂直；其余三条棱的方向向量分别为 、、，点积均不为 0。选 A。 4．若平面 平面 ，直线 在 内，则 与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C． 在 内 D．无法确定 【答案】A 【详解】两个平面平行则无公共点， 内的直线 与 也无公共点，故 。选 A。 5．已知直线 平面 ，直线 在 内，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．异面且不垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【详解】由线面垂直的定义，直线垂直于平面内的任意一条直线，故 。选 A。 6．正方体 中，平面 与平面 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】A 【详解】平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，两者共线，故两个平面平行。选 A。 7．设 、 是平面 内的两条相交直线，若直线 且 ，则（　　） A． B． C． 在 内 D． 与 斜交 【答案】A 【详解】直线垂直于平面内两条相交直线，则该直线垂直于这个平面，这是线面垂直的判定定理。选 A。 8．空间中三条直线两两相交且不共点，则它们可以确定　　　　个平面。 【答案】1 【详解】三条直线两两相交且不共点，则三个交点不共线且三条直线必共面，故只确定 1 个平面。 题型二　空间角的综合求法 【方法与技巧】 求异面直线所成角：平移法（取中点作中位线、补形为平行六面体）或向量法 ，注意取绝对值。 求线面角：先找（或作）斜线在平面内的射影，关键是找垂足——过直线上一点作平面的垂线；向量法用 ，注意是正弦。 求二面角：定义法作棱的垂面、三垂线定理法、面积射影定理 射原、向量法（法向量夹角，符号由图形判断）。 【例题精讲】 1．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，，故 。选 A。 2．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ，平面 ABCD 的法向量为 ，，故 。选 A。 3．正方体 中，二面角 的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 ABC 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，两法向量夹角余弦为 ，由图形知二面角为锐角，故为 。选 A。 【变式训练】 1．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，点积，模均为 ，故 ，。选 A。 2．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ，平面 ABCD 的法向量为 ，。选 A。 3．正方体 中，平面 与平面 ABCD 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 的法向量为 ，平面 ABCD 的法向量为 ，余弦值为 。选 A。 4．长方体 中，，，，则体对角线 的长为（　　） A． B．7 C．10 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若直线 与平面 所成角为 ，则 与 内任意一条直线所成角的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与平面所成角的定义就是该直线与平面内所有直线所成角中的最小角，故最小值为 。选 A。 6．正方体 中，异面直线 AC 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AC 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，点积为 ，故两直线垂直，所成角为 。选 A。 【巩固练习】 1．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，点积，模均为 ，故 ，。选 A。 2．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ，，故 。选 A。 3．正方体 中，二面角 的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 是侧面、平面 ABD 是底面，正方体相邻两个面互相垂直，故二面角为 。选 A。 4．直线与平面所成角 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行或在平面内时为 ，垂直时为 ，故取值范围是 。选 A。 5．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ，，故 。选 A。 6．正方体 中，异面直线 与 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 的方向向量为 ， 的方向向量为 ，点积为 ，故所成角为 。选 A。 7．若异面直线 、 的方向向量分别为 与 ，则 与 所成角的大小为　　　　。 【答案】 【详解】，故 。 8．长方体 中，，，则直线 与平面 ABCD 所成角的正切值为　　　　。 【答案】 【详解】射影长为 ，高为 2，故 。 题型三　空间距离与体积的综合计算 【方法与技巧】 求点到平面的距离首选等体积法：把该点与平面内三点组成三棱锥，换一个底面后用 反求高，可避开作垂线的困难。 向量法求距离：，其中 A 为平面内任一点， 为平面的法向量。 求体积常用割补法：把不规则几何体分割（或补形）为若干个柱、锥；用 时务必注意底面与高的对应关系。 【例题精讲】 1．正方体 的棱长为 1，则点 A 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用等体积法：； 是边长为 的正三角形，面积为 ，故 。选 A。 2．棱长为 1 的正方体中，四面体 的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该四面体等于正方体去掉四个角上的小三棱锥，每个小三棱锥体积为 ，故 。选 A。 3．三棱锥 中，平面 ABC，， 是边长为 2 的正三角形，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 【变式训练】 1．棱长为 2 的正方体中，点 A 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】棱长变为 2 倍，距离也变为 2 倍，即 。选 A。 2．正四面体的棱长为 2，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】棱长为 的正四面体体积 ，代入 得 。选 A。 3．正方体的棱长为 1，则三棱锥 的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】高 ，。选 A。 5．正方体 的棱长为 1，则点 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 的方程为 ，法向量 ，点 到它的距离 。选 A。 6．已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 ，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底面中心到顶点的距离为 ，高 ，。选 A。 【巩固练习】 1．正方体 的棱长为 1，则点 到平面 ABCD 的距离为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 垂直于底面，故距离为棱长 1。选 A。 2．正方体 的棱长为 1，则四棱锥 的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．正三棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 3，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 4．圆锥的底面半径为 1，高为 ，则其侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】母线 ，侧。选 A。 5．球的表面积为 ，则其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，。选 A。 6．正方体 的棱长为 1，则点 A 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线方向向量 ，，则 。选 A。 7．若三棱锥 的体积为 12，底面 的面积为 9，则其高为（　　） A．4 B．3 C．6 D．12 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 8．正方体 的棱长为 1，则三棱锥 的体积为　　　　。 【答案】 【详解】。 题型四　折叠、展开与截面问题 【方法与技巧】 折叠问题要抓住“折前折后不变量”：折线同侧的线段长度与夹角保持不变，变化的是两个半平面的相对位置（即二面角）。 解题时常在原平面图形中作出垂直于折线的线段，折叠后这两条线段所成的角就是二面角的平面角，再用余弦定理求目标线段。 展开求最短路：把相邻的面摊平到同一平面内，最短路就是平面上两点间的线段；展开方式不唯一时要逐一算出再取最小值。 【例题精讲】 1．把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则折后 BD 的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】设 O 为 AC 中点，则 ，，且 ；折叠后 就是二面角的平面角，为 ，故 。选 A。 2．棱长为 1 的正方体 中，一只蚂蚁沿表面从顶点 A 爬到顶点 ，最短路程为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】把相邻两个面展开成一个 的矩形，最短路为对角线 。选 A。 3．正方体 中，过 A、C、 三点的截面是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【详解】平面 的方程为 ，正方体八个顶点中只有 A、C、 三点在该平面上，其余顶点均不在，故截面为三角形 。选 A。 【变式训练】 1．把边长为 2 的正方形沿对角线折成直二面角，则折后另一条对角线的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【详解】，二面角为 ，故 。选 A。 2．长、宽、高分别为 3、4、5 的长方体中，从一个顶点沿表面爬到相对的顶点，最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三种展开方式分别对应 、、，取最小值 。选 A。 3．正方体 中，过 A、D、 三点的截面是（　　） A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．五边形 【答案】A 【详解】平面 的方程为 ，顶点 A、D、、 都在其上，截面为矩形 （邻边长为 1 与 且互相垂直）。选 A。 4．把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 的二面角，则折后 BD 的长为（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】，，由余弦定理 ，故 。选 A。 5．正方体 中，过 A、 且与直线 BD 平行的截面形状是（　　） A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【详解】截面过 且平行于 BD，它与棱 、 各交于一个中点，与棱 、 分别交于 A、，故截面是一个四边形。选 A。 6．将长为 4、宽为 3 的矩形卷成圆柱的侧面，则该圆柱的底面半径为（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【详解】以长 4 为底面周长时 ；以宽 3 为底面周长时 ，两种情况都有可能。选 A。 【巩固练习】 1．把边长为 1 的正三角形 ABC 沿中线 AD 折成直二面角，则折后 BC 的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，且 、，折叠后 ，故 。选 A。 2．正方体 中，过 A、、 三点的截面形状是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【详解】平面 的方程为 ，正方体顶点中只有 A、、 在其上，故截面为三角形。选 A。 3．圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则其侧面展开图的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】侧。选 A。 4．圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则其侧面展开图的圆心角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心角 。选 A。 5．半径为 1 的半球（含底面）的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】球面部分为 ，底面圆为 ，合计 。选 A。 6．把边长为 2 的正方形沿对角线折成 的二面角，则折后另一条对角线的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】，，，故 。选 A。 7．正方体 的棱长为 2，蚂蚁沿表面从 A 爬到 的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】棱长变为 2 倍，最短路也变为 2 倍，即 。选 A。 8．圆锥的母线长为 4，底面半径为 1，则其侧面展开图的圆心角为　　　　。 【答案】 【详解】。 题型五　动点问题、最值与范围 【方法与技巧】 先看能否用几何法：动点到两定点距离之和最小用展开（三点共线），动点到定点距离最小用垂线段最短，往往比代数法快得多。 不能用几何法时建立空间直角坐标系，把动点坐标写成参数 ，把目标量（长度、面积、体积）表示成 的函数，在 的取值范围内求最值。 求“定值”类问题常利用“动点所在直线平行于所求底面”这一特征，此时高不变、底面积不变，体积自然为定值。 【例题精讲】 1．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则三棱锥 的体积（　　） A．为定值 B．为定值 C．先增后减 D．随 P 变化而变化 【答案】A 【详解】 在正方体的上底面内，上底面 下底面 ABCD，故 P 到平面 ABC 的距离恒为 1， 为定值。选 A。 2．正方体 的棱长为 1，点 P 在底面 ABCD 内运动且 ，则 P 的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】轨迹是底面内以 A 为圆心、1 为半径的四分之一圆弧，长度为 。选 A。 3．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 BC 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】把侧面 绕 BC 展开到与底面共面，此时 A 到 的展开点的直线距离即为最小值 （此时 P 恰为 BC 中点）。选 A。 【变式训练】 1．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 ，由对称性在 处取最小值 。选 A。 2．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则 AP 的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】点 A 到直线 的垂足恰为 B（因为 且 ，即 平面 ），故最小值为 。选 A。 3．正方体 的棱长为 1，点 P 在底面 ABCD 内运动且 P 到直线 AB 与 AD 的距离相等，则 P 的轨迹是（　　） A．一条线段 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一个椭圆 【答案】A 【详解】到两条相交直线距离相等的点的轨迹是这两条直线夹角的平分线，在正方形内即为对角线 AC，是一条线段。选 A。 4．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 面积的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】设 ，则 ，当 时取最小值 。选 A。 5．正方体 的棱长为 1，点 P 在侧面 内运动，则三棱锥 体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】P 到平面 ABD 的距离最大为 1，，故 。选 A。 6．长方体 中，，，，则沿表面从 A 到 的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三种展开分别为 、、，取最小 。选 A。 【巩固练习】 1．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】设 ，，由对称性在 处取最小值 。选 A。 2．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，，由对称性在 处取最小值 。选 A。 3．正方体 的棱长为 1，点 P 为棱 AB 的中点，点 Q 在棱 上运动，则 PQ 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，当 时最小，。选 A。 4．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 BC 上运动，则直线 与平面 ABCD 所成角的正切值最大为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】设 ，，，当 时最大，最大值为 1。选 A。 5．正方体 的棱长为 2，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】棱长变为 2 倍，最小值也变为 2 倍，即 。选 A。 6．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则 AP 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 ，当 时取最小值 ，故 。选 A。 7．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 BP 的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】设 ，，当 时最小，。选 A。 8．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为　　　　。 【答案】2 【详解】设 ，，当 时最小，最小值为 2。 题型六　立体几何综合应用与探究性问题 【方法与技巧】 经典结论要记牢：正方体中体对角线垂直于与它“错位”的截面（如 平面 、平面 ），这是探究垂直关系最快的抓手。 探究“是否存在点 P”时，设 P 的参数坐标，把条件写成关于参数的方程，看方程在取值范围内是否有解；有解则存在，无解则不存在。 存在性问题也可转化为几何位置来判断：例如“使 平面 ”等价于射线 OP 恰好落在过 O 且垂直于 的那条直线上。 【例题精讲】 1．正方体 中，与平面 垂直的体对角线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 的法向量为 ，体对角线 与它共线，故 平面 ；其余三条体对角线的方向向量均不与该法向量共线。选 A。 2．正方体 中，若点 P 在平面 内运动，则 与 AP 所成角（　　） A．恒为 B．恒为 C．随 P 变化 D．恒为 【答案】A 【详解】由 平面 ，且 A、P 都在该平面内，故 垂直于平面内的任意直线，所成角恒为 。选 A。 3．正方体 中，M、N 分别是棱 、 的中点，则直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取棱长为 1，，，点积为 ，模均为 ，故 。选 A。 【变式训练】 1．正方体 中，与平面 垂直的体对角线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 的法向量为 ，只有体对角线 与它共线，故 平面 。选 A。 2．正方体 中，若点 P 在平面 内，则直线 与直线 BP 所成角为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】由 平面 ，而 B、P 都在该平面内，故 ，所成角为 。选 A。 3．正方体 中，E、F 分别为棱 AB、 的中点，则直线 EF 与直线 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取棱长为 1，，，点积为 1，，，。选 A。 4．正方体 中，点 P 为棱 的中点，则平面 与平面 ABCD 所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 的法向量为 ，与 的夹角余弦为 ，故 ，。选 A。 5．正方体 中，M 为棱 的中点，则三棱锥 的体积与正方体体积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取棱长为 1，向量 、、，混合积的绝对值为 ，故 ，与正方体体积之比为 。选 A。 6．正方体 中，与三条棱 AB、AD、 所成角都相等的直线可以是（　　） A．体对角线 B．棱 BC C．面对角线 D．棱 【答案】A 【详解】体对角线 与三条互相垂直的棱的方向向量 、、 所成角都相等，余弦值均为 。选 A。 【巩固练习】 1．正方体 中，垂直于平面 的直线一定（　　） A．平行于 B．平行于 AC C．在平面 内 D．垂直于 【答案】A 【详解】垂直于同一平面的直线互相平行，而 平面 ，故这类直线必平行于 。选 A。 2．正方体 中，点 P 在棱 上运动，则直线 AP 与平面 ABCD 所成角的正切值（　　） A．随 P 远离 而减小 B．随 P 远离 而增大 C．为定值 D．先增后减 【答案】A 【详解】设 ，则 ， 越大分母越大、正切值越小。选 A。 3．正方体 中，E 为棱 BC 的中点，则直线 与平面 ABCD 所成角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。选 A。 4．正方体 中，M、N 分别为棱 、 的中点，则 MN 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，。选 A。 5．正方体 中，点 P 为棱 的中点，则三棱锥 的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】P 到平面 ABC 的距离为 1，，故 。选 A。 6．正方体 中，点 P 为底面 ABCD 的中心，则 与底面所成角的正切值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】，射影长为 ，高为 1，故 。选 A。 7．正方体 中，异面直线 与 AC 所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，点积为 1，模均为 ，，故 。选 A。 8．正方体 的棱长为 1，则三棱锥 的体积为　　　　。 【答案】 【详解】以 为底，A 为原点，混合积 ，故 。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知直线 、 与平面 ，下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】A 【详解】两条平行直线中的一条垂直于平面，另一条也垂直于该平面，A 正确；B 中 、 还可能相交或异面；C 中两条直线应平行；D 中 的位置无法确定。选 A。 2．正方体 的棱长为 1，则点 A 到平面 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用等体积法，，，故 。选 A。 3．正方体 中，二面角 的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个平面的法向量分别为 与 ，夹角余弦为 ，故二面角为 。选 A。 4．正方体 的棱长为 1，一只蚂蚁沿表面从 A 爬到 的最短路程为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】展开成 的矩形，最短路为 。选 A。 5．正方体 的棱长为 1，点 P 在线段 上运动，则三棱锥 的体积（　　） A．为定值 B．为定值 C．最大值为 D．随 P 的位置变化 【答案】A 【详解】 在上底面内，上底面平行于平面 ABC，故 P 到底面的距离恒为 1，体积恒为 。选 A。 6．正方体 中，与平面 垂直的体对角线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面 的法向量为 ，只有 与它共线。选 A。 7．正方体 的棱长为 1，点 P 在棱 上运动，则 的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】，在 时取最小值 。选 A。 8．把边长为 1 的正方形沿对角线折成直二面角，则折后另一条对角线的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 且 ，故 。选 A。 【多项选择题】 9．正方体 中，下列结论正确的是（　　） A． 平面 B． 平面 C． D． 【答案】ABC 【详解】A、B 是正方体中两条体对角线分别垂直于相应截面的经典结论；C 中 与 点积为 0，也正确；D 中点积为 ，不垂直。故选 ABC。 10．下列命题中正确的有（　　） A．平行于同一个平面的两条直线可能异面 B．垂直于同一个平面的两条直线平行 C．一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行 【答案】ABC 【详解】A 正确（两条异面直线可以都与同一平面平行）；B 是线面垂直的性质定理；C 是面面平行的判定定理；D 错误，两个平面还可能相交。故选 ABC。 11．正方体 的棱长为 1，下列说法正确的有（　　） A．四面体 的体积为 B．点 A 到平面 的距离为 C．异面直线 AC 与 所成角为 D．二面角 为 【答案】ABC 【详解】A：正方体去掉四个角上的小三棱锥，；B：等体积法得 ；C： 与 点积为 0；D：该二面角为 不是 。故选 ABC。 【填空题】 12．正方体 的棱长为 1，则四面体 的体积为　　　　。 【答案】 【详解】用割补法：正方体去掉四个角上的小三棱锥，每个体积为 ，故 。 13．正方体 中，直线 与平面 ABCD 所成角的正弦值为　　　　。 【答案】 【详解】，平面法向量为 ，。 14．把边长为 2 的正方形沿对角线折成直二面角，则折后另一条对角线的长为　　　　。 【答案】2 【详解】 且 ，故 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $