面积问题 练习-2027届高三数学一轮复习圆锥曲线的专题复习

**基本信息** 聚焦椭圆与抛物线的面积问题，通过方程联立、韦达定理、坐标法等系统方法，构建从曲线方程到面积计算的逻辑链条，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆面积问题|2题|离心率与方程求解，韦达定理结合面积公式，参数法求最值|从a,b,c关系到直线与椭圆相交，面积计算与定值/最值证明| |抛物线面积问题|2题|焦点与准线应用，重心坐标公式，面积比与基本不等式|从抛物线定义到直线与抛物线联立，面积比转化与最值求解|

面积问题 一、解答题 1．已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），与轴，轴分别交于两点，且满足（其中为坐标原点）.证明：直线的斜率为定值. 2．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心,以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于A，B两点．射线PO交椭圆E于点Q． （i）求的值， （ii）求△ABQ面积的最大值． 3．如图，已知点为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记，的面积分别为，． (1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)设A点纵坐标为，求关于t的函数关系式； (3)求的最小值及此时点G的坐标． 4．如图，已知两条抛物线和，过原点O的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点. （1）证明： （2）过原点作直线（异于，）与分别交于两点.记与的面积分别为与，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 面积问题参考答案 1．(1) ;(2)见解析. 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为，且过点，结合性质  ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，点的坐标分别为，由可得，由，消去，根据韦达定理可得，进而可得结果. 试题解析：（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 故可设直线的方程为，点的坐标分别为， 由， 化简得，，即， 由，消去得， 则，且， 故， 因此，即， 又，所以，又结合图象可知，，所以直线的斜率为定值. 2．（1）1（2）（i）||＝2，（ii）18 【分析】(1)由MF1+MF2＝2a＝3+1＝4以及,解方程组可得,由此可得椭圆C的方程; (2)(i) 设P（x0，y0），||＝λ，可得Q（﹣λx0，﹣λy0）,将其代入椭圆的方程可得结果; (ii) 设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆E的方程,利用韦达定理可得|x1﹣x2|，利用S|m|•|x1﹣x2|可得 ,根据两个判别式大于0,可得,再利用二次函数的单调性可得结果. 【详解】（1）由题意可知，MF1+MF2＝2a＝3+1＝4，可得a＝2， 又，a2﹣c2＝b2， 可得c＝1，b，即有椭圆C的方程为1； （2）由（1）知椭圆E的方程为1， （i）设P（x0，y0），||＝λ，由题意可知， Q（﹣λx0，﹣λy0），由于1， 又1，即（）＝1， 所以λ＝2，即||＝2； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆E的方程，可得 （3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，由△＞0，可得m2＜12+16k2，① 则有x1+x2，x1x2， 所以|x1﹣x2|， 由直线y＝kx+m与y轴交于（0，m）， 则△AOB的面积为S|m|•|x1﹣x2||m|• ＝2，设t，则S＝2， 将直线y＝kx+m代入椭圆C的方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0， 由△≥0可得m2≤3+4k2，② 由①②可得0＜t≤1，则S＝2在（0，1]递增，即有t＝1取得最大值， 即有S≤6，即m2＝3+4k2时,取得最大值6， 由（i）知，△ABQ的面积为3S， 即△ABQ面积的最大值为18． 【点睛】本题考查了利用求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的交点问题,考查了韦达定理,考查了三角形的面积公式,考查了二次函数求最值,考查了运算求解能力,考查了整体换元思想,本题属于较难题. 3．(1)，准线方程 (2) (3)的最小值为，点G的坐标为 【分析】（1）由焦点坐标确定p的值和准线方程即可； （2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，再用代换并化简即可； （3）根据已求的函数关系式，结合基本不等式即可求得的最小值和点G的坐标. 【详解】（1）因为点为抛物线的焦点， 所以，即，准线方程. （2）设， 设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得： ，故：， ， 设点C的坐标为，由重心坐标公式可得： ，， 令可得：，则.即， 由斜率公式可得：， 直线AC的方程为：， 令可得：， 故， 且， 由于，代入上式可得：， 由可得，则， 则， 令 ，得. 即关于t的函数关系式为. （3）设，则， 当且仅当，即，，时等号成立， 即的最小值为， 此时，，则点G的坐标为. 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）利用直线与抛物线联立，求出各个点的坐标，然后用坐标形式表示出，即可求解； （2）由（1）可知，在和中，，所以，所以有，计算即得结果. 【详解】（1）因为直线过原点，且都与抛物线有两个交点，所以的斜率都一定存在， 不妨设的斜率为，的斜率为，则直线的方程分别为， 分别联立， 得， 所以， ， 所以，所以； （2）由（1）可知，在和中，，所以，所以有. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，考查了向量共线定理的应用，考查了学生的运算求解的能力，考查了转化与化归的思想. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $