贵州贵阳市第一中学2026-2027学年上学期高三年级质量检测（一）数学试卷

贵阳一中2026一2027学年第一学期高三年级质量检测（一)试题 数学 命题人：周勇聂亮亮 审题人：冯春媛 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.已知集合A={-1,0,1,2,8),B={Hx3=x,则A∩B= A.{} B.{1,2,8 C.{-1,0,1 D.{-1,1 2.已知z=1+i,则1 的虚部为 -1 A.-1 B.1 C.i D.-i 3.已知为第二象限角，tan= 2,则n2a= A.5 B.2 2 c D.3 4.函数f()= 2*-1 的中心为 A.(0,0) B.0 c.0 D.(0,1) 5.将0,2,2,6随机排成一行，则2026的概率为 A.1 C.1 24 6椭圆C+>的左焦点为，点P,0均在C上，且关于坐标原点对称。君 P+№=4，则c的离心率为 A. 2 B.② 2 C. D. 7.记以长方体ABCD-AB,C,D的四个顶点为顶点的一个三棱锥的体积为V,若 AA,=1,AB=2,AD=3,则V的取值集合为 A.{I} B.{1,2 C.1,3} D.{1,2,3} 8.函数f(x)=3six+sin3x的最小值为 A.-2V3 B.-22 C.-35 D.-2 第1页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量=(3，-1)，b=(1,2),c=（t,3),则下列选项正确的是 A.a+b=v17 B.a与6夹角的余弦值为V2 C.ā在b方向上的投影向量为 五 D.若a/1c,则t=1 3×2n,n为奇数 10.记Sn为数列{a}的前n项和，己知an= ,+1,为偶数’则下列选项正确的是 A.2026是数列{a}中的项 B.数列{凸1}是公比为4的等比数列 C.S=35 D.若Cn=a,则数列 1的前n项和小于号 CnCn+1 11.己知直线1：x-y+1=0,过直线上任意一点M作圆C:(x-3)2+y2=2的两条切线，切点分 别为A,B,则下列选项正确的是 A.∠AMB最大度数为60° B.四边形MACB面积的最小值为4√3 51 C.直线AB过定点 22 D.AB的最小值为√6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记S,为等比数列{a}的前n项和.若8S。=9S3,则{a}的公比为 13.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以D为球心，√5为半径的球与 侧面BCC1B1的公共部分面积为 4,定义ma,戗公名设函数/包)=mim”-瓜+a-5S2斗(aeR).若函数fd至 少有3个零点，则a的取值范围为 共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为 100分，得分不低于80分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随 机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组： 「40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，统计结果如图所示. (1)以频率估计概率，（①）求该市学生分数为优秀的概率估计值P； (的)现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50名学生的分数相互独立，记分数为 优秀的人数为Y,求E(),D(Y): (2)从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座 谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数为优秀的人数为X,求X的分布列和均 值 频率/组距 0.030 0.020 0.015 0.010 0405060708090100得分 16.(15分) 在△ABC中，bsinA-√3aco B0 (1)求∠B的大小： (2)若aM=3,C=2,∠B的平分线交AC于D,求BD的长. 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-ABC1中，点D、E、F分别为AB,AA,CD的中点， AB=AC=AA=2,CD=3. (1)求证：AB⊥平面A4CC: (2)求平面CCD与平面BEF所成角的余弦值. - ->B 第2页共 18.(17分) 己知抛物线C:y=2px(p>O)的焦点为F,过焦点F的直线1与C交于A,B两点， AB的最小值为4，O为坐标原点. (1)求卫； (2)证明：△OAB为钝角三角形： (3)求△OAB的外接圆圆心M的轨迹方程 19.（17分) 设a>0,a≠1，函数f(x)=a,g(x)=logx. (1)当a=2时，求函数f(x)在x=2处的切线方程： (2)当a=e时，证明：f(x)-g(x)>2; 若方程f(x)=g(x)有三个实数解，求实数a的取值范围. 2页 2027届高三年级第一学期数学第一次月考参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 1.C 2.A 3.D 4.B 5.c 6.A 7.B 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13.z+1 2 14.a≥10 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解： (ⅰ)以频率估计概率，该市学生分数为优秀的概率估计值 p=(0.010+0.015)×10=0.25;… …3分 (ii)由题意知，Y~B(50,0.25),则P(Y=k)=C(0.25)(1-0.25)0,则 (2)E()=50×0.25=12.5,D(Y)=50×0.25×0.75=9.375 6分 (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行 座谈，其中分数优秀的人数为。一 0.015+0.010 ×11=5. 0.030+0.015+0.010 若从座谈名单中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0,1,2,3。 P(X=0)= 4 则X的分布列为： X 0 3 4 5 4 0 33 11 11 33 所以E(X)=0x4+1 33 5+2 4+3x2-15 ………………13分 111 3311 16.解： (1)由bsin A-√5 acos=0和正弦定理，得sinB-sinA-5 sin Acos9-0 B 2 因Ae0,E,sinA≠0.可得sinB=V5cosB,即2sin号co BB B =3cos 2 2 2 B元 因B∈(0，)， 22 23 所以B= 2元 …7分 2)因为B-否，因为D为AC的￥分线 所以∠CBD=ABD-骨白Saw+Sam=Sa可得： 1BC.BD-sin∠CBD+BA,BD-sin∠ABD=BC-BA:sin∠ABC, 画3xBD5子2xD专-3x28 兰，解得BD=5 …15 2 2 5 分 17.解： (1)在直三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,则AA⊥AB 又AD=1,CD=3,AC=VAA2+AC2=2N2,则AD2+AC2=CD2 所以AD⊥AC→AB⊥AC又AA∩AC=A, 所以AB⊥平面AACC.…7分 (2)由(1)知，AB,AA,AC两两互相垂直， 故以点A为坐标原点，AA、AB、AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空 间直角坐标系，则、B22.0)、L00)、F（兮 C(2,0,2)、C(0,0,2)、D(01,0)、 Cc=2a0.GD=o1-2.B-L20,EF-02 设平面CCD的法向量为i=（x,y1,),则 i.CC=2x =0 i.CD=y-2=0' 取y=2,可得i=(0,2,1), 同理可得平面BEF的一个法向量为v=(4,-2,1) cos(u,v)= u.v -√105 35 因此，平面CCD与平面BEF夹角的余弦值为√1O5 …15分 35 18.解： (1设x=四+号，Ax,B52）, 2 联立 x=m号=y2y-P-0.所以 y2=2px y+y2=2mp,yy2=-p,x+x2=2mp+p由抛物线定义知： AB=X+X2+p=2m2p+2p≥2p,所以2p=4,p=2:…5分 (2)由(1)知：y32=-4,xx2=1,0A=(x,y),0B=(x2,y2), 则OAOB=xx2+yy2=-3<0, 所以∠AOB为钝角，即△OAB为钝角三角形；…9分 (3)设圆M:x2+y2+Dx+E+F=0,因为过原点，所以F=0, y+Dx+Ey=0(+Dy+(2m+Dm+Ey+D+1=0. [x=y+1 联立 &+为2m+Dm+E=4mD=4m-5 则 m2+1 D+1=-4 E=-m yiy2= 1m2+1 则w= 5 5 号手2m2+2w Em, 22 所以xw=8yM2+ 2 15 即圆心M的轨迹方程为：y2=一x- …17分 8 16 19.解： (1)当a=2时，f(x)=2,f(x)=2ln2,f(2)=4,f(2)=4n2,所以切线方程为 y=4ln2(x-2)+4=(4ln2)x+4-8ln2;…3分 (2)当a=e时，令F(x)=f(x)-g(x)=e-lnx,定义域为x∈(0，+o), FW=e-1-e-1,再令G0=e-1,则G=(x+e>0,所以G) 在(0，+o)递增，G(0)=-1,G(1)=e-1>0,由零点存在定理知，存在x∈(0,1)，使 得G)=e5-1=0,即e=1,nx=-而，所以当xe0,)时， F(x)<0,F(x)递减，当x∈(xo,+o)时，F(x)>0,F(x)递增，所以 1 F(x)≥F(x)=eo-nx=二+x,由对勾函数图像可知，在x∈(0,1)上， +1>2,所以F0)>2,所以f()）-g()>2:…9分 Xo (3)显然f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称， 当α>1时，方程f(x)=g(x)的解的个数等价于f(x)=x的解的个数，由图像显然可 知方程f(x)=x至多两解，不符合题意；…11分 当0<a<1时，f(x)与8(x)都是递减函数，且当x>1时，f(x)>0,g(x)<0,所 以方程f(x)=g(x)一定无解，所以只需考查x∈(0,1)，令h(x)=a-log。x, h(x)=a*Ina- 1=a1n2a-l,再令m)=a1n2a-l,则 xInaxIna m=arl+xIna)ln2a,令m()=0,解得=1na =,当x0,)时， 1 e m(x)>0,m(x)递增，当x∈(x。,+oo)时，m(x)<0,m(x)递减，则 m(x)max m()=- a-1, 当m(x)max≤0，即ee≤a<1时，h(x)>0,h(x)递增，h(0)→-o,h(I)=a>0, 所以h(x)只有一个零点，不符合题意， 1 当m)nmx>0,即0<a<e时，lna<-e,x<三，m(0)=-l,m)=aln2a-1, 令(a)=alna-1,p(a)=n2a+2na=(lna+2)lna>0,所以pa)递增， ga)<g(e)=e2e-1<0,即m)<0,由零点存在定理，存在x∈(0，x),使得 m(x)=0,存在x2∈(x,1),使得m(x2)=0,所以当x∈(0，x)时，h(x)>0,h(x) 递增，当x∈(x,x)时，h(x)<0,h(x)递减，当x∈(x2,)时，h(x)>0,h(x)递 8,i0,h0=a≥0.M-0+og.c=02--na+1 1 Ina Ina Mx )-a"-log.-log.(-1)-log.(-aiIna) p(a)=a Ina+1,p (a)=a 血a+lD<0,所以p(@递减，p(@)>p=1>0, e 所以h白<0，。)>0，由零点存在定理知，函数)在区间0，xh(6.. 上各有一个零点，即函数(x)共有三个零点，方程f(x)=g(x)有三个实数解； 综上：0<a<ee.… …17分