精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县金英学校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年扶绥县金英学校九年级数学能力达标测试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】先明确中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断题目给出的五个图形，统计符合条件的图形个数即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合要求； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 综上，符合要求的图形共个． 2. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 3. 如图，菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解．  【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴． 4. 如图，菱形的边长为，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证出是等边三角形即可． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，从而得出是等边三角形，据此计算即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 6. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质推出，，再结合，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，即，． 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 8. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相平分可得  为  中点，结合  利用直角三角形斜边中线定理可得 ，从而求出  的度数，最后利用菱形对角线互相垂直及平分对角的性质求出 ． 【详解】解： 四边形  是菱形  平分 ∵在中，为中点 ∵在中， 9. 矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 10. 如图，菱形的对角线长分别为和，是对角线上任意一点（点不与点重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，即得，再根据菱形的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵菱形的对角线长分别为和， ∴， ∴． 11. 如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ） A. B. 9或6 C. 9或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 15. 如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成，已知菱形的边长为，上、下两排挂钩间的距离为，则挂钩A，E之间的距离是_____． 【答案】30 【解析】 【分析】连接、交于点O，由题意可知挂钩A，E之间的距离，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出，即可求出挂钩A，E之间的距离． 【详解】解：如图，连接、交于点O， ∵木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成， ∴挂钩A，E之间的距离， ∵菱形， ∴，，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴挂钩A，E之间的距离． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴，垂足为E，证明，得到，计算的长即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为E． ∵四边形是正方形，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：由题意得：，即； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵； ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即；结合，，即可求证； （2）由题意得：，求出，即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积； 18. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 19. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）证明四边形是矩形即可求证； （）由（）可得，设，，利用勾股定理可得，即得，，得到，，再根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴，， ∴． 20. 在中，交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：点A为的中点； （2）若，连接，判断与满足什么数量关系时，四边形是矩形，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即A为的中点; （2） 解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴，． 在和 中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）因为矩形对边平行，所以可得内错角相等，结合已知，可通过证明 和全等，得到． （2）连接，因为等腰三角形 中，所以根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）可知，，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则有，进而得到 ．结合，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出的度数．最后结合勾股定理，即可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴ ，即． 设 ，则， ∴ ， 即， ， ∴  ． ∵四边形是矩形，， ∴，， 由得，即是矩形对角线 的中点， ， ∴ ，即． 在中，，即， 解得，即． ∵， ∴， 由勾股定理得：． 22. 石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）根据菱形的性质，得到，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据勾股定理求得，根据菱形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， 在中，为的中点， ， 在中，， ， 四边形为菱形， 菱形的周长为． 23. 【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 （1）如图1，已知，垂足为．求证：； （2）如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 （3）如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得出，，证明，得出即可； （2）先证明四边形为平行四边形，得出，再证明，最后根据（1）同理可得：； （3）连接，交于点H，过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1），同理可得：； 【小问3详解】 解：连接，交于点H，过点M作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年扶绥县金英学校九年级数学能力达标测试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的边长为，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 如图，菱形的对角线长分别为和，是对角线上任意一点（点不与点重合），且交于点，交于点，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ） A. B. 9或6 C. 9或 D. 3或 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，在菱形中，，则________． 14. 如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 15. 如图，木制活动衣帽架由三个完全相同的菱形构成，已知菱形的边长为，上、下两排挂钩间的距离为，则挂钩A，E之间的距离是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 18. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 19. 如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． （1）求证：； （2）如果，，求菱形的面积． 20. 在中，交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：点A为的中点； （2）若，连接，判断与满足什么数量关系时，四边形是矩形，说明理由． 21. 如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 23. 【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 （1）如图1，已知，垂足为．求证：； （2）如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 （3）如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $