26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.1 二次函数的概念 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 如图是某地的喷泉灯光秀，图中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？ 情境导入 问题1：什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 问题3：一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数. 问题2：什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 例1 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 例2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同 一场比赛，所以比赛的场次数为 . (n−1) 解： 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数. 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 5 例3 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量 是 t，再经过一年后的产量是 t， 即两年后的产量y=________. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 例1-3中的函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y=6x2 y=20x2+40x+20 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 探究点1： 二次函数的概念 【归纳总结】 新知探究 例4 下列函数中哪些是二次函数?为什么？(x是自变量) ① y=ax2+bx+c ② y=3−2x² ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(x+3)²−x² 不一定是，缺少a≠0的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x的最高次数是3. y=6x+9 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 方法指导：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等. 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 例5 若函数 是二次函数，求m的值. ∴m=3. 解： 由题意得： 注意：本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视. 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 11 例6 一个二次函数 . （1）求k的值； （2）当x=0.5时，y的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 将x=0.5代入函数关系式 ，得 （2）当k=2时， 探究点1： 二次函数的概念 新知探究 问题 矩形绿地的长为x m，面积为y m2. （1）若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为____m， y 与x之间的关系式为__________. （2）若该矩形绿地的长比宽多6 m，则宽为______m， y 与x之间的关系式为___________. 想一想 自变量的取值范围是___________. 想一想 自变量的取值范围是___________. 0.5x y=0.5x2 x＞0 (x−6) y=x(x−6) x＞6 探究点2： 根据实际问题列二次函数解析式 新知探究 例7 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式. 解：∵AB边长为x米， ∴y＝ (30－x)x= . ∴AD边长为 (30－x)米. (0＜x＜30) 注意：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围. 探究点2： 根据实际问题列二次函数解析式 新知探究 例8 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式. ∴y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件， ∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产量减少了5(x－1)件． 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10). 探究点2： 根据实际问题列二次函数解析式 新知探究 1. 下列函数中，一定为二次函数的是（　C　） A. y＝ B. y＝mx2＋x－2 C. s＝2t2＋1 D. y＝x2＋ C 随堂练习 2. 二次函数y＝2x2－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 （　A　） A. 2，0，－1 B. 2，2，－1 C. 2，2，1 D. 2，0，1 3. 若二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，则对应的x的值是 （　D　） A. 3 B. 5 C. －3和5 D. 3和－5 A D 4. 若函数y＝（m＋2）x2＋2x＋5是关于x的二次函数，则m的取值范围是 　m≠－2　. 5. 把二次函数y＝（x－1）2－3（x－2）化为一般形式，则一次项系数为 　－5　. m≠－2　 －5　 （1） y＝x（x＋4）； 解：（1） 是二次函数　二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0 （2） y＝（1－x）（2＋x）＋x2； 解：（2） 不是二次函数 6. 下列函数中，y是关于x的二次函数吗？若是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. （3） y＝ax2＋ ＋1（a是常数，且a≠0）. 解：（3） 是二次函数　二次项系数、一次项系数和常数项分别是a， ，1 7. 教材变式题 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放y个垃圾桶.设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数解析式为（　B　） B A. y＝1000（1－x）2 B. y＝1000（1＋x）2 C. y＝（1－x）2＋1000 D. y＝x2＋1000 8. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10.设其中一条直角边长为x，则该直角三角形的面积y与x之间的函数解析式为 　y＝－ x2＋5 . 9. 已知两个正方形的周长之和是32cm.若以两个正方形面积之和y（cm2）为因变量，其中一个正方形的边长x（cm）为自变量，则y关于x的函数解析式为 　y＝2x2－16x＋64　. y＝－ x2 ＋5x　 y＝2x2－16x＋64　 10. 教材变式题 已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边所在的直线旋转形成一个圆柱.设矩形的另一条边的长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x之间的函数解析式为 　y＝－2πx2＋36πx　. y＝－2πx2＋36πx　 （1） 设菱形的面积为Scm2，求S与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 解：（1） 由题意，得S＝ x（24－x）＝－ x2＋12x（0＜x＜24） 11. 已知一个菱形两条对角线的长的和为24cm，设其中一条对角线的长为xcm. （2） 当x＝12时，菱形的面积为多少？ 解：（2） 当x＝12时，S＝－ ×122＋12×12＝72，即菱形的面积为72cm2 12. （易错题）若y＝（a＋4）x｜a｜－2＋5x－8是关于x的二次函数，则a的值为（　B　） A. －4 B. 4 C. ±4 D. ±2 B 13. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC. 设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数解析式为（　C　） A. y＝ x2 B. y＝ x2 C. y＝ x2 D. y＝ x2 C 14. 把y＝（3x－2）（x＋3）化成y＝ax2＋bx＋c的形式为 　y＝3x2＋7x－6　，其一次项系数与常数项的和为 　1　. 15. 已知y与x2成正比例关系，并且当x＝－1时，y＝－ ，则当x＝－3时，y的值为 　－3　. y＝ 3x2＋7x－6　 1　 －3　 （1） 若这个函数是关于x的一次函数，求m的值； 解：（1） 由题意，得 解得m＝0 （2） 若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围. 解：（2） 由题意，得m2－m≠0.∴ m≠0且m≠1 16. 已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x－2（m为常数）. 17. 如图，利用一面长为34m的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在边AB和BC上各有一个2m宽的小门（不用铁栅栏）.若所用铁栅栏的长为40m，矩形ABCD的边AD的长为xm，边CD的长为ym，矩形的面积为Sm2，且x＜y. （1） 求S与x之间的函数解析式； 解：（1） 根据题意，得S＝xy＝x（40＋2×2－2x）＝－2x2＋44x （第17题） （2） 直接写出自变量x的取值范围. 解：（2） 自变量x的取值范围是5≤x＜ 18. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动.设运动时间为xs，由点P，B，D，Q确定的封闭图形的面积为ycm2，求y关于x（0≤x≤8，且x≠4）的函数解析式. （第18题） 解：由题意，可知当0≤x＜4时，AP＝AQ＝xcm，∴ y＝ ×4×4－ x2＝8－ x2.当4＜x≤8时，CQ＝CP＝4＋4－x＝（8－x）cm，∴ y＝ ×4×4－ （8－x）2＝－ x2＋8x－24.综上所述，y关于x的函数解析式为y＝ 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 一般形式 右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数). 课堂小结 $