第7章 第2节 两直线的位置关系（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 以两直线位置关系判定为核心，通过基础与综合模块系统整合斜率关系、距离公式、对称变换等方法，构建从概念到应用的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|12题|斜率关系判定位置、平行距离公式、点线对称求法|从斜率概念到位置关系判定，延伸至距离与对称应用| |综合提升|3题|直线系过定点、垂直条件与不等式、几何意义求最值|位置关系与函数、几何性质的综合应用|

课时冲关52　两直线的位置关系 学生用书　P354 [基础训练组] 1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 解析：C　[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.] 2．(2024·兰州市模拟)已知直线3x＋4y＋3＝0与直线6x＋my－14＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．2　　 B．8　　　 C.　　　 D. 解析：A　[直线3x＋4y＋3＝0与直线6x＋my－14＝0平行，∴＝≠，解得m＝8. 直线6x＋my－14＝0，即直线6x＋8y－14＝0，化为3x＋4y－7＝0， ∴它们之间的距离＝＝2.] 3．(2024·乌鲁木齐模拟)直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(2,3)，则过点A(a1，b1)、B(a2，b2)的直线方程是(　　 ) A．2x＋3y－2＝0 B．3x＋2y－2＝0 C．3x＋2y＋2＝0 D．2x＋3y＋2＝0 解析：A　[∵直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(2,3)，∴2a1＋3b1＝2,2a2＋3b2＝2，∴过点A(a1，b1)、B(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＝2，即2x＋3y－2＝0.] 4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　 ) A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0 解析：D　[由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得 ∴M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上， 设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)， 则＝， 解得c＝12或c＝－6(舍去)， ∴所求方程为2x＋3y＋12＝0.] 5．已知点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　) A．2　　B.　　C.　　D．2 解析：B　[由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0，得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0， 此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程．解方程组可知两直线的交点为Q(1,1)，故直线l恒过定点Q(1,1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝，即d的最大值为.] 6．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　) A. B．5 C. D．15 解析：B　[由题意得P1P2中点的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离d＝＝5.] 7．(2024·石家庄市模拟)已知b>0，直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，则ab的最小值等于(　　) A．1 B．2 C．2 D．2 解析：B　[因为直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，所以(b2＋1)－b2a＝0，即a＝，所以ab＝b＝＝b＋≥2(当且仅当b＝1时取等号)，即ab的最小值等于2.] 8．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　 ) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 解析：A　[由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知其直线方程为x＋2y－4＝0，A正确．] 9．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________． 解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 10．(2024·江西八校联考)已知点P(x，y)到A(0,4)和B(－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________． 解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x＋2y＝3，∴2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时等号成立，故2x＋4y的最小值为4. 答案：4 11．(2024·金华市模拟)经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________． 解析：由方程组 得即交点P(0,2)． 因l3的斜率为，且l⊥l3，故l的斜率为－.故直线l的方程为y＝－x＋2，即4x＋3y－6＝0. 答案：4x＋3y－6＝0 12．(2024·长沙市一调)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________． 解析：设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′， 所以解得 又反射光线经过点N(2,6)， 所以所求直线的方程为＝， 即6x－y－6＝0. 答案：6x－y－6＝0 [能力提升组] 13．(2024·洛阳市模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为(　　 ) A.　　　B.　　　C．5　　　D．10 解析：D　[由题意知P(0,1)，Q(－3,0)， ∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上， ∵|PQ|＝＝，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.] 14．(2024·岳阳市模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为(　　) A. B. C．1 D．9 解析：B　[因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4,0)到动直线l的最大距离为3， ∴＝3，解得m＝0.∴a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝·≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号．] 15．(2024·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为______________． 解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为，得＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 答案：y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0 5 学科网（北京）股份有限公司 $