精品解析：贵州贵阳雅礼高级中学(贵阳市第九中学)2026-2027学年高三上学期9月考试数学试卷

贵阳雅礼高级中学（贵阳市第九中学）2027届高三9月考试 数学科目试卷 2026年9月 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，，则 ．故选C． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意， 则. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合排列组合知识求解即可. 【详解】先将4名同学分为3组：种， 再将3组分到3场主题讲座：种， 故不同的安排方案种数为种. 5. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用化弦为切的方法，，分子分母同时除以即可求解. 【详解】， 即，解得. 6. 已知随机变量，，若，，则（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二项分布的方差公式求解，再结合正态分布的对称性计算所求概率. 【详解】对于二项分布，方差公式为，其中，代入得，，解得：. 对于正态分布，分布曲线关于均值对称，故, 由对称性得，， 所以. 7. 已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，表示出，，，，的长度，结合，利用余弦定理列式，可得的关系，进而可求双曲线的离心率. 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，. 设，又由，得， 所以，可得， 可得双曲线的离心率为. 8. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平移规律逐项判断即可。 【详解】， 对于A：，单调递增区间应满足， 解得，所以单调递增区间为， 因为不完全在增区间内，故A错误； 对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确； 对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确； 对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【解析】 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 11. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据抽象函数的对称性，及条件的变形即可判断ABD选项，再通过函数的周期可求解选项C 【详解】对于A：因为为偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确. 对于B：因为， 因为为奇函数，所以，即， ，所以的最小正周期为4，故B正确. 对于C：因为， 所以； 所以， 故C正确， 对于D：由B的解析可知， 所以的图象关于点对称.故D错误 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】252 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为， 令得，所以所求的常数项为. 13. 甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算从甲盒、乙盒摸出白球的概率，根据全概率公式求解即可. 【详解】记事件为“从甲盒中摸球”，事件为“从乙盒中摸球”，事件为“摸到两个白球”， 掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2的概率，此时从甲盒摸到白球的条件概率； 出现点数为3,4,5,6的概率，此时从乙盒摸到2个白球的总概率； 则摸到白球的总概率为：. 14. 在中，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理将角转化成边，然后用表示,再利用余弦定理和基本不等式即可求出答案. 【详解】由， 得，所以， 由此可得 令， ，（当且仅当，即时取等号）． 四、解答题：本题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，求a； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【小问1详解】 由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 16. 某公司布局未来，积极投资 AI 产业，该公司近 5 年的投资额 y(单位:万元)与年份x如下表所示: x 2022 2023 2024 2025 2026 y 160 190 200 220 230 （1）计算近 5 年投资额的下四分位数与第 60 百分位数； （2）设 t=x-2024 ，用 y=bt+a 模拟 y 与t的关系，求出线性回归方程，并推测该公司在哪一年投资额首次超过 286 万元. 附:经验回归方程 中，最小二乘估计公式为. . 【答案】（1）下四分位数为190万元，第60百分位数为210万元； （2）线性回归方程为，推测2030年投资额首次超过286万元。 【解析】 【小问1详解】 先将投资额数据从小到大排序为：160,190,200,220,230，总样本量 下四分位对应第25百分位数，计算位置索引：不是整数， 向上取得位置为2，因此下四分位数为第2项数据190；第60百分位数的位置索引： 是整数，因此第60百分位数为第3项和第4项数据的平均值： 【小问2详解】 由可得对应的取值为计算得： 计算回归系数 ， 因此线性回归方程为. 令代入得： 取最小正整数，对应 即推测2030年投资额首次超过286万元. 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1） 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. （3） 【解析】 【分析】(1) 切线斜率即函数在该点导数值，直接代入求值; (2) 求导后转化为二次函数符号讨论，按判别式分区间判断单调性; (3) 分离参数构造新函数，二次求导判断导函数单调性，锁定极值点求出最小值. 【小问1详解】 当时，. 求导得，. 所以曲线在点处的切线的斜率为. 【小问2详解】 的定义域为. 求导得. 令，则，即. 令，因为，则. 当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. 当，即时，的两根为，，且. 因为，，所以，. 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. 【小问3详解】 不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立. 令，则. 则. 令，则. 因为，所以，则在上单调递增， 即在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 所以实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. （1）求的方程； （2）设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）（i）（ii）或 【解析】 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)(i)先由等轴双曲线的焦点坐标求出满足的等量关系，联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理和弦长公式（或三角形面积公式）表示出的面积，将关系式代入化简求值；(ii)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标. 【小问1详解】 由已知得，得，所以. 【小问2详解】 （i）已知等轴双曲线的中心在原点，右焦点为， 设该双曲线的方程为， 其半焦距，解得， 所以该双曲线的方程为， 因为点在双曲线上，所以， 联立得， ， 设点到的距离为 ， 因为，所以. （ii）由第(1)问可知，椭圆的方程为， 椭圆的上顶点坐标为， 左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为：， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳雅礼高级中学（贵阳市第九中学）2027届高三9月考试 数学科目试卷 2026年9月 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 已知集合，则= A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 60 5. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知随机变量，，若，，则（ ） A. 0.6 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 7. 已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最大值是 C. 的一条对称轴为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前99项和为99 D. 若数列满足，则的前50项和为2132 11. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期为4 C. D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______． 13. 甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球.掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球.则摸到2个白球的概率为________. 14. 在中，，则的最小值是______． 四、解答题：本题共有5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，求a； （2）若，求的面积的最大值． 16. 某公司布局未来，积极投资 AI 产业，该公司近 5 年的投资额 y(单位:万元)与年份x如下表所示: x 2022 2023 2024 2025 2026 y 160 190 200 220 230 （1）计算近 5 年投资额的下四分位数与第 60 百分位数； （2）设 t=x-2024 ，用 y=bt+a 模拟 y 与t的关系，求出线性回归方程，并推测该公司在哪一年投资额首次超过 286 万元. 附:经验回归方程 中，最小二乘估计公式为. . 17. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. （1）求的方程； （2）设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $